Η δύναμη με κλειστή και ανοικτή τάπα

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένα δοχείο με νερό, σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου (εντός της ατμόσφαιρας). Μια μικρή οπή, στην παράπλευρη έδρα του δοχείου, βρίσκεται σε βάθος h από την επιφάνεια και κλείνεται με τάπα. Αν ρ η πυκνότητα του νερού, g η επιτάχυνση της βαρύτητας και Α το άνοιγμα της οπής:

i) Το νερό ασκεί στην τάπα μια οριζόντια δύναμη F1, μέτρου:

α) F1 < ρghΑ,     β) F1 = ρghΑ,     γ) F1 > ρghΑ.

ii) Σε μια στιγμή βγάζουμε την τάπα και σε ελάχιστο χρόνο αποκαθίσταται μια μόνιμη ροή. Αν το νερό θεωρηθεί ιδανικό ρευστό, τότε η (συνισταμένη) δύναμη που επιταχύνει μια πολύ μικρή μάζα νερού Δm, κατά την έξοδό της από το δοχείο, θεωρώντας ότι ελάχιστα πριν την έξοδο έχει αμελητέα ταχύτητα, έχει μέτρο F2, όπου:

α) F2 =ρghΑ,     β) F2= 2ρghΑ,      γ) F2= (pατμ+ρgh)∙Α

iii) Η δύναμη F3 όπου το υπόλοιπο νερό ασκεί στην μάζας Δm, στη διάρκεια της εξόδου της από το δοχείο έχει μέτρο:

α) F3 < F2,      β) F3 = F2,      γ) F3 > F2.

iv) Η παραπάνω μάζα Δm, ασκεί στο υπόλοιπο νερό του δοχείου μια δύναμη F4, με μέτρο:

α) F4=F2,       β) F4=2F2,       γ) F4=F3.

v) Αν τη στιγμή που αποκαθίσταται η μόνιμη ροή, το δοχείο μαζί με το νερό που περιέχει έχουν συνολική μάζα Μ, αποκτούν επιτάχυνση προς τα αριστερά, με μέτρο:

α)  α=F1/Μ,      β) α=F2/Μ,     γ) α=F4/m.

Να δικαιολογήσετε τις επιλογές σας.

Απάντηση:

ΥΓ

Το παρόν θέμα ξεκίνησε να είναι για μαθητές, αλλά όπως διαπιστώθηκε στην συζήτηση, υπήρχε πρόβλημα με το μοντέλο μιας μάζας Δm η οποία επιταχύνεται στην έξοδο, οπότε μεταφέρεται στο φόρουμ…

(Visited 2,405 times, 1 visits today)
Subscribe
Ειδοποίηση για
109 Σχόλια
Inline Feedbacks
Όλα τα σχόλια
Διονύσης Μητρόπουλος
Editor
Απάντηση σε  Διονύσης Μάργαρης

Καλημέρα Διονύση,

Καταλαβαίνω τη λογική στην οποία αναφέρεσαι.
Πράγματι οι μαζούλες επιταχύνονται πρακτικά κυρίως σε μια ευρύτερη περιοχή πίσω από την τρύπα.

Μπορούμε όμως να μιλάμε για πίεση p=pατμ+ρgh πολύ κοντά στην τρύπα;
Αμέσως μέσα από την τρύπα νομίζω ότι η πίεση είναι πολύ κοντά στο ρgh και όσο προχωράμε οριζόντια προς το απέναντι τοίχωμα αυξάνεται τείνοντας προς την τιμή pατμ+ρgh.

Σπύρος Τερλεμές
4 μήνες πριν

Καλησπέρα σε όλους,

Το πρόβλημα ξεκινάει από το γεγονός ότι υπάρχει κάποιο χρονικό διάστημα που απαιτείται ώστε να αποκτηθεί η ταχύτητα sqrt(2gh).

Αυτό σημαίνει ότι στο όριο Δp/Δt έχουμε και μεταβολή της ταχύτητας. Δηλαδή το να γράψουμε F=dm/dt υ είναι προσέγγιση η οποία αν γίνει δεν μπορεί να γίνει για μια οποιαδήποτε ταχύτητα. Κάτι παρόμοιο συμβαίνει και σε μια αλυσίδα που πέφτει και χτυπά στο έδαφος.

Αν θέλουμε να είμαστε σωστοί θα πρέπει να καταφύγουμε σε κρουστικές συναρτήσεις.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor

Διονύσηδες, Στάθη και Σπύρο γειά σας.
Διονύση ας μην αφήσουμε τις προωστικές δυνάμεις. Καλύτερα ας αφήσουμε (προς στιγμή) τα υδροδυναμικά. Διαφορετικά άκρη δεν βγαίνει.
Συμφωνούμε όλοι στο παρακάτω;
comment image
Διαφορετικά ας μην συνεχίσω.
Έχουμε ώρα για πιέσεις.

Διονύσης Μητρόπουλος
Editor

Συμφωνώ απόλυτα Γιάννη,
Πρόσεξε όμως σε ποιο σώμα εφαρμόζεις το νόμο του Νεύτωνα.
Μέχρι στιγμής τον έχεις εφαρμόσει στο σύστημα δοχείο + όλο το νερό.

Σπύρος Τερλεμές
4 μήνες πριν

Καλησπέρα κ. Γιάννη.

Αυτό που προσπαθώ να πω είναι ότι η θεώρηση du/dt=0 γίνεται και κατά προσέγγιση και πρέπει να είναι σωστή η προσέγγιση γιατί αλλιώς χάνεται το πράγμα.

Στο διάστημα Δt με t->0 το να θεωρήσουμε την ταχύτητα σταθερή, είναι σωστό εφόσον έχει αποκτηθεί η sqrt(2gh).

Σπύρος Τερλεμές
4 μήνες πριν
Απάντηση σε  Σπύρος Τερλεμές

Οπότε αν μιλάμε για μετά την αποκατάσταση της sqrt(2gh) συμφωνώ με την εικόνα σας.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor
Απάντηση σε  Σπύρος Τερλεμές

Φυσικά Σπύρο. Το μεταβατικό στάδιο το έχει μελετήσει ο Βαγγέλης Κορφιάτης. Μιλώ για μετά την αποκατάσταση της ταχύτητας εκροής στην γνωστή τιμή.
Ρωτώ αν σε κάποιο σχόλιό μου έχω λάθος και πιο λάθος.

Στάθης Λεβέτας
Editor
4 μήνες πριν

Παιδιά έχω ξεκινήσει μαθήματα και τελειώνω αργά, για αυτό δεν συμμετέχω.
Να πω μόνο Γιάννη ότι η φλέβα εξακολουθεί να συρρικνώνεται και αφού εξέλθει από το δοχείο. Άρα η διατομή που πρέπει να λογαριάζουμε στους υπολογισμούς δεν είναι αυτήν της οπής, αλλά μικρότερη.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor
Απάντηση σε  Στάθης Λεβέτας

Στάθη γι’ αυτό παρέκαμψα φλέβες και πιέσεις.
Μόνο διατήρηση ορμής και διατήρηση ενέργειας (για υπολογισμό της ταχύτητας εκροής σε ιδανικό υγρό). Κάνω κάπου λάθος;

Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor

Σωστά Διονύση. Συνεχίζω:
comment image
comment image

Διονύσης Μητρόπουλος
Editor

Φοβάμαι ότι έβαλες μια πυκνότητα παραπάνω στην ταχύτητα 🙂

Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor

Έχεις δίκιο. Θα διορθώσω.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor

Αυτό το dV/dt είναι ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας του συστήματος δοχείο-περιεχόμενο νερό. Η επιτάχυνση.
Την υπολογίζω σωστά ή έκανα κάποιο λάθος.
Ας πω κάτι:
Δεν ανακάτεψα πουθενά πιέσεις. Θεωρήστε ότι δεν έχω μάθει ακόμα πιέσεις.
Τον υπολογισμό της ταχύτητας εκροής δεν τον κάνω μπερνουλίζοντας, αλλά με επίκληση της διατήρησης της ενέργειας του συστήματος. Έχω παραθέσει παλιότερα την απόδειξη.

Το θέμα είναι:
-Υπολογίζω σωστά την επιτάχυνση;
-Υπολόγισα κάτι που δεν είναι η επιτάχυνση του δοχείου αλλά κάτι άλλο;

Δεν είναι ακόμα ώρα για πιέσεις και ρευματικές γραμμές.

Διονύσης Μητρόπουλος
Editor

Γιάννη η ταχύτητα δεν έχει ρ.
Η επιτάχυνση που υπολόγισες είναι τελικά:
α = (ρΠυ) /Μ
όπου Μ η συνολική μάζα,
και υ η ταχύτητα εκροής του νερού (η σχετική κανονικά ως προς το δοχείο, αλλά αν θεωρήσουμε την ταχύτητα του δοχείου ασήμαντη …)

Τελευταία διόρθωση4 μήνες πριν από Διονύσης Μητρόπουλος
Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor

Τώρα Διονύση (μετά την διόρθωση) είναι σωστός ο υπολογισμός;

Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor

Διορθώνω:
comment image
Υπάρχει κάποιο λάθος;

Διονύσης Μητρόπουλος
Editor

Πρέπει να … “μπεις” στο νερό τώρα, μην το γυροφέρνεις 🙂

Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor

Διονύση αντιγράφω σχέσεις από τον έτερο Διονύση και συμπληρώνω:
comment image
Υπάρχουν3 περιπτώσεις:

  1. Ο Διονύσης είχε δίκιο στην αρχή και εγώ έχω δίκιο.
  2. Ο Διονύσης έχει δίκιο τώρα, οπότε κάνω λάθος το οποίο πρέπει να βρω.
  3. Έχουμε άδικο και οι δύο, οπότε η επιτάχυνση είναι κάποια άλλη.

Τι συμβαίνει;

Διονύσης Μητρόπουλος
Editor

Ένα λεπτό Γιάννη,

Την επιτάχυνση που υπολόγισες εσύ α = ρΠυ/Μ,
όπου Μ η συνολική μάζα και υ η (σχετική τυπικά) ταχύτητα εκροής,
την βρήκες εφαρμόζοντας τον νόμο του Νεύτωνα σε όλο το σύστημα και είναι σωστή.
Ο Διονύσης όμως χρησιμοποιεί μόνο μια μάζα Δm που εκρέει σε χρόνο Δt, κάνoντας μια, υπερβολική ίσως, υπόθεση ότι αμέσως πριν την εκροή είχε μηδενική ταχύτητα, θέλοντας να ρονίσει ότι υπάρχει μια δύναμη που την εκτινάζει, μεγαλύτερη από τη δύναμη που ασκεί ο αέρας απ’ έξω.

Το πρόβλημα είναι ότι η μεταβολή ορμής Δmυ δεν είναι της ποσότητας Δm που εκτινάσεται στον Δt, αλλά ολόκληρης της ποσότητας του νερού.
Γι΄ αυτό θεωρεί μια μέση τιμή υ/2. Όλες οι μάζες Δm που μετακινήθηκαν μέσα στο νερό σε χρόνο Δt είχαν ταχύτητες από μηδέν (στο πάνω μέρος) μέχρι υ (στο σημείο εκροής.

Τελευταία διόρθωση4 μήνες πριν από Διονύσης Μητρόπουλος
Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor

Αν θέλουμε να μην προχωρήσει μια συζήτηση πιάνουμε πιέσεις και φλέβες.
Η συζήτηση θα κολλήσει στο:
-Η επιτάχυνση είναιρ.g.h.A/M.
-Όχι είναι 2ρ.g.h/M.
-Όχι κάνεις λάθος διότι η φλέβα….
-Όχι εσύ κάνεις λάθος διότι ο Μπερνούλης….

Αν παρατώντας όλα αυτά και με απλή Μηχανική συστημάτων βγάλουμε την επιτάχυνση, ξέρουμε ποιος κάνει λάθος. Στη συνέχεια το ψάχνουμε. Αν το βρούμε, βάζουμε και τις πιέσεις στη συζήτηση.

Διονύσης Μητρόπουλος
Editor

Κάτσε να τα ξαναδιαβάσω, γιατί τα διάβασα βιαστικά και μπορεί να μην κατάλαβα τί διάβαζα.

Διονύσης Μητρόπουλος
Editor
Απάντηση σε  Διονύσης Μάργαρης

Καλησπέρα Διονύση,
Κι εσείς μου λείψατε! 🙂

Τελευταία διόρθωση4 μήνες πριν από Διονύσης Μητρόπουλος
Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor

Καλησπέρα παιδιά.
Διονύση θα το βρούμε το λάθος. Όμως μέσω ασφαλούς οδού.
Επαναλαμβάνω σχόλιο:
Αν θέλουμε να μην προχωρήσει μια συζήτηση πιάνουμε πιέσεις και φλέβες.
Η συζήτηση θα κολλήσει στο:
-Η επιτάχυνση είναιρ.g.h.A/M.
-Όχι είναι 2ρ.g.h/M.
-Όχι κάνεις λάθος διότι η φλέβα….
-Όχι εσύ κάνεις λάθος διότι ο Μπερνούλης….
Αν παρατώντας όλα αυτά και με απλή Μηχανική συστημάτων βγάλουμε την επιτάχυνση, ξέρουμε ποιος κάνει λάθος. Στη συνέχεια το ψάχνουμε. Αν το βρούμε, βάζουμε και τις πιέσεις στη συζήτηση.

Το κάνω με αδρανειακό παρατηρητή και βγάζω το ίδιο. Το κάνω με μη αδρανειακό πάλι το ίδιο. Θα το κάνω και αλλιώς με άλλο σύστημα (όχι δοχείο-εκρέουσα μάζα) να δω αν βγαίνει το ίδιο.

Διονύση (Μητρόπουλε) δεν μπορεί να έχουμε δίκιο και εγώ και ο Διονύσης.
Μπορεί φυσικά να έχουμε και οι δύο άδικο.