Μικρή, αλλά “φαρμακερή” άσκηση

Δίδεται τετράγωνο ΑΒΓΔ.

Στο εσωτερικό του τετραγώνου κατασκευάζουμε δύο γωνίες ΟΓΔ και ΟΔΓ

ίσες με 15ο η κάθε μία.

Να δειχθεί ότι το τρίγωνο ΑΒΟ είναι ισόπλευρο.

(για τη φουκαριάρα τη Γεωμετρία, που έχει, κάπως, πέσει στα αζήτητα τελευταία…)

συνέχεια…

 

 

 

Loading

Subscribe
Ειδοποίηση για
62 Σχόλια
Inline Feedbacks
Όλα τα σχόλια
Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Πολύ καλή Βαγγέλη.

Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος

Καλησπερα σας.Kαποιος ρομαντικος που διαβαζε τα βιβλια των : Lemaire, Κανελλου,Τογκα, Ιησουητων,κλπ θα μπορουσε να γραψει μια κομψη Ευκλειδια λυση. Και εγω ετσι την ειχα λυσει παλια μετα απο πολλες πολλες ωρες προσπαθειας.Ενας φυσικος θα μπορουσε να βεβαιωθει αμεσως για το οτι ισχυει η προταση αφου το αντιστροφο ειναι προφανες και επισης ειναι προφανες οτι υπαρχει 1-1 αντιστοιχια μεταξυ των δυο γωνιων ΒΑΟ και ΔΓΟ των δυο ισοσκελων τριγωνων το ενα απο τα οποια ειναι το υποψηφιο ισοπλευρο.

Τελευταία διόρθωση3 έτη πριν από Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος
Κατερίνα Αρώνη
28/01/2021 4:12 ΜΜ

Βαγγέλη καλησπέρα

Μπορούμε να φέρουμε το ύψος ΟΕ του τριγώνου ΟΓΔ το οποίο είναι ταυτόχρονα και διάμεσος αφού το τρίγωνο είναι ισοσκελές και να το προεκτείνουμε ώστε να τμήσει την ΑΒ στο Ζ (έστω)
Εύκολα παίρνουμε ότι η ΟΖ είναι ύψος και διάμεσος του ΟΑΒ άρα το ΟΑΒ ισοσκελές.

Κατερίνα Αρώνη
28/01/2021 4:14 ΜΜ
Απάντηση σε  Κατερίνα Αρώνη

….και συνεχίζουμε…

Κατερίνα Αρώνη
28/01/2021 4:30 ΜΜ

Γεια σου Βαγγέλη
Είπα…και συνεχίζουμε…

Είπα μια πρώτη σκέψη, μετά θέλει χαρτί και μολύβι 🙂

Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος

Κατασκευαζω ισοπλευρο τριγωνο ΓΔΖ οπου το Ζ ειναι εκτος του τετραγωνου.Αποδεικνυεται πολυ ευκολα οτι ΑΟΖΓ ρομβος αρα ΑΒΟ ισοπλευρο. (Ο.Ε.Δ)
Το να συμπληρωσει κανεις τα κενα ειναι μια ευκολη ασκηση πρωτης λυκειου.
Αλλη λυση:
Η προταση ειναι προφανης αν δεν περιοριστουμε στην ευκλειδια γεωμετρια αφου οι προτασεις:
“Αν οι προσκειμενες στην βαση γωνιες του ΓΟΔ ειναι 15 μοιρες η καθε μια τοτε το ΑΒΟ ειναι ισοπλευρο”
και
“Αν το ΑΒΟ ειναι ισοπλευρο τοτε το ΟΓΔ ειναι ισοσκελες με τις προσκειμενες στην βαση του γωνιες 15 μοιρες η καθε μια” ,
ειναι ισοδυναμες προτασεις η μια εκ των οποιων ειναι προφανης!
Η ισοδυναμια των δυο προτασεων αποδεικνυεται ευκολα με αναλυτικες μεθοδους θα ελεγα ομως οτι ειναι προφανης.

Κατερίνα Αρώνη
28/01/2021 4:54 ΜΜ

Βαγγέλη, πολύ συγκινητικό…μπράβο!!

Μετά από αυτό όμως, αν δεν έχει χρηματικό έπαθλο, δεν συνεχίζω…..

Διονύσης Μάργαρης
28/01/2021 5:45 ΜΜ

Βαγγέλη, έτοιμη και η εικόνα.
Και μια αφιέρωση:

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Καλησπέρα παιδιά.
Κωνσταντίνε η πρώτη απόδειξη του Βαγγέλη είναι αυτή που περιγράφεις.
Κατασκεύασε το ισόπλευρο κει έδειξε ότι η γωνία είναι 15 μοίρες.
Έβαλε και άλλες αποδείξεις.

Υ.Γ.
Δεν είμαι σίγουρος αν λύση με αναλυτικές μεθόδους θα μηδενιζόταν όταν εμείς εξεταζόμασταν στην Γεωμετρία. Ίσως όχι αλλά δεν είμαι σίγουρος.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Μια αρκετά σύντομη λύση:comment image

Δεν θέλω να κλέβω με εφαπτόμενες και ημίτονα.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Μια διόρθωση στην 3η σειρά:
Τα τρίγωνα ΑΓΟ και ΒΔΟ είναι ισοσκελή.