Δημήτρη καλησπέρα!
Κατά καιρούς είχα αναζητήσει κι εγώ ένα χειροπιαστό παράδειγμα της αρχής της ελάχιστης δράσης στη Μηχανική. Αλλά δεν είχα βρει κάποιο ικανοποιητικό. Θα μελετήσω της πρότασή σου. Μήπως θα ήταν πιο διδακτικό να εξέταζες την περίπτωση της κίνησης χωρίς δύναμη και να αποδείκνυες, μέσω της αρχ. ελ. δρ., ότι η ταχύτητα είναι σταθερή;
Καλησπέρα Δημήτρη. Περιμένω με αγωνία το 2/2.
Τα νούμερα των δράσεων σε κάθε τροχιά τα υπολογίζεις απο ποιο ολοκλήρωμα (εννοώ ποια είναι η συνάρτηση χ(t));
Καλησπέρα και πάλι Δημήτρη. Το κοιτάω τόση ώρα στα διαλείμματα, η μπλε και η πράσινη στην δεύτερη προσπάθεια έχουν περάσει πάνω από μία φορά από το καταληκτικό σημείο.
Συνάδελφοι γεια σας.
Ενώ ο Στάθης “ξεκοκαλίζει” την αρχή της ελάχιστης δράσης εγώ προσπαθώ να την εφαρμόσω “πρωτόγονα”. Παίρνω στην τύχη συναρτήσεις και εξετάζω ποια παρουσιάζει ακρότατο. Αυτή μου κάνει (αν και μάλλον δεν είναι έτσι) Η σωστότερη απαίτηση είναι η δράση να είναι στάσιμη.
Ανδρέα η περίπτωση του ελεύθερου σώματος σίγουρα είναι απλούστερη. Δεν παρουσιάζει την ιδιαιτερότητα της αρμονικής ταλάντωσης. Και το εξαγόμενο θα είναι αυτό που λες.
Διονύση σωστότερο είναι το “στάσιμη” . Στο δεύτερο παράδειγμα υπάρχουν τροχιές που δίνουν μικρότερη ή μεγαλύτερη δράση από την αρμονική ταλάντωση.
Στάθη δεν έγραψα τους τύπους των συναρτήσεων για να είναι το κείμενο πιο ανάλαφρο.
Η πράσινη π.χ στο πρώτο παράδειγμα είναι -t+1,88 t^2. Στο δεύτερο παράδειγμα το τελικό σημείο είναι t=1,333 και x=-0,173.
Ναι Γιάννη κάνω αυτό που λες.
Καλημέρα Δημήτρη. Μεταφέρω ένα σχόλιό μου από δίπλα.
“Καλημέρα Άρη. Δεν διαφωνώ, αλλά μου έχει γεννηθεί ένας προβληματισμός από εχθές, μετά την ανάρτηση του Δημήτρη.
Η διατύπωση δS=0 ενώ είναι σωστή, δεν είναι εύκολα ελέγξιμη απ’ ευθείας για δύο ή παραπάνω τροχιές (η μία εκ των οποίων να είναι η σωστή). Στον αντίποδα η διατύπωση με το ακρότατο, είναι εύκολα ελέγξιμη για τις παραπάνω τροχιές μέσω του υπολογισμού
του ολοκληρώματος της δράσης. Η σωστή θα είναι πάντα (;) αυτήν με το μικρότερο
ολοκλήρωμα (ή το μεγαλύτερο).
Σε κάθε περίπτωση όμως το δS=0 ισχύει για μικρές διακυμάνσεις από την σωστή τροχιά (σε προσέγγιση πρώτου βαθμού η μεταβολή μηδενίζεται για να έχω ακρότατο). Άρα μπορεί να υπάρξουν και τροχιές με μεγάλη απόκλιση από την σωστή, όπου το κριτήριο θα αποτυγχάνει;
Αυτό ομολογουμένως με μπερδεύει… (ίσως δεν βλέπω κάτι το προφανές).”
by 
Δημήτρη καλησπέρα!
Κατά καιρούς είχα αναζητήσει κι εγώ ένα χειροπιαστό παράδειγμα της αρχής της ελάχιστης δράσης στη Μηχανική. Αλλά δεν είχα βρει κάποιο ικανοποιητικό. Θα μελετήσω της πρότασή σου. Μήπως θα ήταν πιο διδακτικό να εξέταζες την περίπτωση της κίνησης χωρίς δύναμη και να αποδείκνυες, μέσω της αρχ. ελ. δρ., ότι η ταχύτητα είναι σταθερή;
Καλησπέρα Δημήτρη.
Να υποθέσω ότι την απάντηση στο 2ο αποτέλεσμα, την έδωσε δίπλα, σήμερα ο Στάθης;
Καλησπέρα Δημήτρη. Περιμένω με αγωνία το 2/2.
Τα νούμερα των δράσεων σε κάθε τροχιά τα υπολογίζεις απο ποιο ολοκλήρωμα (εννοώ ποια είναι η συνάρτηση χ(t));
Εξαιρετική Δημήτρη.
Αν κατάλαβα από την x(t) υπολογίζεις με παραγώγιση την υ(t) και με κάτι σαν το Γκραφ ολοκληρώνεις.
Καλησπέρα και πάλι Δημήτρη. Το κοιτάω τόση ώρα στα διαλείμματα, η μπλε και η πράσινη στην δεύτερη προσπάθεια έχουν περάσει πάνω από μία φορά από το καταληκτικό σημείο.
Συνάδελφοι γεια σας.
Ενώ ο Στάθης “ξεκοκαλίζει” την αρχή της ελάχιστης δράσης εγώ προσπαθώ να την εφαρμόσω “πρωτόγονα”. Παίρνω στην τύχη συναρτήσεις και εξετάζω ποια παρουσιάζει ακρότατο. Αυτή μου κάνει (αν και μάλλον δεν είναι έτσι) Η σωστότερη απαίτηση είναι η δράση να είναι στάσιμη.
Ανδρέα η περίπτωση του ελεύθερου σώματος σίγουρα είναι απλούστερη. Δεν παρουσιάζει την ιδιαιτερότητα της αρμονικής ταλάντωσης. Και το εξαγόμενο θα είναι αυτό που λες.
Διονύση σωστότερο είναι το “στάσιμη” . Στο δεύτερο παράδειγμα υπάρχουν τροχιές που δίνουν μικρότερη ή μεγαλύτερη δράση από την αρμονική ταλάντωση.
Στάθη δεν έγραψα τους τύπους των συναρτήσεων για να είναι το κείμενο πιο ανάλαφρο.
Η πράσινη π.χ στο πρώτο παράδειγμα είναι -t+1,88 t^2. Στο δεύτερο παράδειγμα το τελικό σημείο είναι t=1,333 και x=-0,173.
Ναι Γιάννη κάνω αυτό που λες.
Γεια σου Δημήτρη, περιμένουμε την συνέχεια και το αποτέλεσμα της όμορφης και ενδιαφέρουσας Σωκρατικής μαιευτικής μεθόδου σου.
Δημήτρη καλησπέρα.
Μπράβο, πολύ αφαιρετική σκέψη.
Καλημέρα Δημήτρη. Μεταφέρω ένα σχόλιό μου από δίπλα.
“Καλημέρα Άρη. Δεν διαφωνώ, αλλά μου έχει γεννηθεί ένας προβληματισμός από εχθές, μετά την ανάρτηση του Δημήτρη.
Η διατύπωση δS=0 ενώ είναι σωστή, δεν είναι εύκολα ελέγξιμη απ’ ευθείας για δύο ή παραπάνω τροχιές (η μία εκ των οποίων να είναι η σωστή). Στον αντίποδα η διατύπωση με το ακρότατο, είναι εύκολα ελέγξιμη για τις παραπάνω τροχιές μέσω του υπολογισμού
του ολοκληρώματος της δράσης. Η σωστή θα είναι πάντα (;) αυτήν με το μικρότερο
ολοκλήρωμα (ή το μεγαλύτερο).
Σε κάθε περίπτωση όμως το δS=0 ισχύει για μικρές διακυμάνσεις από την σωστή τροχιά (σε προσέγγιση πρώτου βαθμού η μεταβολή μηδενίζεται για να έχω ακρότατο). Άρα μπορεί να υπάρξουν και τροχιές με μεγάλη απόκλιση από την σωστή, όπου το κριτήριο θα αποτυγχάνει;
Αυτό ομολογουμένως με μπερδεύει… (ίσως δεν βλέπω κάτι το προφανές).”