by 
Ας μου επιτραπεί η παρασπονδία, του να ανεβάσω ένα καθαρά μαθηματικό θέμα, σε έναν ιστότοπο φυσικής. Μου φάνηκε όμως εξαιρετικά ενδιαφέρον και σκέφτηκα να το μοιραστώ. Επιπλέον βρήκα και δύο χαλαρές συνδέσεις με την φυσική (κάπως πρέπει να δικαιολογηθώ):
- Δείχνει πόσο εύκολα καραδοκεί το λάθος στα μαθηματικά και στις εφαρμογές τους στις θετικές επιστήμες.
- Δεν το ήξερα, αλλά αθροίσματα αυτού του τύπου προκύπτουν και σε κάποιες θεωρητικές περιγραφές φυσικών φαινομένων.
Καλημέρα Στάθη.
Και στα Μαθηματικά λέμε ναι!!!
Καλημέρα Διονύση,
ευτυχώς γιατι αλλιώς θα έννοιωθα σαν “φτωχός και μόνος καουμμπόι” (από τους πολύ αγαπημένους μου ο Λουκιανός και ο Λούκυ Λούκ).
Καλημέρα Στάθη.
Πρόπερσι είχα αναρτήσει “Κάποια μαθηματικά παράδοξα”
Πρόσθεσα και δύο δικής μου κατασκευής.
Μου έκανε εντύπωση η ανάμιξη Ραμανουτζάν μια και παραβιάζουν τη λογική.
Όταν τα Μαθηματικά παραβιάζουν την λογική, χάνουν από χέρι.
Γιάννη καλημέρα.
Ο σοφός ινδός δεν είχε λάθος. Συσχετίζει, όπως και άλλοι πριν απο αυτόν, αριθμούς με αθροίσματα μη συγκλινουσών σειρών και δεν τις εξισώνει. Παράδοξο γίνεται για όποιον δεν προσέξει, και λάθος μεγάλο σε όποιον επιμένει να παραβιάζει την λογική. Κάποτε είχες αναρτήσει έναν σχετικό πίνακα, τον οποίο μνημονεύω συχνά έκτοτε.
Στάθη δεν ξέρω τι έκανε ή τι ήθελε να κάνει ο σοφός.
Ας δούμε τι λέει η δική μου λογική:
C΄ =1+2+3+4+5+6+….
Η λογική μου μου λέει ότι Αν ορίσω το D=1+2+3+4, τότε C΄ >D. Δηλαδή C΄>10.
Επειδή 10>.-1/12 συνάγω ότι C΄>-1/12.
Επίσης συνάγει η λογική μου ότι το C΄ δεν είναι μιγαδικός. Ότι δεν είναι κλασματικός. Ότι είναι θετικός.
Αν τώρα έρθει ένας και μου πει ότι:
-Ξέρεις είναι ένα σύμβολο και όχι αυτό που κατάλαβες, δηλαδή άθροισμα απείρων όρων που τείνει στο άπειρο!
Τι να πω;
Μπορεί με άλλο παιγνίδι να καταλήξει στο ότι C΄=10+5i (μιγαδικός).
Προφανώς αυτήν σου η λογική ειναι λάθος Γιάννη, όπως και οι προσθαφαιρέσεις των τονούμενων ποιοτήτων στο άρθρο.
Παίζοντας με την λογική αυτήν έφτιαξα διάφορα για πλάκα.
Δύο από αυτά:
Στάθη τι λάθος κάνω στα παρακάτω:
Γιάννη δεν ξέρω αν με ρωτάς στα σοβαρά, αλλά προφανώς το λάθος είναι στην ισότητα C’=-1/12 και A’=1/2 (και B’=1/4).
Το άθροισμα Α’ για παράδειγμα άλλοτε μπορεί να βγει ίσο με 0 (για άρτιο πλήθος όρων) και άλλοτε 1 (για περιττό πλήθος όρων). Διαφορετικά παλλινδρομεί μεταξύ των τιμών 0 και 1 καθώς αυξάνουμε το πλήθος κατά μονάδα κάθε φορά, με το 1/2 να είναι ο μέσος όρος.
Ανάλογα μπορούμε να κινηθούμε και στα υπόλοιπα.
Αλλά αυτά δεν είναι αθροίσματα Cesaro.
Σε ρωτώ απολύτως σοβαρά.
Όταν βλέπω C΄=-1/12 το αντιλαμβάνομαι ως “το όριο του αθροίσματος του ν τείνοντος στο άπειρο είναι -1/12”. Δεν μπορώ να το αντιληφθώ διαφορετικά.
Αισθάνομαι δε ότι τείνει στο άπειρο.
Επίσης έχω μάθει ότι αν η σειρά Σ1 και η σειρά Σ2 τείνουν στο άπειρο, στο άπειρο τείνει και το άθροισμά τους.
Αν το “ίσον” (=) σημαίνει κάτι άλλο (π.χ. αντιστοιχεί ή συμβολίζεται ή παριστάνεται, αντί του “τείνει” ή “ισούται”) δεν το κατανοώ.
Αυτό που λες με την παλινδρόμηση το καταλαβαίνω. Κάτι σαν ταλάντωση με θέση ισορροπίας το ημιάθροισμα των ακραίων όρων. Δηλαδή ταλάντωση με ακραίες θέσεις το 4 και το 0. Είναι η 2+2.ημωt. Έχει μέση τιμή (σε ακέραιο πλήθος περιόδων) το 2.
Γιάννη από την ανάρτηση,
και πιο κάτω,
Τέλος στους συνδέσμους,
Αλλά το ενδιαφέρον (σε εμένα τουλάχιστον φάνηκε έτσι) είναι στα αθροίσματα χωρίς τους τόνους, αυτά με τα όρια.
Στάθη έχω δει διάφορα στο διαδίκτυο.
Κάποιος έλεγε “Πιστέψτε στα Μαθηματικά και όχι στον Βόλφραμ”.
Στη συνέχεια υπελόγιζε την τρίτη ρίζα αρνητικού αριθμού!
Άλλο πράγμα όμως η τρίτη ρίζα(-27) και άλλο πράγμα η λύση της εξίσωσης x^3=-27.
Μετά τα έβαζε με το Βόλφραμ.
Μια άλλη φορά έλεγε να πιστεύουμε στα Μαθηματικά και όχι στο κομπιουτεράκι μας και έβγαζε κάτι παράξενο.
Απίστευτο άθροισμα θετικών αριθμών να βγάζει αρνητικό αποτέλεσμα. Κάπου υπάρχει λάθος στο συλλογισμό.
Καλησπέρα Κατερίνα, ευχαριστώ για το σχόλιο.
Έχεις δίκιο, είναι λάθος οι σχέσεις (4), (8) και (13) και πρέπει να είμαστε προσεκτικοί όταν κάνουμε πράξεις με μη συγκλίνουσες σειρές. Αλλά είναι σωστά τα αποτελέσματα (3) και (7) για τα όρια των αριθμητικού μέσου των αθροισμάτων των n πρώτων όρων κάθε σειράς, καθώς το n τείνει στο άπειρο.
Οι πράξεις που οδηγούν στις σχέσεις (4), (8) και (13), σχεδιάστηκαν επίτηδες έτσι ώστε να δίνουν ίδια αποτελέσματα…
Ναι σίγουρα σε μη συγκλίνουσες σειρές υπάρχει πρόβλημα. Ό,τι “αγγίζει” το άπειρο είναι δύσκολο να το σκεφτούμε και να το αντιμετωπίσουμε ..
Νομίζω ότι σε τέτοιες περιπτώσεις δεν μπορούμε να προσθέτουμε κατά μέλη ισότητες που περιέχουν σειρές απείρων όρων. (Αν θυμάμαι καλά, το είχα ψάξει παλαιότερα…)
Στάθη δεν καταλαβαίνω τι λες.
Είδα ένα βίντεο που ανάρτησε το physicsgg.
Σχετίζεται με όσα λες, ή άλλο εννοείς;
Ίσως δεν κατάλαβα τι εννοείς και ενίσταμαι χωρίς λόγο.
Γιάννη δεν είχα δει το βίντεο, παρά μόνον το άρθρο στον πρώτο σύνδεσμο στην ανάρτηση. Εκεί είδα για πρώτη φορά τα αθροίσματα Cesaro, τα οποία στην συνέχεια έψαξα στο διαδίκτυο για να καταλάβω το άρθρο (για το οποίο μάλιστα γράφω ότι μάλλον για λόγους εντυπωσιασμού δεν είναι ξεκάθαρο). Δεν είχα ιδέα ότι εμπλέκεται και η συνάρτηση ζ στο παιχνίδι (και για την ώρα δεν καταλαβαίνω και πώς ακριβώς, είδα το βίντεο στα γρήγορα).
Αλλά επίσης δεν καταλαβαίνω τι σε προβληματίζει με όσα έγραψα. Προφανώς και το άθροισμα Α’ δεν ισούται με το 0.5, αλλά το όριο Α ισούται με το 0.5. Το ίδιο για τα αθροίσματα και όρια Β και Β’, καθώς και C και C’. Άρα σε κάθε μη πεπερασμένο άθροισμα, αντιστοιχεί όταν συγκλίνουν τα όρια, ένας αριθμός: ο αριθμητικός μέσος των αθροισμάτων των n πρώτων όρων κάθε σειράς, αν το n τείνει στο άπειρο.
Ένα μαθηματικό παιχνίδι είναι, τουλάχιστον μέχρι να δώ το βίντεο έτσι το εκλάμβανα. Θα το κοιτάξω πιο προσεκτικά για να δω τι ακριβώς εννοεί.
Στάθη πάλι δεν κατάλαβα. Όταν γράφουμε το άθροισμα 1+1/2+1/4+1/8+… το όριο δεν εννοούμε;
Όταν γράφουμε 1+2+3+4+…. το όριο δεν εννοούμε (άπειρο);
Δεν καταλαβαίνω αυτό που γράφεις:
Προφανώς και το άθροισμα Α’ δεν ισούται με το 0.5, αλλά το όριο Α ισούται με το 0.5.
Τα μαθηματικά παιγνίδια είναι ωραία. Από αυτά μου αρέσει ιδιαίτερα εκείνο που αποδεικνύεται ότι μια οξεία γωνία ισούται με μία αμβλεία.
Γιάννη και εγώ δεν καταλαβαίνω τι εννοείς. Μετά από όσα έγραψα, απαντάς ως αν να ισχυρίζομαι ότι 1-1+1-1+…=0.5.
Το όριο Α δεν είναι το άθροισμα Α’. Δεν μπορώ να πω κάτι περισσότερο, διάβασε πάλι το άρθρο.