Στην ανάρτηση δίνεται μία προσέγγιση της κίνησης μίας μάζας στο ελεύθερο άκρο ενός ελατηρίου το οποίο δεν είναι ιδανικό (έχει μάζα). Σκοπός είναι να αναδειχθεί ότι στην δυναμική κατάσταση του συστήματος, το σώμα χαρακτηρίζεται από μία ενεργό μάζα λόγω της μάζας του ελατηρίου (θυμίζει την περίπτωση της κίνησης ενός στερεού μέσα σε ιδανικό ρευστό) και το ελατήριο χαρακτηρίζεται από μία ενεργό σταθερά επαναφοράς, λόγω της διαμόρφωσης του.
Σύστημα μη ιδανικού ελατηρίου -μάζας
Εντυπωσιακή Στάθη:
Τι θα συμβεί αν το σύστημα το κρατάμε τεντωμένο και ακίνητο σε μία παραμόρφωση Β.
Το αφήνουμε και ξεκινάει η ταλάντωση μάζας και ελατηρίου. Υποθέτω πως πάμε στη σχέση 20 και υπολογίζουμε τις σταθερές.
Γιάννη η απάντηση είναι ναι. Το κατά πόσο υπολογίζονται εύκολα οι σταθερές για τυχαίο λόγο μαζών είναι ένα άλλο θέμα… Και μπορεί να μην αξίζει καν τον κόπο να προσπαθήσει κάποιος, έστω αριθμητικά, αν και ανώτερες αρμονικές γίνονται σημαντικές στην εξέλιξη του συστήματος.
Καλησπέρα Στάθη, καλησπέρα Γιάννη.
Στάθη πολύ δουλειά μας έβαλες 🙂
Θα το δω αναλυτικά το πρωί με καθαρό μυαλό, αλλά ελπίζω να μην μας εξετάσεις στο τέλος 🙂 🙂 🙂
Καλησπέρα Διονύση, σε ευχαριστώ για το σχόλιο. Ελπίζω να σου αρέσει και ελπίζω να ξεκαθαρίζει λίγο περισσότερο το θέμα.
Καλημέρα. Μετά την ερώτηση του Γιάννη για το πώς υπολογίζουμε την κίνηση σε μία τυχαία ταλάντωση, συμπλήρωσα την ανάρτηση με ένα τρίτο μέρος.
Οι λύσεις που προκύπτουν είναι οι λύσεις των Βαγγέλη Κορφιατη και Σπύρου Τερλεμέ, στις αντίστοιχες αναρτήσεις, με διαφορετική ομαδοποίηση.
Μπράβο ρε Στάθη.
Θα την ξαναδώ πιο προσεκτικά όλη.
Καλησπέρα συνάδελφοι.

Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της ταλάντωσης ενός ελατηρίου μεγάλης μάζας με μία μικρή μάζα στην άκρη του και τα στιγμιότυπα της παραμόρφωσης του ελατηρίου.
Σκέφτηκα ότι κάποιος που δεν έχει την όρεξη να κοιτάξει όλη την ανάλυση, καλό είναι να έχει κατά νου τις γραφικές λύσεις.
Καλές γιορτές, με υγεία και χωρίς καραντίνα εύχομαι σε όλους.
Αν και το ενδιαφέρον είναι περιορισμένο, πρόσθεσα ένα βίντεο στην ανάρτηση, όπου φαίνεται η χρονική εξέλιξη της διαμόρφωσης του ελατηρίου, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης των σπειρών του. Ειδικά το τελευταίο στιγμιότυπο μπορεί να ερμηνευτεί και ως η δύναμη ανά μονάδα μάζας του ελατηρίου, και δείχνει πώς εξελίσσονται χρονικά οι δυνάμεις στο ελατήριο.
Το αποτέλεσμα μου φάνηκε εξαιρετικά ενδιαφέρον και είπα να το μοιραστώ και αυτό.
Χρόνια Πολλά Στάθη.
Ποιο είναι το πρόγραμμα;
Καλημέρα Γιάννη, Χρόνια Πολλά.
Είναι το Mathematica.
Καλησπέρα Στάθη, χρόνια πολλά και καλά σε’ σένα και τους δικούς σου ανθρώπους.
Πολύ κόπο περιλαμβάνει και αυτή η δουλειά, όπως πάντα. Την είδα σήμερα, όχι πολύ αναλυτικά, και θέλω να σχολιάσω δυο τρία πράγματα.
● Στην εξίσωση (4) υπάρχουν στο στοιχείο Δx οι δυνάμεις από από τα όμορά του στοιχεία. Αλλά στην αρχή γράφεις ότι έχουμε και εξωτερική δύναμη, δεν θα έπρεπε να υπάρχει και αυτή στην σχέση; Ή κάτι καταλαβαίνω λάθος;
● Στα κόκκινα γράμματα στην σελίδα 5 που αφορά την περίπτωση m<<M , νομίζω, θα έπρεπε να συμπληρωθεί «…..να είχε ενεργό μάζα εν=+/3 όπου η μάζα του ελατηρίου βρίσκεται στη μέση του….» Το λέω, όπως καταλαβαίνεις για την περίπτωση που θα ήταν κατακόρυφο το σύστημα και θέλαμε να γράψουμε την δυναμική του ενέργεια.
● Συνδυάζοντας τα σχήματα 4, και 5 βγαίνει το συμπέρασμα ότι έχουμε μη γραμμικότητα στη φάση της επιτάχυνσης ενώ στα υπόλοιπα χρονικά διαστήματα έχουμε με μεγάλη προσέγγιση νόμο Hooke ;
Καλημέρα Άρη, Χρόνια σου Πολλά με Yγεία.
Απαντώ με την σειρά των σχολίων σου:
· Αρχικά υποθέτουμε ότι το ελατήριο επιμηκύνεται και ισορροπεί μέσω μίας εξωτερικής δύναμης που ασκείται στο ελεύθερο άκρο του, σε μία θέση όπου το άκρο αυτό έχει μετατοπιστεί κατά Α. Τότε σε ένα στοιχείο Δx ασκούνται δύο δυνάμεις μόνο από τα γειτονικά το στοιχεία.
· Από την αρχή εξετάζεται η περίπτωση ενός οριζοντίου ελατηρίου, έχεις δίκιο. Θα το καταστήσω σαφές και στο σημείο της σελίδας 5 που αναφέρεις. Αλλά δεν καταλαβαίνω το «…..να είχε ενεργό μάζα Μεν=Μ+m/3 όπου η μάζα του ελατηρίου βρίσκεται στη μέση του….»
· Όπως προκύπτει από την ανάλυση της περίπτωσης όπου το οριζόντιο ελατήριο έχει πολύ μεγαλύτερη μάζα από το σώμα στην άκρη του, m>>M, σε κανένα σημείο του ελατηρίου και σε κανένα χρονικό διάστημα δεν ισχύει ο νόμος του Hooke (στο σχήμα στο τέλος δίνονται τα γραφήματα της απομάκρυνσης από την ΘΙ τους, των σπειρών του ελατηρίου στις θέσεις x=A, x=A/2, x=A/4, x=A/8, x=A/16, x=A/32). Το σχήμα 5 δίνει την κατανομή της παραμόρφωσης των σπειρών του ελατηρίου, από το ακλόνητο σημείο x=0, έως το ελεύθερο άκρο x=L.
Καλησπέρα Στάθη.
Για τα τρία σημεία με την ίδια σειρά.
● Στην πρώτη παρατήρηση. Υπάρχει στο ξεκίνημα της δουλειάς σου «Ασκούμε στο ελεύθερο άκρο του ελατηρίου σταθερή δύναμη……..»
Και δεν κατάλαβα αν αυτή διατηρείται ή αν το αφήνουμε από την θέση όπου είχε αποκτήσει επιμήκυνση Α να κινηθεί ελεύθερα.
Βέβαια δεν θα αλλάξει, νομίζω, η τελική κατάληξη, εννοώ την (20). Είναι το αντίστοιχο της «λυκειακής» οπτικής τεντώνω το ελατήριο αμελητέας μάζας και το αφήνω ή κινείται και με την επίδραση σταθερής οριζόντιας δύναμης.
● Εννοώ το που θεωρούμε ότι βρίσκεται το κέντρο της μάζας του ελατηρίου.
Για κατακόρυφα κρεμασμένο ελατήριο που έχει επιμηκυνθεί κατά x η ολική του ενέργεια (με στάθμη αναφοράς την θέση όπου έχει το φυσικό του μήκος) θα γραφεί
Ε= ½(m/3)u2 +1/2Mu2+1/2kx2–mgx/2-Mgx.
Δηλαδή όσον αφορά το ελατήριο στην κινητική του μπαίνει η δραστική μάζα m/3 αλλά η δυναμική του είναι mgx/2
● Το τρίτο ερώτημα το έκανα προσπαθώντας να κατανοήσω τι μας δείχνουν τα διαγράμματα 2-6 συνδυαστικά. Καταλαβαίνω λοιπόν ότι για το ακραίο σημείο, από 2, 3, 4, θα έλεγα έχουμε «χοντρικά ευθύγραμμη ομαλή» από 0 έως Τ/2 και από Τ/2 έως Τ με αλλαγή φοράς κίνησης.
Έτσι αναρωτήθηκα αν πάρουμε το γράφημα 5 για ένα συγκεκριμένο t και αντί για y στον έναν άξονα βάλουμε ky, άρα σαν να υπήρχε μια δύναμη στην άκρη του ελατηρίου μέσω της οποίας μετακινούμε το άκρο του ελατηρίου και άλλος μείνει ο x, μοιάζει με προσέγγιση να βγάζει όμοια αποτελέσματα με Hooke;;;
Βέβαια το 6 μας δείχνει ότι ενώ τα κομμάτια τα κοντινά στο άκρο και μέχρι την μέση επιταχύνονται τα πριν το μέσο και μέχρι το σημείο x=0 δεν επιταχύνονται καθόλου. Αυτό το γράφημα είναι για τυχαίο t Στάθη;
Τέλος μια καινούργια διαπίστωση.
Θέλω να υπογραμμίσω πόσο σημαντικό είναι που δουλεύεις με τις ποσότητες , am, και δεν το τονίζεις το προτέρημα όσο πρέπει.
Εννοώ στην περίπτωση ελατηρίου με μάζα οι παράγοντες που προσδιορίζουν την συμπεριφορά του συστήματος είναι:
– Η σχέση m/M πόσο πιο μαζικό είναι το ελατήριο σε σχέση με την μάζα που έχει στην άκρη του- αυτό μπαίνει στους υπολογισμούς μέσω του a-.
– Το πόσο σκληρό ή μαλακό είναι το ελατήριο.
– Το υλικό του ελατηρίου –π.χ. το ένα ελατήριο πλαστικό το άλλο μεταλλικό με ίδια τα άλλα τους χαρακτηριστικά-.
Τα δυο τελευταία μπαίνουν μέσω του b.
Ίσως θα έπρεπε να τονίσεις τα παραπάνω κάπου στο κείμενό σου.
Καλησπέρα Άρη
Όσον αφορά την διαπίστωση:
Χαίρομαι με αυτήν γιατί για αυτόν ακριβώς τον λόγο ξεκίνησε η ενασχόλησή μου με το θέμα, το κατά πόσον δηλαδή η σταθερά επαναφοράς είναι …σταθερά κατά την κίνηση ενός μαζικού ελατηρίου. Εξ’ ού και τα συμπεράσματα με το μπλε φόντο στο τέλος της ενότητας 2 (σελ 5).
Η ανάρτηση αρχικά ήταν να σταματήσει εκεί. Τα υπόλοιπα προέκυψαν στην πορεία έχοντας κατά νου ένα ερώτημα που είχε θέσει ο αείμνηστος Βαγγέλης Κορφιάτης σχετικά με τις ανώτερες αρμονικές της κίνησης.
Να τονίσω ότι οι λύσεις για m>>M κατ’ ουσίαν περιγράφουν την κίνηση ενός οριζοντίου ελατηρίου με μάζα, όταν αφήνεται ελεύθερο από μία αρχική παραμόρφωση. Εκεί φαίνεται καθαρά ότι το σημαντικό στην περιγραφή της κίνησης είναι ότι σε κάθε συχνότητα του συστήματος των στασίμων κυμάτων που αναπτύσσονται στο ελατήριο, αναλογεί και μία ενεργός μάζα και μία ενεργός σταθερά επαναφοράς.
Εντάξει Στάθη, να είσαι καλά να μας δίνεις απαιτητικές μεν αλλά ωραίες δουλειές.