by 
Δίδεται τετράγωνο ΑΒΓΔ.
Στο εσωτερικό του τετραγώνου κατασκευάζουμε δύο γωνίες ΟΓΔ και ΟΔΓ
ίσες με 15ο η κάθε μία.
Να δειχθεί ότι το τρίγωνο ΑΒΟ είναι ισόπλευρο.
(για τη φουκαριάρα τη Γεωμετρία, που έχει, κάπως, πέσει στα αζήτητα τελευταία…)
Επειδή το να μοιράζεσαι πράγματα, είναι καλό για όλους…
Πολύ καλή Βαγγέλη.
Καλησπερα σας.Kαποιος ρομαντικος που διαβαζε τα βιβλια των : Lemaire, Κανελλου,Τογκα, Ιησουητων,κλπ θα μπορουσε να γραψει μια κομψη Ευκλειδια λυση. Και εγω ετσι την ειχα λυσει παλια μετα απο πολλες πολλες ωρες προσπαθειας.Ενας φυσικος θα μπορουσε να βεβαιωθει αμεσως για το οτι ισχυει η προταση αφου το αντιστροφο ειναι προφανες και επισης ειναι προφανες οτι υπαρχει 1-1 αντιστοιχια μεταξυ των δυο γωνιων ΒΑΟ και ΔΓΟ των δυο ισοσκελων τριγωνων το ενα απο τα οποια ειναι το υποψηφιο ισοπλευρο.
Βαγγέλη καλησπέρα
Μπορούμε να φέρουμε το ύψος ΟΕ του τριγώνου ΟΓΔ το οποίο είναι ταυτόχρονα και διάμεσος αφού το τρίγωνο είναι ισοσκελές και να το προεκτείνουμε ώστε να τμήσει την ΑΒ στο Ζ (έστω)
Εύκολα παίρνουμε ότι η ΟΖ είναι ύψος και διάμεσος του ΟΑΒ άρα το ΟΑΒ ισοσκελές.
….και συνεχίζουμε…
ευχαριστώ Γιάννη
Κωνσταντίνε, γίνε πιο σαφής
Κατερίνα, ισοσκελές όχι ισόπλευρο
Διονύση, μια εικόνα εκεί ψηλά, please…
Γεια σου Βαγγέλη
Είπα…και συνεχίζουμε…
Είπα μια πρώτη σκέψη, μετά θέλει χαρτί και μολύβι 🙂
μεταφέρω και εδώ το σχόλιο που έκανα στον δικό μου χώρο
“1967.
Καλοκαίρι, δύο μήνες, όλο κι όλο Φροντιστήριο στην Αθήνα, για Ακαδημαϊκό Απολυτήριο, εγώ ο επαρχιώτης από τα Βάτικα Λακωνίας, ναι, μάλιστα 19,5 Απολυτήριο στη Γ Λυκείου, αλλά από Κλασσικό Σχολείο, ρε, φίλε, πάρα πολύ καλό Σχολείο, ναι, δύσκολο, απαιτητικό, αυστηρότατο, αλλά Κλασσικό, πώς θα γίνεις Φυσικός, ρε, φίλε;
Αθήνα, οδός Μπενάκη, Φροντιστήριο “Φιλίππου-Γούναρη” (Παύλος Φιλίππου, εξαιρετικός Μαθηματικός, Νίκος Γούναρης εξαιρετικός Φυσικός, μουσειακά βιβλία),
Λέει, λίγο πριν το τέλος, που θα φεύγαμε για Πάτρα για τις εξετάσεις, όλοι οι Πελοποννήσιοι εκεί δίναμε εξετάσεις, έχουμε δίωρο κολλητό Γεωμετρίας, ο Σπύρος ο Δεληβοριάς εξαιρετικός και αγαπημένος Γεωμέτρης, που δυστυχώς, “έφυγε” πολύ νωρίς: “10 χρόνια βάζω αυτήν την άσκηση, αλλά δεν, κανένας, τίποτα…,
αν, πάντως, κάποιος τη λύσει μέχρι το τέλος του δίωρου θα του πληρώσω εγώ τα μισά δίδακτρα”, τα δίδακτρα ήταν 1500 δραχμές
ε, ναι, πλήρωσα 750 δραχμές μόνο!
Δεν το ξέχασα ποτέ, Δάσκαλε Σπύρο, διότι ήμουν πάμφτωχος …
Την άλλη μέρα θα πήγαινα Πάτρα, με φίλησε, ο Σπύρος ο Δεληβοριάς, ο Δάσκαλος, ο Γεωμέτρης, και θυμάμαι τί μου είπε: “καλή σου επιτυχία, Βαγγέλη, και καλή μου επιτυχία ταυτόχρονα”
Μερικά χρόνια μετά, προσπάθησα να γίνω Δάσκαλος σαν κι αυτόν,
Οι μαθητές μου θα κρίνουν, αν, μακάρι τα κατάφερα…
(για την ιστορία, έδωσα τότε την πρώτη απάντηση) “
Βαγγέλη, πολύ συγκινητικό…μπράβο!!
Μετά από αυτό όμως, αν δεν έχει χρηματικό έπαθλο, δεν συνεχίζω…..
μόνο φιλιά διαθέτει το κατάστημα, Κατερίνα,
από λεφτά nothing,
κάτι ο κορωνοϊός, ο ανταγωνισμός,
η μείωση μισθών, τα λόγια του παπά…
Κατασκευαζω ισοπλευρο τριγωνο ΓΔΖ οπου το Ζ ειναι εκτος του τετραγωνου.Αποδεικνυεται πολυ ευκολα οτι ΑΟΖΓ ρομβος αρα ΑΒΟ ισοπλευρο. (Ο.Ε.Δ)
Το να συμπληρωσει κανεις τα κενα ειναι μια ευκολη ασκηση πρωτης λυκειου.
Αλλη λυση:
Η προταση ειναι προφανης αν δεν περιοριστουμε στην ευκλειδια γεωμετρια αφου οι προτασεις:
“Αν οι προσκειμενες στην βαση γωνιες του ΓΟΔ ειναι 15 μοιρες η καθε μια τοτε το ΑΒΟ ειναι ισοπλευρο”
και
“Αν το ΑΒΟ ειναι ισοπλευρο τοτε το ΟΓΔ ειναι ισοσκελες με τις προσκειμενες στην βαση του γωνιες 15 μοιρες η καθε μια” ,
ειναι ισοδυναμες προτασεις η μια εκ των οποιων ειναι προφανης!
Η ισοδυναμια των δυο προτασεων αποδεικνυεται ευκολα με αναλυτικες μεθοδους θα ελεγα ομως οτι ειναι προφανης.
Βαγγέλη, έτοιμη και η εικόνα.
Και μια αφιέρωση:
ευχαριστώ Διονύση
και για την εικόνα και για την αφιέρωση
(εννοείται η λέξη είναι “κλεμμένη” από εκείνην την ταινία,
γιος ο Νίκος Ξανθόπουλος, μάνα η Ελένη Ζαφειρίου)
Καλησπέρα παιδιά.
Κωνσταντίνε η πρώτη απόδειξη του Βαγγέλη είναι αυτή που περιγράφεις.
Κατασκεύασε το ισόπλευρο κει έδειξε ότι η γωνία είναι 15 μοίρες.
Έβαλε και άλλες αποδείξεις.
Υ.Γ.
Δεν είμαι σίγουρος αν λύση με αναλυτικές μεθόδους θα μηδενιζόταν όταν εμείς εξεταζόμασταν στην Γεωμετρία. Ίσως όχι αλλά δεν είμαι σίγουρος.
Δεν εχω δει την αποδειξη που λες Γιαννη. Αφου οι γωνιες ειναι 15 μοιρες εξ υποθεσεως τι να δειξουμε.Εστω ΓΔΖ ισοπλευρο.Φερω τις διαμεσους των ΓΟΔ και ΓΖΔ πανω στην ΓΔ οι οποιες αναγκαστικα θα ειναι και υψη και διχοτομοι αρα τα σημεια Ο,Μ,Ζ οπου Μ μεσον της ΓΔ, ειναι συνευθειακα και προκυπτει πολυ ευκολα οτι ΑΟΖΓ ρομβος και συνεπως ΑΒΟ ισοπλευρο.Την εχω λυσει και γραφοντας κυκλο με κεντρο Α και ακτινα την πλευρα του τετραγωνου και απεδειξα οτι ο κυκλος αυτος περναει απο το Ο οποτε το τριγωνο θα ειναι ισοπλευρο.Θυμαμαι ειχα χρησιμοποιησει θεωρημα χορδης και εφαπτομενης. Δεν θυμαμαι ακριβως την λυση πρεπει να σκεφτω για να την ξαναγραψω.Οταν πηγαινα σχολειο μπορουσα να μεινω ξυπνιος μεχρι το πρωι μεχρι να λυσω μια ασκηση.Αν δεν την ελυνα αρωσταινα! Οι λυσεις με αναλυτικες μεθοδους δεν ξερω αν θα μηδενιζοντουσαν, κατα την γνωμη μου καμια μαθηματικα σωστη λυση δεν πρεπει να μηδενιζεται αλλα η καθαρα γεωμετρικη λυση δεν συγκρινεται.
Κωνσταντίνε η Γεωμετρία δεν είναι για να μετράς χωράφια, όπως μας παρουσιάζουν οι κάτω των 50 γιουτιούμπερ.
Είναι ένα παιχνίδι με κανόνες. Αν παίζουμε σκάκι δεν μπορώ να κουνάω τον αξιωματικό σαν πύργο. Αν παίζουμε παραλλαγή του πόκερ, ή θα συμφωνήσουμε “τρία-φουλ” ή θα συμφωνήσουμε “κέντα -χρώμα”.
Αν είναι να γράψουμε εξισώσεις ευθειών και να βρούμε σημεία τομής και γωνίες, χαίρω πολύ. Οιοσδήποτε μη σκεπτόμενος που ξέρει αναλυτική Γεωμετρία θα το λύσει.
Παρέθεσα απαράδεκτη λύση με εφαπτόμενες. Είναι συντομότερη.
Είναι νοητικά κατώτερη διαδικασία. Θα την μηδένιζα με μεγάλη ευχαρίστηση.
Εισαι ρομαντικος της γεωμετριας! Και εγω.
Μια αρκετά σύντομη λύση:
Δεν θέλω να κλέβω με εφαπτόμενες και ημίτονα.
εφαπτομενες και ημιτονα ειναι ιεροσυλια οταν κανεις Ευκλειδια Γεωμετρια
εγω κατασκευασα ισοπλευρο τριγωνο ΓΔΖ εκτος του τετραγωνου απο την κατω πλευρα
Καλή ιδέα Κωνσταντίνε. Στείλε μια πλήρη λύση με σχήμα.
Μου κάνει εντύπωση που ένας νέος ασχολείται με Γεωμετρία.
Εστω ισοπλευρο τριγωνο ΓΔΖ εκτος του τετραγωνου.Αν Μ μεσον της ΓΔ τοτε η ΟΜ ειναι και διαμεσος και υψος και διχοτομος του ισοσκελους ΟΓΔ. Το αυτο ισχυει για την ΖΜ στο ΓΖΔ το οποιο ειναι ισοπλευρο αρα και ισοσκελες με βαση ΓΔ. Αρα Ο,Μ,Ζ συνευθειακα.Το ΟΓΜ ειναι ορθογωνιο αρα η σημειωμενη κοκκινη γωνια με κορυφη Ο ειναι 75 μοιρες.
Το ΖΓΜ ειναι επισης ορθογωνιο αφου ΖΜ υψος και η καθετη πλευρα ΓΜ ειναι το μισο της υποτεινουσας διοτι Μ μεσον της ΓΔ και η υποτεινουσα ισουται με την ΓΔ εκ κατασκευης. .Αρα οι δυο οξειες γωνιες του ΖΓΜ ειναι 60 και 30.Αρα το ΓΟΖ ειναι ισοσκελες αφου οι παρα την βασιν γωνιες του ειναι ισες με 75 μοιρες η καθε μια.Αρα ΟΖ=ΓΖ.Επισης ΓΖ=ΓΑ εκ κατασκευης. Αρα ΟΖ=ΓΑ Επισης ΟΖ παραλληλη στην ΓΑ διοτι και οι δυο ειναι καθετες στην ΓΔ.Αρα ΑΟΖΓ παραλληλογραμμο διοτι δυο απεναντι πλευρες του ειναι ισες και παραλληλες.Ομως ειπαμε οτι ΓΖ=ΓΑ.Αρα ΑΟΖΓ ρομβος διοτι ειναι παραλληλογραμμο με δυο διαδοχικες πλευρες ισες.Αρα ΑΟ=ΑΓ=ΑΒ.Ομοια ΒΟ=ΑΒ . Αρα ΑΒΟ ισοπλευρο (Ο.Ε.Δ)
πολύ καλή απάντηση
(η γωνία 60ο δεν χρειάζεται απόδειξη με μισό υποτείνουσας,
διότι είναι εκ κατασκευής του ισοπλεύρου τριγώνου)
Σωστο! Δεν χρειαζοταν καθολου να το πω αυτο.
Πολύ όμορφη:
Μου άρεσε περισσότερο από τη δική μου.
Αν ομως στο σημειο που γραφω οτι οταν μια καθετη πλευρα ενος ορθογωνιου τριγωνου ισουται με το μισο της υποτεινουσας τοτε αναγκαστικα η απεναντι γωνια ειναι 30 μοιρες,αντι για αυτο εγραφα οτι το ημιτονο της γωνιας που ειναι ο λογος των δυο πλευρων κανει 1/2 και αρα η γωνια ειναι 30 μοιρες,θα ηταν σαν να ακους μια ορχηστρα που φαλτσαρουν τα οργανα ε Γιαννη?
τωρα να την γραψω.
πολύ σωστά Γιάννη
μόνο που…
μόνο που δεν “δικαιούσαι να ομιλείς” περί Ο,
το οποίον το έχω “καπαρώσει” εγώ,
η εκφώνηση δηλαδή,
έπρεπε να το ονομάσεις Ο΄
ή Ε, ως κάποιος Βαγγέλης,
και να δείξεις ότι ταυτίζεται με το “νόμιμο” Ο, μάλιστα!
(ίσως φανεί γελοίο, αλλά δεν ονόμασα Ο΄ το Ε, στην πρώτη μου απάντηση, που θα ήταν και πιο διδακτικό, διότι, λόγω ατζαμοσύνης,μάλλον, ο τόνος του μου έσβηνε γραμμές)
προφανώς για τη “φουκαριάρα” Γεωμετρία έκανα την ανάρτηση, εφαπτομένες και ημίτονα μακριά…
Εντάξει Βαγγέλη. Ας μετονομάσουμε το Ο της λύσης μου σε Ω.
Προφανώς όξω τα ημίτονα. Δεν είμαστε τριαντάρηδες
Παρακολουθώ τον νεαρό, αλλά με εκνευρίζει.
μα, Γιάννη, αστειεύομαι,
εγώ χιουμορίστας δηλώνω ότι είμαι ,
Φυσικός προσπαθώ να…
Μια διόρθωση στην 3η σειρά:
Τα τρίγωνα ΑΓΟ και ΒΔΟ είναι ισοσκελή.
και πάνω στην αγωνία από το μεσημέρι
“πώς να βάλλω εικόνα, πώς να βάλλω εικόνα;”
πάει ο σύνδεσμος με τον δικό μου τόπο,
νέο παιδί, παλληκάρι, είχα τρεις απαντήσεις εκεί,
αλλά απεκατεστάθη η αδικία,
απεδόθη δικαιοσύνη…