Η Αρχή της Ελάχιστης Μηχανικής Δράσης

2

H παρούσα ανάρτηση αφορά σε μία εναλλακτική θεμελίωση της μηχανικής των υλικών σημείων, μέσω της αρχής της ελάχιστης δράσης (και κατ’ επέκταση της συνάρτησης Lagrange). Αν και η εν λόγω αρχή θεμελιώνει αξιωματικά σχεδόν το σύνολο της σύγχρονης θεωρητικής φυσικής, από την θεωρία της σχετικότητας έως την κβαντική θεωρία πεδίων, στην ανάρτηση θα περιοριστούμε στην κλασσική μηχανική (δηλαδή στην νευτώνεια φυσική) για …ευνόητους λόγους.

Αρχής της Ελάχιστης Μηχανικής Δράσης

(Visited 448 times, 1 visits today)
Subscribe
Ειδοποίηση για
15 Σχόλια
Inline Feedbacks
Όλα τα σχόλια
Διονύσης Μάργαρης
Admin
1 μήνας πριν

Καλησπέρα Στάθη.
Να υποθέσω ότι “συντονιστήκατε” με τον Δημήτρη Σκλαβενίτη, αφού η 2η δοκιμή του, που δεν “πέτυχε” στοχεύει στο συμπέρασμά σου;
comment image

Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος

Kαλησπερα Σταθη.
Πολυ ωραιο και πολυ προσεγμενο τεχνικο κειμενο υψηλου επιπεδου. Δεν το διαβασα cover to cover αλλα κοιταξα καποια κομματια κυριως αυτα που αναφερονται στους νομους διατηρησης.Ειναι πολυ καλογραμμενο για καποιον που διαβαζει κλασικη μηχανικη.
Ειναι εντυπωσιακο οτι για καθε διαφορετικη συμμετρια της συναρτησης Lagrange του συστηματος υπαρχει ενας αντιστοιχος νομος διατηρησης. Αυτο ειναι το φανταστικο θεωρημα της Νοether.
Θα προσθεσω κατι σε αλγεβρικη γλωσσα, μονο για την μεταξυ μας συζητηση, το οποιο πολυ καλα κανεις που δεν το αναφερεις γιατι το αρθρο σου ειναι γραμμενο στην γλωσσα της Αναλυσης και δεν απαιτει γνωσεις Αλγεβρας.
Οι γεννητορες της ομαδας συμμετριας της συναρτησης Lagrange του συστηματος,ειναι διατηρησιμες ποσοτητες. Αν η συναρτηση Lagrange ειναι αναλοιωτη ως προς τις χρονικες μεταθεσεις, τοτε αφου ο τελεστης της ενεργειας δηλ η χαμιλτονιανη ειναι γεννητορας της ομαδας των χρονικων μεταθεσεων,η ενεργεια διατηρειται. Αν η συναρτηση Lagrange ειναι αναλοιωτη ως προς τις στροφες γυρω απο εναν αξονα τοτε αφου ο τελεστης της συνιστωσας της στροφορμης γυρω απο αυτον τον αξονα, ειναι ο γεννητορας της ομαδας των στροφων γυρω απο αυτον τον αξονα, η στροφορμη γυρω απο αυτον τον αξονα διατηρειται. Αναλογη προταση ισχυει για τους γεννητορες των χωρικων μεταθεσεων που ειναι οι ορμες. Επισης για καθε αλλη πιθανη συμμετρια θα υπαρχει ενας αντιστοιχος νομος διατηρησης καποιας ποσοτητας που δεν ειναι κατ αναγκην κατι απο τα γνωστα μας φυσικα μεγεθη.
Παρεπιπτοντως, ο Ηλιας Τριανταφυλλοπουλος που ειναι ο συγγραφεας του πρωτου βιβλιου της βιβλιογραφιας ηταν καθηγητης μου στο Πανεπιστημιο Ιωαννινων.
Συγχαρητηρια Σταθη για το αρθρο σου.

Τελευταία διόρθωση1 μήνας πριν από Διονύσης Μάργαρης
Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor

Μπράβο Στάθη.
Θα ήθελα να το είχα το 1976-1977 όταν διάβαζα τα σχετικά.
Η σειρά του Δημήτρη Σκλαβενίτη τώρα.
(Μας βάλατε δουλειά).

Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor
Απάντηση σε  Στάθης Λεβέτας

Στάθη ωραιότατα ήταν τα βιβλία που έχω.
Έχεις όμως συγκεντρώσει σε μικρό χώρο τα σχετικά. Τα γράφεις και απλά.

Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος

Τα καλυτερα βιβλια κλασικης μηχανικης απο παλια ηταν του Goldstein 1950 και του Landau 1os τομος 1960.(πρωτες εκδοσεις) Ακομα και σημερα δεν νομιζω οτι υπαρχει κατι καλυτερο σε βιβλιο.Εγω απο αυτα διαβαζω οταν χρειαζομαι κατι.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor

Τα έχω Κωνσταντίνε. Οι εξετάσεις μας βασίζονταν στο βιβλίο του Goldstein.
Δυστυχώς πολλά ξεχνιώνται μετά από 45 χρόνια.

Αρης Αλεβίζος
Editor
1 μήνας πριν

Καλησπέρα Στάθη.

Πολύ εμπεριστατωμένη και αυτή η δουλειά σου. 

Δεν  έχω δει το κομμάτι με τις συμμετρίες.

Στο επίμαχο θέμα για το ποια είναι η σωστή δια τύπωση της αρχής:   είμαι της άποψης ότι

«η κίνηση του υλικού σημείου μεταξύ δύο χρονικών στιγμών με καλά καθορισμένες θέσεις, γίνεται κατά τέτοιον τρόπο ώστε η μεταβολή της μηχανικής δράσης του συστήματος να μηδενίζεται» 

δηλαδή  δS=0   ( S η   Α.14 του κειμένου σου.), άρα η S παίρνει στατική τιμή.

Δηλαδή η διατύπωση της αρχής του Hamilton για συστήματα με ολόνομους δεσμούς και δυνάμεις που προέρχονται από δυναμικό.

Αρης Αλεβίζος
Editor
1 μήνας πριν

Καλησπέρα Στάθη.
Να σου πω τη γνώμη μου για τα δυο ερωτήματά σου.
«Η διατύπωση δS=0 ενώ είναι σωστή, δεν είναι εύκολα ελέγξιμη απ’ ευθείας για δύο ή παραπάνω τροχιές

Σωστά το λες αλλά πρακτικά για να βρούμε το ζητούμενο δουλεύουμε έτσι και αλλιώς είτε με τις εξισώσεις Lagrange είτε με τις εξισώσεις  Hamilton που όπως δείχνει η θεωρία εξασφαλίζουν το δS=0. Αποφασίζουμε ανάλογα με το πρόβλημα αν π.χ. για ένα σύστημα Ν σωματιδίων που περιγράφεται πλήρως από ν<3Ν ανεξάρτητες γενικευμένες μεταβλητές συμφέρει ή θέλουμε να λύσουμε σύστημα ν  Δ.Ε. δευτέρου βαθμού (Lagrange) ή 2ν Δ.Ε. πρώτου βαθμού (Hamilton).

«Η σωστή θα είναι πάντα (;) αυτήν με το μικρότερο

ολοκλήρωμα (ή το μεγαλύτερο).»

Η  δράση που είναι μια συναρτησιακή (functional)  πρέπει να είναι μόνο στατική, όχι απαραίτητα μια μέγιστη ή ελάχιστη τιμή. Οποιαδήποτε μεταβολή  της συναρτησιακής αυξάνει το ολοκλήρωμα της συναρτησιακής της δράσης.

 

Μόλις είδα το δεύτερο κομμάτι της δουλειάς του Δημήτρη όπου ξεκαθαρίζει με αξεπέραστο τρόπο τα πράγματα.

 
 «Σε προβλήματα μηχανικής η δράση για τη φυσική τροχιά γίνεται εν γένει ελάχιστη. Γενικότερα όμως η δράση γίνεται στάσιμη. Τι σημαίνει αυτό;

…………………………………

 Όμως η δράση για την αρμονική ταλάντωση είναι στάσιμη με την εξής έννοια: Αν ακολουθήσουμε μια παραπλήσια τροχιά από αυτή της αρμονικής ταλάντωσης κα δούμε ότι η αντίστοιχη δράση θα μεταβληθεί ελάχιστα. Αντίθετα, αν πάρουμε μια άλλη τυχαία τροχιά (που η δράση της μπορεί να είναι μικρότερη ή μεγαλύτερη από αυτή της αρμονικής ταλάντωσης) και υπολογίσουμε τη δράση της και μετά ακολουθήσουμε μια παραπλήσια τροχιά κα δούμε μια αισθητή μεταβολή.»

Το πολύ πιο απλό από του Δημήτρη  παράδειγμα που ήθελα να δώσω είναι η περίπτωση ενός σημείου που κινείται ελεύθερα πάνω σε μια σφαίρα και δέχεται μοναδική δύναμη αυτή από την σφαίρα (δεσμός). Η διαδρομή της θα είναι προφανώς ένα τόξο μέγιστου κύκλου.. Αλλά ανάμεσα σε δυο τυχαία σημεία ενός μέγιστου κύκλου περνάνε δυο τόξα που αντιπροσωπεύουν το μεγάλο και το μικρό τμήμα της  περιφέρειας αυτής. Το ένα από αυτά αντιστοιχεί στο μέγιστο και το άλλο στο ελάχιστο S, Αν η αρχή και το τέλος της διαδρομής είναι δυο αντιδιαμετρικά σημεία το αποτέλεσμα αντιστοιχεί στο στατικό S. Αυτή που το S της θα μεγαλώσει λιγότερο αν πάρω παραπλήσια τροχιά.