Σε πόση ώρα θα τυλιχτεί το νήμα;

4444-290×220

Εκτός πεδίου βαρύτητας ένα σημειακό σώμα βάλλεται με ταχύτητα υ κάθετη στο ιδανικό λεπτό νήμα.

Το νήμα τυλίγεται σε κύλινδρο ακτίνας R.

Η κίνηση γίνεται σε επίπεδο κάθετο στον άξονα του κυλίνδρου.

Σε πόσο χρόνο το σώμα θα χτυπήσει τον κύλινδρο;

Απάντηση:

(Visited 1,245 times, 1 visits today)
Subscribe
Ειδοποίηση για
43 Σχόλια
Inline Feedbacks
Όλα τα σχόλια
Χρήστος Αγριόδημας
Editor
12 ημέρες πριν

Πολύ καλό Γιάννη.
Μου θύμισε του Διονύση με το μολύβι και το σχοινί αλλά και μια παλιότερη δική σου.

Χριστόφορος Κατσιλέρος
Editor

Δύσκολη και όμορφη Γιάννη.

Διονύσης Μάργαρης
Admin
12 ημέρες πριν

Καλημέρα Γιάννη, καλημέρα σε όλους.
Είχα γράψει παλιότερα τα:

Δύο πειράματα

αλλά δεν είχα υπολογίσει χρόνο.
Η αξία του θέματος, νομίζω εστιάζεται στη μη διατήρηση της στροφορμής…

Σπύρος Τερλεμές
12 ημέρες πριν

Καλημέρα κ. Γιάννη. Είναι πολύ ωραίο. Στην αρχή με μπέρδεψε.

Τελευταία διόρθωση12 ημέρες πριν από Σπύρος Τερλεμές
Κωνσταντινος Καβαλλιερατος

Αυτη η περιπτωση εχει ιδιαιτερο ενδιαφερον οταν παρουσιαζεται σε αντιπαραβολη με την ασκηση του σχολικου οπου το νημα περναει απο μια τρυπα στο τραπεζι που ηταν θεμα πανελληνιων πριν τρια η τεσσερα χρονια. Εκει η δυναμη ειναι κεντρικη και διατηρειται η στροφορμη ως προς το κεντρο της δυναμης οταν ομως το μηκος του νηματος μεταβαλλεται δεν διατηρειται η κινητικη ενεργεια. Εδω συμβαινει το αναποδο. Οι καμπυλη που διαγραφει η σημειακη μαζα καθως το νημα τυλιγεται στον κυκλο λεγεται “Involute” .Δεν ξερω πως λεγεται στα ελληνικα. Εχει την ιδιοτητα ολες οι ευθειες που ειναι καθετες στην καμπυλη να ειναι εφαπτομενες στον κυκλο.Ετσι η ταση του νηματος δεν παραγει εργο κατι προφανες φυσικα ακομα και αν δεν μιλησουμε για τις ιδιοτητες της καμπυλης. Υπαρχουν δεκαδες αρθρα για αυτες τις καμπυλες. πχ https://mathcurve.com/courbes2d.gb/developpantedecercle/developpantedecercle.shtml

Τελευταία διόρθωση12 ημέρες πριν από Κωνσταντινος Καβαλλιερατος
Θρασύβουλος Πολίτης
12 ημέρες πριν

Καλησπέρα Γιάννη
 
Μου άρεσε το πρόβλημά σου.
Καταθέτω μια λύση ακόμα, έτσι  φιλικά . . .  για το αρχείο.
Στον σύνδεσμο εδώ.
 
Να’σαι καλά!
Θ.Π.

Σπύρος Τερλεμές
12 ημέρες πριν

Καλησπέρα.

Υπάρχει μαθηματικό πρόβλημα στην λύση σας. Όταν παίρνετε μια στιγμιαία θέση, τότε η συσχέτιση αυτής με μια γενική συνάρτηση είναι αδύνατη.

Με άλλα λόγια υπάρχει loop στην απόδειξη. Η γωνιακή ταχύτητα ω δεν ισούται με την παράγωγο θ. Η παράγωγος θ εκφράζει την γωνιακή ταχύτητα του ακραίου σημείου επαφής.

Θρασύβουλος Πολίτης
12 ημέρες πριν

Ευχαριστώ Γιάννη
Η δική σου όμως λύση επιδεικνύει ιδιαίτερη δεξιοτεχνία.

Σπύρος Τερλεμές
12 ημέρες πριν

Καλησπέρα κ. Γιάννη.

Το πρωί με μπέρδεψε το γεγονός ότι η λύση σας γίνεται σε μια τετριμμένη θέση. Δεν προλάβαινα να το δω τότε, οπότε το κοίταξα αναλυτικά τώρα.

Σας έχει ξεφύγει κάτι. Το πρόβλημα είναι αρκετά πιο περίπλοκο. Παρόλα αυτά ερωτήματα όπως: Ποια η γωνιακή ταχύτητα όταν το σώμα χτυπά στον κύλινδρο ή ποια η τάση του σώματος στην τάδε θέση, μπορούν να απαντηθούν.

Ο χρόνος όμως δεν βρίσκεται αναλυτικά, απαιτεί αριθμητική ολοκλήρωση. Έχω γράψει λύση στο πρόβλημα και θα την ανεβάσω σε λίγο.

Το λάθος σας είναι ότι κοιτάζετε μόνο την αρχική θέση και όχι μια θέση που το νήμα έχει τυλιχθεί κατά μια γωνία φ. Σε αυτήν την τυχαία σχέση δεν ισχύει ταυτόχρονα
ημφ=R/r και dr/dt=-υσυνφ όπως γράφετε.

Αν φυσικά δεν μου έχει διαφύγει κάτι.

Σπύρος Τερλεμές
12 ημέρες πριν

Η απόδειξη του κ. Θρασύβουλου σφάλει στο γεγονός ότι η γωνιακή ταχύτητα ω δεν ίση με την παράγωγο θ. Αυτό το αναλύω στην ανάρτηση.

Σπύρος Τερλεμές
11 ημέρες πριν

Αυτή η σχέση κ. Γιάννη δεν ισχύει γενικά. Ισχύει μόνο όταν το νήμα είναι οριζόντιο.

Για να πω καλύτερα αυτό που εννοώ. Πάρτε μια τυχαία θέση όπως στο σχήμα του κ. Θρασυβούλου. Μπορείτε να αποδείξτε ότι u=υR/r?

Θα δείτε ότι δεν ισχύει αυτή η σχέση γενικά. Μόνο όταν το νήμα είναι οριζόντιο όπως το δικό σας στην ανάρτηση.

Σπύρος Τερλεμές
12 ημέρες πριν

κ. Γιάννη αυτό που κάνετε είναι να αντιμετωπίζετε το πρόβλημα σε μια συγκεκριμένη θέση και να προσπαθείτε να εξάγετε γενικό συμπέρασμα από αυτό.

Είναι σαν να θέλουμε να παραγωγίσουμε μια συνάρτηση και αντί να παραγωγίζουμε πρώτα τον τύπο και μετά να βάζουμε την τιμή x=.. που θέλουμε, να παραγωγίζουμε κατευθείαν το f(5) π.χ.

Αλλά για να γίνω πιο αναλυτικός. Στο σχήμα παρακάτω οι γωνίες θ και φ δεν είναι ίσες Μόνο αν είναι ίσες ισχύει η σχέση ημφ=R/r και dr/dt=υσυνφ που γράφετε. Εφόσον δεν ισχύουν οι σχέσεις αυτές τότε αλλάζει όλη η λύση

Τελευταία διόρθωση12 ημέρες πριν από Σπύρος Τερλεμές
Σπύρος Τερλεμές
12 ημέρες πριν

Ναι κ. Γιάννη αλλά μετά προχωράτε γράφοντας ότι ημφ=R/r.

Αυτό ισχύει μόνο στην θέση την οποία αντιμετωπίζετε στο σχήμα σας. Δείτε μια τυχαία θέση όπως αυτή του δικού μου σχήματος ή του κ. Θρασύβουλου. Δεν ισχύει ότι ημφ=R/r. Ισχύει ότι ημθ=R/r. Αλλά φ είναι διαφορετική της θ.

Γίνεται προσομοίωση στο πρόβλημα?

Τελευταία διόρθωση12 ημέρες πριν από Σπύρος Τερλεμές