Το παράδοξο που δεν είναι παράδοξο

Το δοχείο του σχήματος έχει τετράγωνη βάση πλευράς α=0,1m και οι πλαϊνές κεκλιμένες  πλευρές σχηματίζουν γωνία θ=45ο με την οριζόντια διεύθυνση.

Τοποθετούμε στο δοχείο ποσότητα νερού μάζας m=2kg που φτάνει μέχρι ύψος h.

i) Να βρείτε το ύψος h που θα ανέλθει το νερό.

ii) Να βρείτε τη συνολική δύναμη που δέχεται το νερό από το δοχείο.

iii) Να βρείτε την πρόσθετη κατακόρυφη δύναμη που ασκεί η βάση και τα πλαϊνά κεκλιμένα τοιχώματα μετά την εισαγωγή του νερού.

iv) Να συσχετίσετε την πρόσθετη κατακόρυφη δύναμη που ασκούν τα τοιχώματα στην περίπτωση iii) πριν και μετά την εισαγωγή νερού, με το βάρος του νερού.

Η ατμοσφαιρική πίεση patm=105pa, ρν=103kg/m3 και το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας g=10m/s2.

Απάντηση

σε pdf  ή σε word

(Visited 1,715 times, 1 visits today)
Subscribe
Ειδοποίηση για
47 Σχόλια
Inline Feedbacks
Όλα τα σχόλια
Βασίλειος Μπάφας
1 μήνας πριν

Καλημέρα Χρήστο. Ωραίο “μάζεμα” αυτής της ενότητας.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor

Καλημέρα Χρήστο και Βασίλη.
Χρήστο πολύ όμορφη ανάρτηση.
Δεν κατάλαβα το ακροτελεύτιο ερώτημα.

Διονύσης Μάργαρης
Admin
1 μήνας πριν

Καλημέρα Χρήστο, καλημέρα σε όλους.
Πράγματι δεν υπάρχει κανένα παράδοξο, αφού το βάρος δεν έχει …προεκτάσεις μόνο στη βάση, αλλά εν μέρει και στις επικληνείς πλευρές.
Μια επιφύλαξη μόνο. Μήπως η ενασχόληση με την ατμοσφαιρική πίεση δυσκολεύει τις πράξεις και “θολώνει” λίγο την εικόνα;

Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor

Η ατμοσφαιρική πίεση είναι ίση με το πηλίκο του βάρους μιας στήλης αέρα που έχει ύψος όσο η ατμόσφαιρα και διατομή Α διά Α.
Είναι ίση όμως, δεν οφείλεται στο βάρος.
Η βαρύτητα κατανέμει ανομοιόμορφα τα μόρια του αέρα και εκεί βρίσκεται η δράση της.
Περισσότερα:
Η άνωση στα αέρια.
Η άνωση στα αέρια, μια σύντομη απόδειξη.

Στο ερώτημα ζητάς αν με το άνοιγμα η πίεση θα γίνει μια ατμόσφαιρα;
Θα γίνει τόση.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor

Εάν δεν ανοίξουμε το δοχείο το μανόμετρο θα δείξει πάλι 100 Atm.
Το νερό δεν θα εκτιναχθεί διότι η μεταβολή όγκου είναι μικρή.
Θέλεις όμως να δούμε κίνηση;
Τότε:comment image

Η απειροελάχιστη μεταβολή όγκου θα δώσει μια αισθητή άνοδο. Αν θυμάμαι καλά πάνω από 20 πόντους για ένα κυβικό μέτρο νερό.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor

Είχε γίνει τότε μεγάλη συζήτηση.
Το νερό και το δοχείο.
Αυτή η μνήμη δεν είναι παρά η μεταβολή του όγκου του νερού.
Το μοντέλο του ασυμπίεστου υγρού αδυνατεί να αντιμετωπίσει τέτοια θέματα.

Κώστας Ψυλάκος
Editor
1 μήνας πριν

Καλημερα και καλη εβδομαδα!

Χρηστο καλη η αναλυση σου , πολλες οι δυναμεις και καπου θελει προσοχη η αναλυση τους αλλα και η διατυπωση του τι θελουμε να βρουμε.

ΕΙναι γεγονος οτι το εκαστοτε δοχειο με υγρο θα βρισκεται σε αλληλεπιδραση με την ατμοσφαιρα η οποια ειναι βεβαια παντου! Αυτο που τελικα συγκρατει το υγρο ειναι η αντοχη των τοιχωματων του δοχειου . ΕΙναι γνωστο το πειραμα με τον αδειο τενεκε στον οποιο ριξαμε ενα φλεγομενο αντικειμενο και τον κλεισαμε οσο καλυτερα γινεται. Μετα απο λιγο τα τοιχωματα θα παραμορφωθουν . Επομενως αντιλαμβανομαστε την επιδραση της ατμοσφαιρας στο ολο θεμα . Βεβαια αν θελουμε να κανουμε την αναλυση που αναζητας φυσικα πρεπει να κινηθουμε με τον τροπο που υποδεικνυεις.

Ακομη και το “Υδροστατικο Παραδοξο” εχει νοημα απο την στιγμη που λειτουργούμε δεχομενοι οτι η συνολικη επιδραση της ατμοσφαιρας στο δοχειο ειναι μηδεν .

Προσφατα στην αναρτηση του Α.Παπαζογλου ειχα κανει μια αναλυση σε κυλινδικο δοχειο και σε δοχειο ομοιο με το δικο σου

εδω1 , εδω2

Να εισαι καλα Χρηστο και καλη συνεχεια!

Βαγγέλης Κουντούρης

καλό μεσημέρι σε όλους
καλή και αναλυτική δουλειά, Χρήστο
(στο iii β καλύτερα η δύναμη και στο γ οι δυνάμεις, Ονομαστική, το Κλασσικό σχολείο που λέγαμε;)
καλό θα ήτανε, επίσης, να αναφερθεί ότι οι οριζόντιες συνιστώσες από τα πλαϊνά τοιχώματα αλληλοαναιρούνται
για το ερώτημα θέλω περισσότερο “φως”, διότι τέτοιο πείραμα δεν έχω κάνει…
αν το πώμα και τα τοιχώματα του δοχείου μεταφέρουν πιέσεις δεν θα γίνει τίποτα, διότι το νερό στο δοχείο θα κρατά στη μνήμη του (μου άρεσε ο όρος) όλο και μικρότερες πιέσεις 101Atm στην αρχή (και όχι 100 που γράφεις) και 1Atm μόλις βρει εντελώς έξω, αν, όμως, είναι ανένδοτα ή το δοχείο τοποθετηθεί σε άλλο δοχείο κενού π.χ., νομίζω ότι θα τιναχτεί ποσότητα νερού προς τα έξω, λόγω διαφοράς πίεσης
και επειδή στο σχολικό βιβλίο της Β΄ Γυμνασίου το υδροστατικό παράδοξο αναφέρεται λανθασμένα, έχω κάνει μια σχετική δουλειά, την έχω αναρτήσει και εδώ, αλλά δεν την βρίσκω (σιγά την είδηση;), όποιος ενδιαφέρεται ρίχνει μια ματιά: https://ekountouris.blogspot.com/2019/02/blog-post_87.html

Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor

Γεια σας Κώστα και Βαγγέλη.
Το ερώτημα του Χρήστου ας επιστήσει την προσοχή σε όποιον παίζει με κλειστά δοχεία.
Ας αποφύγουμε θέματα όπως:comment image
Ο σωλήνας έχει ύψος 10 μέτρων.
Πάνω η πίεση είναι μία ατμόσφαιρα και κάτω δύο.
Τον ξαπλώνουμε.
Ποιες θα είναι οι πιέσεις σε σημεία του ξαπλωμένου σωλήνα;
Δεν είναι δύσκολο το να κάνουμε λάθος και να πούμε ότι στο ανώτερο σημείο του ξαπλωμένου σωλήνα η πίεση είναι μία ατμόσφαιρα, ενώ είναι μιάμιση.
Λάθος 50%!
Μακριά από τέτοια θέματα.

Νίκος Διαμαντής
1 μήνας πριν

Αστο το εκανα

Νίκος Διαμαντής
1 μήνας πριν

Μπορεις να εξηγησεις Γιάννη; το 1,5

Νίκος Διαμαντής
1 μήνας πριν
Απάντηση σε  Νίκος Διαμαντής

Αν έχεις κατι εύκολο γράψε το. Νομίζω μόνο με προσέγγιση βγαίνει αυτό.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor
Απάντηση σε  Νίκος Διαμαντής

Πολύ εύκολο δεν είναι.
Έχω γράψει την απόδειξη:
comment imagecomment image

Δεν πρόκειται για προσέγγιση.

Δημήτρης Σκλαβενίτης

Γιάννη δοκίμασα να λύσω γενικά το πρόβλημα του σχήματος με δοχείο σταθερού όγκου και πυκνότητα _υπόθεση_ που να μεταβάλλεται γραμμικά με το βάθος. Περισσότερα εδώ

Νίκος Διαμαντής
1 μήνας πριν

Γειά σου Δημήτρη. Η πίεση στο υγρό είναι σε γραμμικη εξάρτηση με τον ειδικό όγκο(δες σχήμα). Δηλ με την ποσοτητα 1/ρ. Αρα για τον υπολογισμό της πιεσης έχουμε αναπόφευκτα μια αυτοσυνεπή εξίσωση με όλες τις συνέπειες…

comment image

Τελευταία διόρθωση1 μήνας πριν από Διονύσης Μάργαρης
Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor

Δημήτρη επιπόλαια κοιτώντας μου φαίνονται όλα σωστά.
Όμως ενώ η διαφορά pπ-po (πιέσεις) είναι σημαντική και ίδια (σχεδόν) όση και να είναι η συμπιεστότητα, η διαφορά πυκνοτήτων ρπ-ρο είναι απειροελάχιστη. Έτσι στην τελική σου σχέση ουσιαστικά ο δεύτερος όρος εξαφανίζεται.
Πιο απλά , σε δοχείο 10 μέτρων η διαφορά πιέσεων είναι 1 Atm.
Διαφορά 100% δηλαδή.
Πόση είναι όμως η διαφορά πυκνοτήτων;
Σε ποιο δεκαδικό ψηφίο εμφανίζεται διαφορά;

Νίκος Διαμαντής
1 μήνας πριν

Καλημέρα Γιάννη. Προφανώς έχεις κάνει προσέγγιση αφού θεώρησες την πυκνότητα σταθερη και την έβγαλες έξω από το ολοκλήρωμα. Εγώ το αντιμετώπισα ως υπεσυμπιεσμένο υγρό. Η πυκνότητα στην κορυφή είναι μικρότερη από αυτή στον πυθμένα. Υπάρχει εξάρτηση της πίεσης από την πυκνότητα. Όταν το φέρνεις οριζόντια(αγνόησε τις άλλες διαστάσεις πλην του μήκους) η πυκνότητα είναι παντού ίδια ίση με τη μέση τιμή της πυκνότητας=m/V. Δηλ. ρμ=1/L.S(απο χ=0 έως χ=L)ρ(χ).dx. Υπολογίζοντας την ρμ βρίσκεις την πίεση του ρευστού. Με προσεγγίσεις βγαίνει το αποτέλεσμα.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor
Απάντηση σε  Νίκος Διαμαντής

Καλημέρα Νίκο.
Αν εννοείς αυτήν την προσέγγιση έχεις δίκιο.
Είναι προσέγγιση καλή. Ας πούμε ότι θα βγάζαμε αντί 1,5 Atm 1,499 Atm.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor
Απάντηση σε  Νίκος Διαμαντής

Νίκο η απόδειξη βρίσκεται στο:
Ένα στερεό και ένα υγρό ελατήριο.
Στο τέλος ως πόρισμα.
Τι συμβαίνει:
Με όρθιο το δοχείο η πίεση στη μέση είναι το ημιάθροισμα ήτοι 1,5 Atm.
Όταν το ξαπλώνουμε φυσικά ο όγκος διατηρείται, η συμπίεση διατηρείται και αποδεικνύεται ότι διατηρείται η πίεση στη μέση.
Τώρα όμως όλο το δοχείο “έγινε μέση”. Είναι λεπτός σωλήνας και ασήμαντη η διαφορά πιέσεων από το πάνω μέρος ως το κάτω.

Κατερίνα Αρώνη
1 μήνας πριν

Γιάννη καλησπέρα

Δεν κατάλαβα γιατί η πίεση στο Κ πρέπει να είναι η ίδια στην περίπτωση του νερού στην κατακόρυφη και οριζόντια θέση του δοχείου.

Επίσης γιατί το νερό συμπεριφέρεται σαν οριζόντιο ελατήριο όταν το δοχείο είναι οριζόντιο; Δεν μπορείς να θεωρήσεις ότι το νερό είναι πάλι κατακόρυφο ελατήριο όπως και πριν, αφού έχουν διαφορετική ευελιξία κινήσεων τα μόριά του;
Αυτό βέβαια δεν μπορείς να το κάνεις στην περίπτωση του στερεού ελατηρίου, το οποίο θεωρείς ότι συμπιέζεται μόνο κατά τον άξονά του…
Επίσης το ελατήριο δεν πιέζει όλες τις επιφάνειες του δοχείου με τον τρόπο που το κάνει το νερό.
Βλέπω διαφορετική συμπεριφορά στις δύο περιπτώσεις που αντιπαραβάλλεις…

Απορώ πώς συσχετίζεις το στερεό ελατήριο με ένα υγρό που έχει τελείως διαφορετική συμπεριφορά όσον αφορά στην έννοια της πίεσης.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor
Απάντηση σε  Κατερίνα Αρώνη

Καλησπέρα Κατερίνα.
Η απόδειξη.
Το γιατί είναι ίδια φαίνεται στο τμήμα της:comment image

Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor

Η απόδειξη δεν επικαλείται το ελατήριο.
Το σχόλιο επικαλείται το ελατήριο.
Αν σβήσω όλα τα σχετικά με το ελατήριο και παραθέσω μόνο το “υγρό” τμήμα, καταλήγουμε πάλι στο ότι ΔV/V=κ.Pκ δηλαδή ότι το ποσοστό μεταβολής όγκου είναι ανάλογο της πίεσης στο μέσον.
Αφού το ποσοστό δεν αλλάζει αν ξαπλώσουμε το δοχείο, δεν αλλάζει και η πίεση στο μέσον.
Μέσον είναι το μέσον του άξονα, είτε είναι όρθιο είτε ξαπλωμένο.

Κατερίνα Αρώνη
1 μήνας πριν

Γιατί το ΔV είναι το ίδιο στις δύο περιπτώσεις;
Στη μια περίπτωση το σημείο Κ έχει από πάνω του στήλη νερού ύψους H/2 και στην άλλη h/2, με h<<H
Όταν ο σωλήνας είναι οριζόντιος η πίεση στο Κ που προκαλείται από το μισό βάρος του υγρού δεν είναι μικρότερη αφού το h είναι πολύ μικρότερο;

Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor
Απάντηση σε  Κατερίνα Αρώνη

Το ΔV είναι ίδιο γιατί το δοχείο κλείστηκε..
Αν υποθέσουμε ότι ο όγκος ήταν 1 κ.μ. και έγινε 0,9999 κ.μ. , όταν το κλείσαμε εγκλωβίσαμε το νερό σε δοχείο όγκου 0,999 κ.μ.
Ο όγκος 0,999 κ.μ. του δοχείου (και του εγκλωβισμένου νερού δεν θα αλλάξει αν αλλάξει ο προσανατολισμός του δοχείου.
Το πόσο είναι το μισό βάρος του νερού δεν εξαρτάται από τον προσανατολισμό. Με 1 κ.μ νερού το μισό βάρος είναι 500 kp ή 5.000 N περίπου.

Κατερίνα Αρώνη
1 μήνας πριν

Αν θεωρήσουμε ότι η πίεση στο πάνω μέρος του κατακόρυφου δοχείου είναι μηδέν θα είναι ίδια η πίεση στο Κ όταν γίνει οριζόντιο;;

Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor
Απάντηση σε  Κατερίνα Αρώνη

Αν στο πάνω μέρος είναι μηδέν, τότε (10 μ, ύψος) στο κάτω είναι 1 Atm και στη μέση 0,5 Atm.
Όταν το ξαπλώσεις θα γίνει παντού 0,5 Atm.

Κατερίνα Αρώνη
1 μήνας πριν
Απάντηση σε  Κατερίνα Αρώνη

Βέβαια δεν ξέρω αν μπορούμε να το θεωρήσουμε αυτό…

Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor

Δηλαδή:comment image
Αποχωρώ για δυο ώρες.

Κατερίνα Αρώνη
1 μήνας πριν

Εντάξει, θα το ξαναδώ..

Αποστόλης Παπάζογλου
Editor

Πολύ καλό θέμα Χρήστο και αναλυτικά παρουσιασμένο. Βέβαια αν κάποιος ”λυγίσει” στο πρώτο ερώτημα, δεν θα προχωρήσει μετά…