Σύστημα μη ιδανικού ελατηρίου -μάζας

Γιάννη η απάντηση είναι ναι. Το κατά πόσο υπολογίζονται εύκολα οι σταθερές για τυχαίο λόγο μαζών είναι ένα άλλο θέμα… Και μπορεί να μην αξίζει καν τον κόπο να προσπαθήσει κάποιος, έστω αριθμητικά, αν και ανώτερες αρμονικές γίνονται σημαντικές στην εξέλιξη του συστήματος.

Καλησπέρα Διονύση, σε ευχαριστώ για το σχόλιο. Ελπίζω να σου αρέσει και ελπίζω να ξεκαθαρίζει λίγο περισσότερο το θέμα.

Αν και το ενδιαφέρον είναι περιορισμένο, πρόσθεσα ένα βίντεο στην ανάρτηση, όπου φαίνεται η χρονική εξέλιξη της διαμόρφωσης του ελατηρίου, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης των σπειρών του. Ειδικά το τελευταίο στιγμιότυπο μπορεί να ερμηνευτεί και ως η δύναμη ανά μονάδα μάζας του ελατηρίου, και δείχνει πώς εξελίσσονται χρονικά οι δυνάμεις στο ελατήριο.
Το αποτέλεσμα μου φάνηκε εξαιρετικά ενδιαφέρον και είπα να το μοιραστώ και αυτό.

Καλημέρα Γιάννη, Χρόνια Πολλά.
Είναι το Mathematica.

Καλημέρα Άρη, Χρόνια σου Πολλά με Yγεία.
Απαντώ με την σειρά των σχολίων σου:
·        Αρχικά υποθέτουμε ότι το ελατήριο επιμηκύνεται και ισορροπεί μέσω μίας εξωτερικής δύναμης που ασκείται στο ελεύθερο άκρο του, σε μία θέση όπου το άκρο αυτό έχει μετατοπιστεί κατά Α. Τότε σε ένα στοιχείο Δx ασκούνται δύο δυνάμεις μόνο από τα γειτονικά το στοιχεία.
·        Από την αρχή εξετάζεται η περίπτωση ενός οριζοντίου ελατηρίου, έχεις δίκιο. Θα το καταστήσω σαφές και στο σημείο της σελίδας 5 που αναφέρεις. Αλλά δεν καταλαβαίνω το «…..να είχε ενεργό μάζα Μεν=Μ+m/3 όπου η μάζα του ελατηρίου βρίσκεται στη μέση του….»
·        Όπως προκύπτει από την ανάλυση της περίπτωσης όπου το οριζόντιο ελατήριο έχει πολύ μεγαλύτερη μάζα από το σώμα στην άκρη του, m>>M, σε κανένα σημείο του ελατηρίου και σε κανένα χρονικό διάστημα δεν ισχύει ο νόμος του Hooke (στο σχήμα στο τέλος δίνονται τα γραφήματα της απομάκρυνσης από την ΘΙ τους, των σπειρών του ελατηρίου στις θέσεις x=A, x=A/2, x=A/4, x=A/8, x=A/16, x=A/32). Το σχήμα 5 δίνει την κατανομή της παραμόρφωσης των σπειρών του ελατηρίου, από το ακλόνητο σημείο x=0, έως το ελεύθερο άκρο x=L.

Καλησπέρα Άρη

• Για το πρώτο ερώτημα, θεωρώ πως έχουμε καταλήξει.
• Στο δεύτερο ερώτημα επίσης συμφωνούμε, η όλη ανάλυση βασίζεται σε οριζόντιο ελατήριο. Δεν θέλησα να μπλέξω το κέντρο μάζας γιατί η πυκνότητα του ελατηρίου μεταβάλλεται συνεχώς. Για αυτό στην σελίδα 5 γράφω «στην ειδική περίπτωση των μεγάλων μηκών κύματος ή m<<M, η κίνηση της μάζας στην άκρη του μη ιδανικού οριζοντίου ελατηρίου προσεγγίζει την αρμονική κίνηση του απλού αρμονικού ταλαντωτή, ως αν το σώμα να είχε ενεργό μάζα M+m/3 και το ελατήριο να ήταν ιδανικό με σταθερά επαναφοράς k». Αφαιρώ δηλαδή την μάζα από το ελατήριο και την «δίνω» στο σώμα στην άκρη ως ενεργό μάζα. Το κατακόρυφο ελατήριο είναι μίαν άλλη ιστορία.

• Τα διαγράμματα 2,4,5 και 6 δείχνουν ότι το ελατήριο δεν υπακούει στον νόμο του Hooke σε κανένα σημείο του. Το διάγραμμα 6 αντιστοιχεί στην χρονική στιγμή μηδέν, όπου το ελατήριο αφήνεται ελεύθερο από την επιμήκυνση +Α για το ελεύθερο άκρο του (το συμπληρώνω στην ανάρτηση). Αν παρατηρήσεις το βίντεο στην ανάρτηση, το πρώτο μισό του ελατηρίου, πρακτικά είναι ακίνητο στο μεγαλύτερο μέρος της περιόδου.

Όσον αφορά την διαπίστωση:
Χαίρομαι με αυτήν γιατί για αυτόν ακριβώς τον λόγο ξεκίνησε η ενασχόλησή μου με το θέμα, το κατά πόσον δηλαδή η σταθερά επαναφοράς είναι …σταθερά κατά την κίνηση ενός μαζικού ελατηρίου. Εξ’ ού και τα συμπεράσματα με το μπλε φόντο στο τέλος της ενότητας 2 (σελ 5).
Η ανάρτηση αρχικά ήταν να σταματήσει εκεί. Τα υπόλοιπα προέκυψαν στην πορεία έχοντας κατά νου ένα ερώτημα που είχε θέσει ο αείμνηστος Βαγγέλης Κορφιάτης σχετικά με τις ανώτερες αρμονικές της κίνησης.
Να τονίσω ότι οι λύσεις για m>>M κατ’ ουσίαν περιγράφουν την κίνηση ενός οριζοντίου ελατηρίου με μάζα, όταν αφήνεται ελεύθερο από μία αρχική παραμόρφωση. Εκεί φαίνεται καθαρά ότι το σημαντικό στην περιγραφή της κίνησης είναι ότι σε κάθε συχνότητα του συστήματος των στασίμων κυμάτων που αναπτύσσονται στο ελατήριο, αναλογεί και μία ενεργός μάζα και μία ενεργός σταθερά επαναφοράς.