by 
Στο σχήμα δίνεται η κατάληξη ενός οριζόντιου σωλήνα μεταβλητής διατομής, όπου το νερό εξέρχεται στην ατμόσφαιρα με μεταβλητή ταχύτητα εκροής υ2. Δίνεται ότι η ταχύτητα εκροής στο άκρο Β, είναι διπλάσια της ταχύτητας υ1 στη θέση Α.
Αν η ταχύτητα εκροής μεταβάλλεται με το χρόνο, σύμφωνα με την εξίσωση:
υ2=2+0,4∙t (S.Ι.)
Να βρεθεί η εξίσωση της πίεσης στη θέση Α σε συνάρτηση με το χρόνο.
Δεχθείτε ομαλή μεταβολή της επιτάχυνσης κατά μήκος της ρευματικής γραμμής ΑΒ, ενώ (ΑΒ)=2m και ρ=1.000kg/m3.
Τι λέτε συνάδελφοι;
Μια σύντομη απάντηση ή εναλλακτικά με κλικ εδώ.
(Visited 1,271 times, 1 visits today)
Το πρόβλημα, στον απόηχο της άσκησης του Χρήστου Αγριόδημα:
Μας έφυγε το κλαπέτο
Γεια σου Διονύση.
Άρχισα υπολογισμούς.
Μου χρειάζεται μάλλον το μήκος ΑΒ.
Αν υποθέσω μια δική μου τιμή (πχ. 1 μέτρο) βγαίνει.
Το δίνω Γιάννη! 2m.
Με επιφυλάξεις:
Ξέχασα να βάλλω την τιμή του pΒ=10^5 Pα.
Ας υποθέσουμε Διονύση ότι έχω κάποια λαθάκια.
Υποθέτω πως δεν θα επηρεάσουν την γενική εικόνα όσων θέλεις να θίξεις.
Καλησπέρα Διονύση.
Η λύση μου.
Με επιφυλάξεις, όπως λέει κι ο Γιάννης.
Δυστυχώς δεν την δακτυλογράφησα, δεν έχω χρόνο.
Η διαφορά μας Χριστόφορε βρίσκεται στο ολοκλήρωμα.
Δεν βγάζω τραπέζιο. Στη μέση π.χ. η διάμετρος είναι ίση με το ημιάθροισμα.
Το εμβαδόν μου βγαίνει περίεργο.
Καλησπέρα Γιάννη. Γιάννη δεν ασχολήθηκα με τις διατομές. Έκανα την γραφική παράσταση της μερικής παραγώγου ταχύτητας – χρόνου συναρτήσει θέσης, θεωρώντας “ομαλή μεταβολή της επιτάχυνσης κατά μήκος της ρευματικής γραμμής ΑΒ”, γραμμική δηλαδή.
Δεν μεταβάλλεται γραμμικά. Μεταβάλλεται περίεργα.
Εκτός αν οι υπολογισμοί μου (όμοια τρίγωνα και εμβαδά) έχουν κάποιο λάθος. Δεν μπορώ να αποκλείσω λάθος μου.
Η διαφορά μας είναι 150 Pα. Στα άλλα βγάζουμε τα ίδια.
Όμως μάλλον δεν ενδιαφέρει τον Διονύση αυτό. Σίγουρα αδιαφορεί για τα 150 Pα και ποιοτικά βλέπει το θέμα. Δεν βάζει άσκηση για τον απασχολεί μια τέτοια μικρή διαφορά.
Δεν πρόσεξα την εκφώνηση του Διονύση.
Λέει ο Διονύσης:
Δεχθείτε ομαλή μεταβολή της επιτάχυνσης κατά μήκος της ρευματικής γραμμής ΑΒ.
Ωραίο ερώτημα. Μια γενικότερη αντιμετώπιση έγραψα πιο κάτω (με το δεδομένα της ομαλά μεταβαλλόμενης επιτάχυνσης. Διαφορετικά, η μέθοδος είναι όπως αυτή του κ. Γιάννη).
Σπύρο ποιο είναι το ολοκλήρωμα;
Γιατί δεν αγαπάς την Γεωμετρία;
Αυτή το δίνει με την υπόθεση του κωνικού δοχείου. Το σχήμα οδηγεί σε κωνικό δοχείο.
Με άλλο δοχείο (ελαφρώς καμπύλο) εξασφαλίζεται η προϋπόθεση του Διονύση:
Δεχθείτε ομαλή μεταβολή της επιτάχυνσης κατά μήκος της ρευματικής γραμμής ΑΒ.
Καλησπέρα Σπύρο. Υποθέτω πως ο άξονας x στην λύση σου είναι ο οριζόντιος άξονας των ταχυτήτων του σχήματος. Γιατί δεν μεταβάλλεται η ταχύτητα στους άξονες y και z στην φλέβα ΑΒ; (το dυ/dt στην επιτάχυνση πρέπει να έχει όρους δυ/δy και δυ/δz στις καρτεσιανές συντεταγμένες).
Καλησπέρα παιδιά.
Γιάννη, Χριστόφορε και Σπύρο σας ευχαριστώ για τις απαντήσεις.
Δεν θα πάρω θέση, όσον αφορά τις λύσεις, αφήνοντας τους φίλους λίγο χρόνο να προβληματιστούν.
Ναι Γιάννη, δεν πρόσεξες την εκφώνηση, ότι:
Νομίζω αποφεύγουμε δύσκολες πράξεις, χωρίς σοβαρό σφάλμα, αφού καταλαβαίνεις ότι δεν ήταν αυτός ο λόγος που έδωσα το πρόβλημα…
Καλησπέρα. Διονύση, τι εννοείς ομαλή μεταβολή της επιτάχυνσης;
Γιάννη και Χριστόφορε, πώς εφαρμόζεται η εξίσωση της συνέχειας στην μορφή Α1υ1=Α2υ2 όταν η ταχύτητα δεν είναι ίδια σε όλα τα σημεία των διατομών;
Η αντιμετώπιση του Σπύρου ξεπερνά αυτό το πρόβλημα, αλλά είναι πολύ γενική, κάτι δεν καταλαβαίνω.
Καλησπέρα Στάθη.
Ομαλή μεταβολή της επιτάχυνσης, εννοώ ότι ο λόγος da/dx παραμένει σταθερός!
Το είπα “γλυκά” θέλοντας να χρησιμοποιήσω μαθηματική γλώσσα, για να το πω με πιο απλά λόγια η επιτάχυνση μεταβάλλεται γραμμικά κατά μήκος της ΑΒ.
Όσον αφορά τα άλλα σου ερωτήματα, αν πω ότι η ροή είναι στρωτή, θα καλυφτείς;
Επανέρχομαι Στάθη.
Για να μην χαθεί η ουσία του θέματος, μπορώ να αλλάξω την εκφώνηση, να μην δίνω διατομές σωλήνα αλλά ότι η ταχύτητα εξόδου στο σημείο Β είναι διπλάσια αυτής στο Α.
Αν νομίζεις ότι είναι αναγκαίο, το αλλάζω.
Γράφαμε μαζί.
Διονύση καταλαβαίνω ότι σε κάθε σημείο η χρονική μεταβολή της ταχύτητας είναι σταθερή, αλλά εξαρτάται από το σημείο στο οποίο γίνεται ο υπολογισμός.
Η ταχύτητα δεν είναι σταθερή σε όλα τα σημεία μία κάθετης, στον άξονα συμμετρίας της φλέβας, διατομής.
Πρέπει να «στρίβει», από οριζόντια στο κέντρο (η υ1 και η υ2 για παράδειγμα) σε πλάγια στα όρια της φλέβας (εφαπτόμενη στα τοιχώματα).
Άρα γιατί ισχύει ότι Αυ=σταθ;
Στάθη, σαν μαθηματικός έχεις δίκιο.
Αλλά για μένα αυτή είναι μια αποδεκτή προσέγγιση, αφού δεν βλέπω σημαντικές διαφορές στις συνιστώσες ταχύτητας στην διεύθυνση x.
Αλλά επειδή, όπως έγραψα παραπάνω, αυτό μας βγάζει από τον δρόμο που θα ήθελα να ανιχνεύσουμε, αλλάζω την διατύπωση ώστε να μην μας απασχολήσουν οι ταχύτητες εκτός της ευθύγραμμης ρευματικής γραμμής…