Καλημέρα Ντίνο. Πολύ καλή η επισήμανσή σου στο ερώτημα που θέτεις Είναι η ολική δυναμική ενέργεια (ταλάντωσης) ίση με το άθροισμα των επί μέρους;
και απαντάς καταφατικά, αρκεί το σημείο αναφοράς και για τις δύο να είναι το ίδιο!!
Η απόδειξη που κάνεις με ολοκληρώματα, θα μπορούσε να γίνει και “Λυκειακά” νομίζω.
Να είσαι πάντα καλά.
Πρόδρομε, καλημέρα και ευχαριστώ, Ναι,ι η απόδειξη μπορούσε και ¨”λυκειακά” με εμβαδά σε διάγραμμα δύναμης μετατόπισης για υπολογισμό του έργου. Το επίμαχο σημείο είναι η τιμή της δυναμικής ενέργειας της αρχής και ποιας αρχής από την οποία με αφαίρεση του αντίστοιχου έργου θα μου δώσει την τελική δυναμική ενέργεια.
Να είσαι καλά
Καλημέρα Ντίνο και καλή Κυριακή.
Καλημέρα Πρόδρομε.
Μια χαρά είναι η απόδειξη Ντίνο, με τα ολοκληρώματα, μην τα αλλάξεις!!!
Γιατί;
Γιατί αναδεικνύεις κάτι πολύ ουσιαστικό, το οποίο όμως δεν είναι για μαθητές.
Δεν υπολογίζεις την ενέργεια του ελατηρίου με την τεχνική που διδάσκουμε θεωρώντας την μηδενική στη θέση φυσικού μήκους, αλλά θεωρώντας την μηδενική στη θέση ισορροπίας. Παίρνοντας σημείο αναφοράς, όπως και στη βαρυτική δυναμική ενέργεια.
Και η απόδειξη είναι τέλεια, υπολογίζοντας την μεταβολή της ενέργειας (την πρόσθετη ενέργεια) που είναι η ενέργεια την οποία θα έχει ο ταλαντωτής και η οποία θα μετατρέπεται από κινητική σε δυναμική.
Τελευταία διόρθωση3 έτη πριν από Διονύσης Μάργαρης
Διονύση, καλημέρα. Η επιλογή των ολοκληρωμάτων ήταν γιατί βαριόμουνα να κατασκευάσω σχήματα.
Το ερώτημα γεννήθηκε από κάποια άσκηση συναδέλφου (δεν θυμάμαι ποιου) που έδινε ισότητα για τα έργα και τους χρονικούς ρυθμούς, αλλά για τις τελικές τιμές της δυναμικής ενέργειας ανισότητα.
Σκέφτηκα δε μπορεί αφού για το άθροισμα των έργων (αυτονόητο αφού η επαναφοράς ισούται με το άθροισμα των επιμέρους) που μετρούν τις μεταβολές της δυναμικής ενέργειας να καταλήγουν σε διαφοροποιημένες τελικές δυναμικές. Αυτό, προφανώς, μπορεί να αποδοθεί μόνο σε διαφορετικές αφετηρίες.
Η ενέργεια διέγερσης ισούται με την ενέργεια ταλάντωσης μόνο αν στη 2η πάρουμε ως σημείο αναφοράς της ολικής δυναμικής ενέργειας το σημείο ισορροπίας. Να είσαι καλά.
Αυτό που κάνεις είναι να εκλαμβάνεις ως σημείο μηδέν για την ελαστική το ελατήριο χωρίς παραμόρφωση, το σημείο μηδέν για την ολική τη θέση ισορροπίας και ψάχνεις να βρεις το σημείο μηδέν για τη βαρυτική έτσι ώστε να ισχύει η ισότητα (ελαστική + βαρυτική = ταλάντωσης). Βρίσκεις ότι το επίμαχο σημείο είναι πάνω από τη θέση ισορροπίας κατά το ήμισυ της στατικής παραμόρφωσης.
Προσωπικά δεν έκανα καμία έξυπνη κίνηση ή κόλπο. Απλώς εφάρμοσα με συνέπεια όσα ξέρουμε από τη θεωρία. Θα θεωρούσα λάθος ένα τέτοιο ερώτημα, αν το τοπίο δεν είναι ξεκάθαρο.
Το αντίθετο του έργου μιας διατηρητικής δύναμης μετρά τη μεταβολή της δυναμικής ενέργειας που σχετίζεται με αυτή τη δύναμη. Άρα τι δυναμική ενέργεια θα έχει στο τέλος εξαρτάται από το τι είχε στην αρχή, που συνήθως, χωρίς να είναι απαραίτητο, της αποδίδουμε, αυθαίρετα, την τιμή μηδέν (έτσι και αλλιώς μεταβολές μετράμε, μέσω του έργου), οπότε, στην περίπτωση αυτή, η τελική δυναμική ενέργεια θα είναι ίση με το αντίθετο του παραγόμενου έργου.
Έτσι οι συγκρίσεις της τελικής είναι «ανεκτές» αν έχουμε την ίδια αφετηρία. Διαφορετικά δε βγάζουμε άκρη.
Το βιβλίο στη σελ. 13 υπολογίζει γραφικά το έργο της εξωτερικής δύναμης για μετατόπιση κατά x από τη θέση ισορροπίας και βρίσκει την ποσότητα (1/2)Dx2 (ίσο με τη μεταβιβαζόμενη ενέργεια στο σύστημα – δηλ. προστίθεται στην αρχική του ενέργεια – που τη λέμε και ενέργεια διέγερσης ή και ενέργεια ταλάντωσης, εφόσον θεωρούμε ότι στη θέση ισορροπίας η ενέργεια του ήταν μηδενική), που είναι αντίθετο του έργου -(1/2)Dx2της δύναμης επαναφοράς. Η τελευταία συνδέεται με μια δυναμική ενέργεια (ολική) που τη μεταβάλλει (αυξάνει εδώ ισόποσα κατά (1/2)Dx2) και θεωρώντας την αρχική μηδενική, τότε η τελική συμπίπτει με την αύξηση.
Έτσι η μεταβιβαζόμενη ενέργεια (επιπλέον ενέργεια αυτής που είχε), ίση με την ταλάντωσης και ίση με την ολική δυναμική, εφόσον η θέση ισορροπίας αποτελεί αφετηρία για όλες. Το μηδέν του βιβλίου είναι η θέση ισορροπίας και οφείλουμε να προσαρμοστούμε σε αυτό και για τις άλλες.
Συνοψίζοντας: Αν τραβήξουμε το σώμα προς τα κάτω κατά x από τη θέση ισορροπίας του, τότε (α=mg/k)
Το παραγόμενο έργο από την εξωτερική δύναμη είναι (1/2)kx2 Η προστιθέμενη στο σύστημα ενέργεια είναι (1/2)kx2 και αν θεωρήσουμε μηδενική την αρχική του τόση θα είναι και η τελική του ενέργεια. Το έργο της δύναμης του ελατηρίου θα είναι -(1/2)kx2 -mgx που οδηγεί σε μεταβολή (αύξηση) της δυναμικής ελαστικής κατά (1/2)kx2 +mgx και τόση θα είναι η τελική της τιμή αν η αρχική της ληφθεί ως μηδέν. Το έργο του βάρους θα είναι mgx που οδηγεί σε μεταβολή (μείωση) της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας κατά –mgx και τόση θα είναι η τελική της τιμή αν η αρχική της είναι μηδέν.
Το έργο της δύναμης επαναφοράς (άθροισμα των προηγούμενων) θα είναι -(1/2)kx2 που οδηγεί σε μεταβολή (αύξηση) της ολικής δυναμικής ενέργειας κατά (1/2)kx2 που θα είναι και η τελική της τιμή αν η αρχική της είναι μηδέν. Τέλος, μια μετατόπιση προς τα πάνω ή προς τα κάτω κατά x από τη θέση ισορροπίας οδηγεί σε μεταβολή (αύξηση) της ολικής κατά (1/2)kx2 που σημαίνει ότι στη θέση ισορροπίας έχει τη μικρότερη ολική δυναμική ενέργεια (σημείο ευσταθούς ισορροπίας). Να είσαι καλά.
Καλημέρα Ντίνο. Πολύ καλή η επισήμανσή σου στο ερώτημα που θέτεις
Είναι η ολική δυναμική ενέργεια (ταλάντωσης) ίση με το άθροισμα των επί μέρους;
και απαντάς καταφατικά, αρκεί το σημείο αναφοράς και για τις δύο να είναι το ίδιο!!
Η απόδειξη που κάνεις με ολοκληρώματα, θα μπορούσε να γίνει και “Λυκειακά” νομίζω.
Να είσαι πάντα καλά.
Πρόδρομε, καλημέρα και ευχαριστώ, Ναι,ι η απόδειξη μπορούσε και ¨”λυκειακά” με εμβαδά σε διάγραμμα δύναμης μετατόπισης για υπολογισμό του έργου. Το επίμαχο σημείο είναι η τιμή της δυναμικής ενέργειας της αρχής και ποιας αρχής από την οποία με αφαίρεση του αντίστοιχου έργου θα μου δώσει την τελική δυναμική ενέργεια.
Να είσαι καλά
Καλημέρα Ντίνο και καλή Κυριακή.
Καλημέρα Πρόδρομε.
Μια χαρά είναι η απόδειξη Ντίνο, με τα ολοκληρώματα, μην τα αλλάξεις!!!
Γιατί;
Γιατί αναδεικνύεις κάτι πολύ ουσιαστικό, το οποίο όμως δεν είναι για μαθητές.
Δεν υπολογίζεις την ενέργεια του ελατηρίου με την τεχνική που διδάσκουμε θεωρώντας την μηδενική στη θέση φυσικού μήκους, αλλά θεωρώντας την μηδενική στη θέση ισορροπίας. Παίρνοντας σημείο αναφοράς, όπως και στη βαρυτική δυναμική ενέργεια.
Και η απόδειξη είναι τέλεια, υπολογίζοντας την μεταβολή της ενέργειας (την πρόσθετη ενέργεια) που είναι η ενέργεια την οποία θα έχει ο ταλαντωτής και η οποία θα μετατρέπεται από κινητική σε δυναμική.
Διονύση, καλημέρα.
Η επιλογή των ολοκληρωμάτων ήταν γιατί βαριόμουνα να κατασκευάσω σχήματα.
Το ερώτημα γεννήθηκε από κάποια άσκηση συναδέλφου (δεν θυμάμαι ποιου) που έδινε ισότητα για τα έργα και τους χρονικούς ρυθμούς, αλλά για τις τελικές τιμές της δυναμικής ενέργειας ανισότητα.
Σκέφτηκα δε μπορεί αφού για το άθροισμα των έργων (αυτονόητο αφού η επαναφοράς ισούται με το άθροισμα των επιμέρους) που μετρούν τις μεταβολές της δυναμικής ενέργειας να καταλήγουν σε διαφοροποιημένες τελικές δυναμικές. Αυτό, προφανώς, μπορεί να αποδοθεί μόνο σε διαφορετικές αφετηρίες.
Η ενέργεια διέγερσης ισούται με την ενέργεια ταλάντωσης μόνο αν στη 2η πάρουμε ως σημείο αναφοράς της ολικής δυναμικής ενέργειας το σημείο ισορροπίας.
Να είσαι καλά.
Ντίνο μελετησα την αναλυση σου με προσοχη αναλυεις ενα ενδιαφερον θεμα .
Συνηθως εχουμε οτι το ΔUελ + ΔUβ = ΔUταλ. ενω το Uελ + Uβ διαφορετικο απο Uταλ.
Εξυπνη οντως η κινηση σου να παρεις ως αρχη μετρησης τους την ΘΙ.
Στο παρελθον ειχα κανει κατι παρομοιο . Το οποιο ειναι το παρακατω .
Να εισαι καλα !
Κώστα, καλημέρα και ευχαριστώ.
Αυτό που κάνεις είναι να εκλαμβάνεις ως σημείο μηδέν για την ελαστική το ελατήριο χωρίς παραμόρφωση, το σημείο μηδέν για την ολική τη θέση ισορροπίας και ψάχνεις να βρεις το σημείο μηδέν για τη βαρυτική έτσι ώστε να ισχύει η ισότητα (ελαστική + βαρυτική = ταλάντωσης). Βρίσκεις ότι το επίμαχο σημείο είναι πάνω από τη θέση ισορροπίας κατά το ήμισυ της στατικής παραμόρφωσης.
Προσωπικά δεν έκανα καμία έξυπνη κίνηση ή κόλπο. Απλώς εφάρμοσα με συνέπεια όσα ξέρουμε από τη θεωρία. Θα θεωρούσα λάθος ένα τέτοιο ερώτημα, αν το τοπίο δεν είναι ξεκάθαρο.
Το αντίθετο του έργου μιας διατηρητικής δύναμης μετρά τη μεταβολή της δυναμικής ενέργειας που σχετίζεται με αυτή τη δύναμη. Άρα τι δυναμική ενέργεια θα έχει στο τέλος εξαρτάται από το τι είχε στην αρχή, που συνήθως, χωρίς να είναι απαραίτητο, της αποδίδουμε, αυθαίρετα, την τιμή μηδέν (έτσι και αλλιώς μεταβολές μετράμε, μέσω του έργου), οπότε, στην περίπτωση αυτή, η τελική δυναμική ενέργεια θα είναι ίση με το αντίθετο του παραγόμενου έργου.
Έτσι οι συγκρίσεις της τελικής είναι «ανεκτές» αν έχουμε την ίδια αφετηρία. Διαφορετικά δε βγάζουμε άκρη.
Το βιβλίο στη σελ. 13 υπολογίζει γραφικά το έργο της εξωτερικής δύναμης για μετατόπιση κατά x από τη θέση ισορροπίας και βρίσκει την ποσότητα (1/2)Dx2 (ίσο με τη μεταβιβαζόμενη ενέργεια στο σύστημα – δηλ. προστίθεται στην αρχική του ενέργεια – που τη λέμε και ενέργεια διέγερσης ή και ενέργεια ταλάντωσης, εφόσον θεωρούμε ότι στη θέση ισορροπίας η ενέργεια του ήταν μηδενική), που είναι αντίθετο του έργου -(1/2)Dx2της δύναμης επαναφοράς. Η τελευταία συνδέεται με μια δυναμική ενέργεια (ολική) που τη μεταβάλλει (αυξάνει εδώ ισόποσα κατά (1/2)Dx2) και θεωρώντας την αρχική μηδενική, τότε η τελική συμπίπτει με την αύξηση.
Έτσι η μεταβιβαζόμενη ενέργεια (επιπλέον ενέργεια αυτής που είχε), ίση με την ταλάντωσης και ίση με την ολική δυναμική, εφόσον η θέση ισορροπίας αποτελεί αφετηρία για όλες. Το μηδέν του βιβλίου είναι η θέση ισορροπίας και οφείλουμε να προσαρμοστούμε σε αυτό και για τις άλλες.
Συνοψίζοντας: Αν τραβήξουμε το σώμα προς τα κάτω κατά x από τη θέση ισορροπίας του, τότε (α=mg/k)
Το παραγόμενο έργο από την εξωτερική δύναμη είναι (1/2)kx2
Η προστιθέμενη στο σύστημα ενέργεια είναι (1/2)kx2 και αν θεωρήσουμε μηδενική την αρχική του τόση θα είναι και η τελική του ενέργεια.
Το έργο της δύναμης του ελατηρίου θα είναι -(1/2)kx2 -mgx που οδηγεί σε μεταβολή (αύξηση) της δυναμικής ελαστικής κατά (1/2)kx2 +mgx και τόση θα είναι η τελική της τιμή αν η αρχική της ληφθεί ως μηδέν.
Το έργο του βάρους θα είναι mgx που οδηγεί σε μεταβολή (μείωση) της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας κατά –mgx και τόση θα είναι η τελική της τιμή αν η αρχική της είναι μηδέν.
Το έργο της δύναμης επαναφοράς (άθροισμα των προηγούμενων) θα είναι -(1/2)kx2 που οδηγεί σε μεταβολή (αύξηση) της ολικής δυναμικής ενέργειας κατά (1/2)kx2 που θα είναι και η τελική της τιμή αν η αρχική της είναι μηδέν.
Τέλος, μια μετατόπιση προς τα πάνω ή προς τα κάτω κατά x από τη θέση ισορροπίας οδηγεί σε μεταβολή (αύξηση) της ολικής κατά (1/2)kx2 που σημαίνει ότι στη θέση ισορροπίας έχει τη μικρότερη ολική δυναμική ενέργεια (σημείο ευσταθούς ισορροπίας).
Να είσαι καλά.