by 
H παρούσα ανάρτηση αφορά σε μία εναλλακτική θεμελίωση της μηχανικής των υλικών σημείων, μέσω της αρχής της ελάχιστης δράσης (και κατ’ επέκταση της συνάρτησης Lagrange). Αν και η εν λόγω αρχή θεμελιώνει αξιωματικά σχεδόν το σύνολο της σύγχρονης θεωρητικής φυσικής, από την θεωρία της σχετικότητας έως την κβαντική θεωρία πεδίων, στην ανάρτηση θα περιοριστούμε στην κλασσική μηχανική (δηλαδή στην νευτώνεια φυσική) για …ευνόητους λόγους.
Αρχής της Ελάχιστης Μηχανικής Δράσης
Καλησπέρα Στάθη.
Να υποθέσω ότι “συντονιστήκατε” με τον Δημήτρη Σκλαβενίτη, αφού η 2η δοκιμή του, που δεν “πέτυχε” στοχεύει στο συμπέρασμά σου;
Καλησπέρα Διονύση, ευχαριστώ για το σχόλιο,
πραγματικά ούτε συνεννοημένοι να είμασταν…
Kαλησπερα Σταθη.
Πολυ ωραιο και πολυ προσεγμενο τεχνικο κειμενο υψηλου επιπεδου. Δεν το διαβασα cover to cover αλλα κοιταξα καποια κομματια κυριως αυτα που αναφερονται στους νομους διατηρησης.Ειναι πολυ καλογραμμενο για καποιον που διαβαζει κλασικη μηχανικη.
Ειναι εντυπωσιακο οτι για καθε διαφορετικη συμμετρια της συναρτησης Lagrange του συστηματος υπαρχει ενας αντιστοιχος νομος διατηρησης. Αυτο ειναι το φανταστικο θεωρημα της Νοether.
Θα προσθεσω κατι σε αλγεβρικη γλωσσα, μονο για την μεταξυ μας συζητηση, το οποιο πολυ καλα κανεις που δεν το αναφερεις γιατι το αρθρο σου ειναι γραμμενο στην γλωσσα της Αναλυσης και δεν απαιτει γνωσεις Αλγεβρας.
Οι γεννητορες της ομαδας συμμετριας της συναρτησης Lagrange του συστηματος,ειναι διατηρησιμες ποσοτητες. Αν η συναρτηση Lagrange ειναι αναλοιωτη ως προς τις χρονικες μεταθεσεις, τοτε αφου ο τελεστης της ενεργειας δηλ η χαμιλτονιανη ειναι γεννητορας της ομαδας των χρονικων μεταθεσεων,η ενεργεια διατηρειται. Αν η συναρτηση Lagrange ειναι αναλοιωτη ως προς τις στροφες γυρω απο εναν αξονα τοτε αφου ο τελεστης της συνιστωσας της στροφορμης γυρω απο αυτον τον αξονα, ειναι ο γεννητορας της ομαδας των στροφων γυρω απο αυτον τον αξονα, η στροφορμη γυρω απο αυτον τον αξονα διατηρειται. Αναλογη προταση ισχυει για τους γεννητορες των χωρικων μεταθεσεων που ειναι οι ορμες. Επισης για καθε αλλη πιθανη συμμετρια θα υπαρχει ενας αντιστοιχος νομος διατηρησης καποιας ποσοτητας που δεν ειναι κατ αναγκην κατι απο τα γνωστα μας φυσικα μεγεθη.
Παρεπιπτοντως, ο Ηλιας Τριανταφυλλοπουλος που ειναι ο συγγραφεας του πρωτου βιβλιου της βιβλιογραφιας ηταν καθηγητης μου στο Πανεπιστημιο Ιωαννινων.
Συγχαρητηρια Σταθη για το αρθρο σου.
Κωνσταντίνε σε ευχαριστώ για το σχόλιο.
Ο Ηλίας Τριανταφυλλόπουλος μαζί με τους Βέργαδο, Κολάση, Μάνεση, Μπαϊκούση (για να θυμηθώ λίγους από αυτούς) ήταν και δικοί μου καθηγητές στο πανεπιστήμιο Ιωαννίνων.Πρέπει να ήμασταν εκεί την ίδια περίοδο, αρχές της δεκαετίας του 90.
Μπράβο Στάθη.
Θα ήθελα να το είχα το 1976-1977 όταν διάβαζα τα σχετικά.
Η σειρά του Δημήτρη Σκλαβενίτη τώρα.
(Μας βάλατε δουλειά).
Γιάννη καλησπέρα και σε ευχαριστώ.
Σίγουρα θα υπήρχαν πολύ καλύτερα κείμενα από αυτό, το 1976 -77. Κείμενα ανθρώπων που διδάσκουν ένα αντικείμενο είναι πάντα καλύτερα από τα “ερασιτεχνικά”, όπως αυτό.
Στάθη ωραιότατα ήταν τα βιβλία που έχω.
Έχεις όμως συγκεντρώσει σε μικρό χώρο τα σχετικά. Τα γράφεις και απλά.
Τα καλυτερα βιβλια κλασικης μηχανικης απο παλια ηταν του Goldstein 1950 και του Landau 1os τομος 1960.(πρωτες εκδοσεις) Ακομα και σημερα δεν νομιζω οτι υπαρχει κατι καλυτερο σε βιβλιο.Εγω απο αυτα διαβαζω οταν χρειαζομαι κατι.
Τα έχω Κωνσταντίνε. Οι εξετάσεις μας βασίζονταν στο βιβλίο του Goldstein.
Δυστυχώς πολλά ξεχνιώνται μετά από 45 χρόνια.
Καλησπέρα Στάθη.
Πολύ εμπεριστατωμένη και αυτή η δουλειά σου.
Δεν έχω δει το κομμάτι με τις συμμετρίες.
Στο επίμαχο θέμα για το ποια είναι η σωστή δια τύπωση της αρχής: είμαι της άποψης ότι
«η κίνηση του υλικού σημείου μεταξύ δύο χρονικών στιγμών με καλά καθορισμένες θέσεις, γίνεται κατά τέτοιον τρόπο ώστε η μεταβολή της μηχανικής δράσης του συστήματος να μηδενίζεται»
δηλαδή δS=0 ( S η Α.14 του κειμένου σου.), άρα η S παίρνει στατική τιμή.
Δηλαδή η διατύπωση της αρχής του Hamilton για συστήματα με ολόνομους δεσμούς και δυνάμεις που προέρχονται από δυναμικό.
Καλημέρα Άρη. Δεν διαφωνώ, αλλά μου έχει γεννηθεί ένας προβληματισμός από εχθές, μετά την ανάρτηση του Δημήτρη.
Η διατύπωση δS=0 ενώ είναι σωστή, δεν είναι εύκολα ελέγξιμη απ’ ευθείας για δύο ή παραπάνω τροχιές (η μία εκ των οποίων να είναι η σωστή). Στον αντίποδα η διατύπωση με το ακρότατο, είναι εύκολα ελέγξιμη για τις παραπάνω τροχιές μέσω του υπολογισμού
του ολοκληρώματος της δράσης. Η σωστή θα είναι πάντα (;) αυτήν με το μικρότερο
ολοκλήρωμα (ή το μεγαλύτερο).
Σε κάθε περίπτωση όμως το δS=0 ισχύει για μικρές διακυμάνσεις από την σωστή τροχιά (σε προσέγγιση πρώτου βαθμού η μεταβολή μηδενίζεται για να έχω ακρότατο). Άρα μπορεί να υπάρξουν και τροχιές με μεγάλη απόκλιση από την σωστή, όπου το κριτήριο θα αποτυγχάνει;
Αυτό ομολογουμένως με μπερδεύει… (ίσως δεν βλέπω κάτι το προφανές).
Καλησπέρα Στάθη.
Να σου πω τη γνώμη μου για τα δυο ερωτήματά σου.
«Η διατύπωση δS=0 ενώ είναι σωστή, δεν είναι εύκολα ελέγξιμη απ’ ευθείας για δύο ή παραπάνω τροχιές.»
Σωστά το λες αλλά πρακτικά για να βρούμε το ζητούμενο δουλεύουμε έτσι και αλλιώς είτε με τις εξισώσεις Lagrange είτε με τις εξισώσεις Hamilton που όπως δείχνει η θεωρία εξασφαλίζουν το δS=0. Αποφασίζουμε ανάλογα με το πρόβλημα αν π.χ. για ένα σύστημα Ν σωματιδίων που περιγράφεται πλήρως από ν<3Ν ανεξάρτητες γενικευμένες μεταβλητές συμφέρει ή θέλουμε να λύσουμε σύστημα ν Δ.Ε. δευτέρου βαθμού (Lagrange) ή 2ν Δ.Ε. πρώτου βαθμού (Hamilton).
«Η σωστή θα είναι πάντα (;) αυτήν με το μικρότερο
ολοκλήρωμα (ή το μεγαλύτερο).»
Η δράση που είναι μια συναρτησιακή (functional) πρέπει να είναι μόνο στατική, όχι απαραίτητα μια μέγιστη ή ελάχιστη τιμή. Οποιαδήποτε μεταβολή της συναρτησιακής αυξάνει το ολοκλήρωμα της συναρτησιακής της δράσης.
Μόλις είδα το δεύτερο κομμάτι της δουλειάς του Δημήτρη όπου ξεκαθαρίζει με αξεπέραστο τρόπο τα πράγματα.
«Σε προβλήματα μηχανικής η δράση για τη φυσική τροχιά γίνεται εν γένει ελάχιστη. Γενικότερα όμως η δράση γίνεται στάσιμη. Τι σημαίνει αυτό;
…………………………………
Όμως η δράση για την αρμονική ταλάντωση είναι στάσιμη με την εξής έννοια: Αν ακολουθήσουμε μια παραπλήσια τροχιά από αυτή της αρμονικής ταλάντωσης κα δούμε ότι η αντίστοιχη δράση θα μεταβληθεί ελάχιστα. Αντίθετα, αν πάρουμε μια άλλη τυχαία τροχιά (που η δράση της μπορεί να είναι μικρότερη ή μεγαλύτερη από αυτή της αρμονικής ταλάντωσης) και υπολογίσουμε τη δράση της και μετά ακολουθήσουμε μια παραπλήσια τροχιά κα δούμε μια αισθητή μεταβολή.»
Το πολύ πιο απλό από του Δημήτρη παράδειγμα που ήθελα να δώσω είναι η περίπτωση ενός σημείου που κινείται ελεύθερα πάνω σε μια σφαίρα και δέχεται μοναδική δύναμη αυτή από την σφαίρα (δεσμός). Η διαδρομή της θα είναι προφανώς ένα τόξο μέγιστου κύκλου.. Αλλά ανάμεσα σε δυο τυχαία σημεία ενός μέγιστου κύκλου περνάνε δυο τόξα που αντιπροσωπεύουν το μεγάλο και το μικρό τμήμα της περιφέρειας αυτής. Το ένα από αυτά αντιστοιχεί στο μέγιστο και το άλλο στο ελάχιστο S, Αν η αρχή και το τέλος της διαδρομής είναι δυο αντιδιαμετρικά σημεία το αποτέλεσμα αντιστοιχεί στο στατικό S. Αυτή που το S της θα μεγαλώσει λιγότερο αν πάρω παραπλήσια τροχιά.
Άρη καταλαβαίνω το εξής:
Η συνθήκη δS=0, έτσι όπως αποδεικνύεται, μας πληροφορεί ότι η δράση μηδενίζεται μόνον για συναρτήσεις παρεμφερείς με την συνάρτηση λύση των εξισώσεων Euler-Lagrange (ή του δευτέρου νόμου).
Ας επικαλεστούμε ένα παράδειγμα από την μελέτη συναρτήσεων (αφήνω εκτός των σημεία καμπής):
Όταν μία συνάρτηση y(x) παρουσιάζει ελάχιστο σε ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της, αυτό σημαίνει ότι για μία πολύ μικρή μεταβολή στην γειτονιά του x0,x0+δx, η μεταβολή της συνάρτησης σε πρώτου βαθμού προσέγγισης ως προς δx, ισούται με το μηδέν, ή δy=0. Διαφορετικά η κλίση της εφαπτομένης στο σημείο x0 ισούται με το μηδέν (μηδενισμός της πρώτης παραγώγου). Αυτό βέβαια δεν σημαίνει ότι στο x0 έχουμε ολικό ελάχιστο, ούτε ότι δεν υπάρχουν και άλλα ακρότατα (πχ στο x1 του σχήματος). Αν δε φύγουμε μακριά από το x0, προφανώς το δy δεν μηδενίζεται!
Αναλογικά η μεταβολή της δράσης ισούται με το μηδέν, δS=0, για τροχιές x(t)+ξ(t) στην «γειτονιά» της τροχιάς x(t) που προκύπτει από την λύση των εξισώσεων Euler-Lagrange (ή του δευτέρου νόμου). Για μικρές μεταβολές της τροχιάς ξ(t), η μεταβολή της δράσης ισούται με το μηδέν. Αυτό εννοούμε με το ότι η δράση παραμένει σταθερή. Υπάρχει δηλαδή μία αντιστοιχία μεταξύ των x0<-> χ(t) και δx<-> ξ(t). Έπεται ότι για τροχιές «μακριά» από την σωστή χ(t), η δράση μπορεί να πάρει τιμές είτε μεγαλύτερες είτε μικρότερες από την ακρότατη (αυτό συμβαίνει με τις τροχιες του Δημήτρη δίπλα).
Αυτός ήταν ο προβληματιμός που έθεσα.Το δε προφανές που έχανα ήταν η παραπάνω αντιστοιχία.
Στάθη συγχαρητήρια για την εργασία σου που εξετάζει εξονυχιστικά το θέμα.
Ήταν καλή σύμπτωση που γράψαμε μαζί. Εσύ με πληρότητα και αυστηρότητα
εγώ πιο ανάλαφρα.
Εκείνο που βρήκα (στη βιβλιογραφία) είναι το εξής ενδιαφέρον:
Ειδικά για τον αρμονικό ταλαντωτή η δράση για τη φυσική τροχιά -έστω x0(t) – παίρνει
μια ορισμένη τιμή S0. Για μια άλλη παραπλήσια τροχιά – έστω x1(t) – παίρνει μια άλλη τιμή S1 που μπορεί να είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη από την S0.
Αν μεταβάλλουμε λίγο την x0(t) θα πάρουμε την S0 +ΔS0.
Αν μεταβάλλουμε λίγο την X1(t) θα πάρουμε την S1+ΔS1.
Ισχύει ΔS0<ΔS1 πάντοτε.
Με αυτή την έννοια η δράση δεν ελαχιστοποιείται από τη φυσική τροχιά αλλά καθίσταται στάσιμη. Και αυτό εξαρτάται επίσης από τα όρια ολοκλήρωσης. Αν περιοριστούμε σε
χρονικό διάστημα μικρότερο από το μισό της περιόδου, η δράση -όπως θα περίμενε κανείς- γίνεται ελάχιστη. (Είναι το πρώτο παράδειγμά μου που κερδίζει η “μαύρη” καμπύλη.)
Στην ανάλυσή σου αυτό θα προέκυπτε αν κράταγες στο ανάπτυγμα σου ως προς τη μικρή συνάρτηση ξ(t) (Α.18 κάτω) μια τάξη περισσότερο – δεν είναι τόσο απλό-.
Με αυτή την έννοια η δράση παρουσιάζει κάτι σαν σαγματικό σημείο.
Θα ήταν αφελές να έβρισκα την εξίσωση της αρμονικής ταλάντωσης με τον πρωτόγονο τρόπο. Θα ήθελε αμέτρητες προσπάθειες – για κάθε χρονικό διάστημα – αναζητώντας
όχι την ελάχιστη δράση αλλά τη στάσιμη.
Καλησπέρα Στάθη.
Να ξαναπώ ότι η δουλειά σου είναι εξαιρετική.
Και το θέμα είναι τέτοιο για το οποίο ο πολύς Feynman έλεγε
Μια μέρα όταν ήμουν ακόμα μαθητής στο Λύκειο ο καθηγητής μου της Φυσικής – ο κ. Bader– με φώναξε μετά το μάθημα και μου είπε:
«Φαίνεται ότι βαριέσαι κατά τη διάρκεια του μαθήματος, γι αυτό θα θελα να σου πω κάτι που το θεωρώ ενδιαφέρον».
Αυτό που μου είπε αμέσως μετά το βρήκα απόλυτα συναρπαστικό, τόσο που εξακολουθεί να με συναρπάζει μέχρι και σήμερα. Το θέμα αυτό εμφανίζεται συνέχεια μπροστά μου και δουλεύω πάνω σ’ αυτό διαρκώς. Για να είμαι ειλικρινής, στην πραγματικότητα, όσο προετοίμαζα την συγκεκριμένη διάλεξη συνέλαβα τον εαυτό μου να κάνει επιπλέον αναλύσεις στο συγκεκριμένο ζήτημα. Αντί να ανησυχώ για τη διάλεξη προτίμησα να μπλεχτώ μ’ ένα καινούργιο πρόβλημα. Και το θέμα που με απορροφά δεν είναι άλλο από την αρχή της ελάχιστης δράσης.
Πηγή https://physicsgg.blogspot.com/2011/04/blog-post.html#more όπου υπάρχει και μια επεξεργασία του ίδιου για το θέμα.
Όσοι ασχοληθήκαμε, εξαιτίας της εργασία σου καθώς και με την αντίστοιχη του Δημήτρη, νομίζω, βγήκαμε πιο πλούσιοι.
Να είσαι πάντα καλά.