Από ποια εξίσωση υπολογίζεται η ισχύς της αντλίας;

Υποστηρίζεται ότι η ισχύς της αντλίας υπολογίζεται από την εξίσωση:

όπου p1 η πίεση στην είσοδο,  p2 η πίεση στην έξοδο της αντλίας και  Π η παροχή.

Μια εφαρμογή:

Στο διπλανό η αντλία απορροφά νερό από την επιφάνεια της δεξαμενής, μέσω οριζόντιου σωλήνα διατομής Α1=2cm2 και το αποβάλλει στο άκρο Β του σωλήνα με ταχύτητα υ=2m/s, όπου η διατομή του σωλήνα είναι επίσης Α1. Τα σημεία 1. και 2. αντιστοιχούν στην είσοδο και στην έξοδο της αντλίας, όπου στην περιοχή 2. η διατομή είναι Α2=4cm2.

Πόση είναι  η ισχύς της αντλίας;

Απάντηση:

Από Bernoulli μεταξύ των σημείων Α και 1. Βρίσκουμε την πίεση εισόδου p1:

Συμφωνείτε συνάδελφοι με την λύση;

(Visited 4,111 times, 1 visits today)
Subscribe
Ειδοποίηση για
49 Σχόλια
Inline Feedbacks
Όλα τα σχόλια
Αρης Αλεβίζος
Αρχισυντάκτης
8 μήνες πριν

Συμπέρασμα, το ζήτημα είναι στην Bernoulli και στην περίπτωση αντλιών ή υδροστροβίλων να προσθέτει ή να αφαιρεί κανείς τον όρο dWαντλ/dV δηλαδή την πυκνότητα ενέργειας που προστίθεται ή αφαιρείται από το σύστημα.

Είναι αυτό συνηθισμένη παρεχόμενη γνώση στα σχολεία;

Ξανά το πρόβλημα τα κενά του βιβλίου ποιος πρέπει να τα συμπληρώνει;

Διότι είναι ένα σημείο που δεν είναι δύσκολο να το καταλάβει ο μαθητής αλλά πολύ δύσκολο να το ανακαλύψει μόνος του και μάλιστα την ώρα των εξετάσεων. Η συγκεκριμένη κουβέντα μεταξύ φυσικών το αποδεικνύει, νομίζω.

Χριστόφορος Κατσιλέρος
Αρχισυντάκτης
Απάντηση σε  Αρης Αλεβίζος

Γειά σου Άρη.
Συμφωνώ απολύτως.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Παιδιά υπάρχει άσκηση με αντλία στο σχολικό βιβλίο και πρέπει να δειχθεί στα παιδιά ένας τρόπος λύσης. Ο προτιμότερος είναι:

  1. Υπολογίζουμε το έργο ως αύξηση της Μηχανικής ενέργειας, σαν να είμαστε στην Α΄ Λυκείου.
  2. Διαιρούμε με τον χρόνο.

Δεν ανακατεύουμε πιέσεις και Bernoulli.

Προσοχή στη χρήση του W=Δp.ΔV. Καλύτερη η μη χρήση της σχέσης.

Χριστόφορος Κατσιλέρος
Αρχισυντάκτης

Συμφωνώ, Γιάννη.
Και σήμερα , την έλυσα. Γενικά τις τελευταίες μέρες εμφανίζεται κάθε μια δυο μέρες.
Έτσι πρέπει να λυθεί. Είναι η απλούστερη λύση και η πιο ξεκάθαρη. Να μην σου πω πως πολλά προβλήματα που λύνονται με Bernoulli, λύνονται πιο όμορφα με Α.Δ.Ε.
Αλλά τι σου λέω εσένα, εσύ είσαι λάτρης της Α.Δ.Ε. Και πολύ καλά κάνεις.

Τελευταία διόρθωση8 μήνες πριν από Χριστόφορος Κατσιλέρος
Διονύσης Μητρόπουλος
Αρχισυντάκτης

Καλημέρα σε όλους,
Καλή η ΔΕμηχ, αν η αντλία αντλεί από Patm σε Patm.Τί γίνεται όμως αν γεμίζει π.χ. κάποια κλειστή δεξαμενή όπου το νερό βρίσκεται υπό πίεση; 🙂

Τελευταία διόρθωση8 μήνες πριν από Διονύσης Μητρόπουλος
Ανδρέας Βαλαδάκης
8 μήνες πριν

Καλημέρα σε όλους!

Μια άσκηση που προσφέρεται για συζήτηση, σχετικά με όσα αναφέρονται στην παρούσα ανάρτηση, είναι αυτή που φαίνεται στην Εικόνα:
comment image

Τελευταία διόρθωση8 μήνες πριν από Διονύσης Μάργαρης
Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Καλημέρα παιδιά.
Διονύση χαίρομαι για την επανεμφάνιση. Κατέστης περιοδικό φαινόμενο.
Ένα πρόβλημα σαν αυτό που θέτεις θα το αντιμετώπιζα ως αύξηση από την αντλία της ποσότητας p.ΔV+1/2Δm.υ^2+Δm.g.h.

Ανδρέα πιστεύω πως η ισχύς της αντλίας της άσκησης είναι μηδέν αν το ιξώδες είναι μηδέν.
Η διαφορά των πιέσεων είναι ρ.g.(ΒΓ). Η κάθε πίεση θα παραμείνει άγνωστη αν δεν ξέρουμε ποια πίεση επικρατούσε όταν κλείσαμε τον σωλήνα.

Ανδρέας Βαλαδάκης
8 μήνες πριν

Πολύ σωστά Γιάννη.
Συμφωνώ μαζί σου και διδάσκω ό,τι προτείνεις:

  1. Υπολογίζουμε το έργο ως αύξηση της Μηχανικής ενέργειας, σαν να είμαστε στην Α΄ Λυκείου.
  2. Διαιρούμε με τον χρόνο.

συμπληρώνοντας: Δεν χρησιμοποιούμε μηχανικά τύπους.

Ανδρέας Ριζόπουλος
Αρχισυντάκτης
8 μήνες πριν

Καλημέρα Διονύση και σε όλους τους συναδέλφους. Σήμερα είδα τη συζήτηση για την αντλία. Στους μαθητές μου δίνω την παρακάτω ανάλυση, βασισμένη σε αναρτήσεις και σχόλια, του Χρήστου Αγριόδημα, του Γιάννη Κυριακόπουλου, του Κώστα Ψυλάκου και του Διονύση Μητρόπουλου.
Ισχύς αντλίας
Από τις δύο σχέσεις, συστήνω στα παιδιά σαφώς την 1η.

Διονύσης Μητρόπουλος
Αρχισυντάκτης

Καλημέρα σε όλους 🙂
 
Διονύση, Γιάννη, έγραψα το πιο πάνω σχόλιο για να τονίσω ότι τα παιδιά πρέπει να αντιληφθούν πως η ισχύς μιας αντλίας δεν σχετίζεται πάντα (ή μόνο) με την αύξηση της μηχανικής ενέργειας του υγρού!
 
Για παράδειγμα, στους αγωγούς μεταφοράς πετρελαίου σε μεγάλες αποστάσεις, ακόμα κι αν οι σωλήνες μεταφοράς είναι οριζόντιοι και ισοπαχείς, παρεμβάλλονται αντλίες κάθε τόσο για αντισταθμίζουν τις απώλειες λόγω του ιξώδους.
Το ίδιο υποθέτω κάνει και η ΕΥΔΑΠ στο δίκτυο ύδρευσης, διατηρώντας έτσι την πίεση στους σωλήνες ανάμεσα σε κάποια όρια.
 
Έχουμε καταλήξει λοιπόν σε … δύο προτιμητέους τρόπους:
α) Στη χρήση της ΑΔΕ ή του ΘΜΚΕ και
β) στη γενικότερη μορφή του νόμου Bernoulli που περιλαμβάνει και ενδιάμεσες ανταλλαγές ενέργειας (αντλίες, ιξώδες, στροβίλους, κλπ) μεταξύ των δύο άκρων της φλέβας.
 
Ο 2ος τρόπος δεν διδάσκεται βέβαια στο σχολικό οπότε πρέπει να προηγηθεί μια αιτιολόγηση πριν από τη χρήση του.
Μα και για τη χρήση του 1ου τρόπου, ο μαθητής πρέπει να έχει κατανοήσει, ότι το τμήμα της φλέβας που μελετάμε (είτε περιέχει είτε όχι αντλία), αλληλεπιδρά με το περιβάλλον υγρό, επομένως η παράσταση (P₁–P₂)∙ΔV εκφράζει κι αυτή έργο εξωτερικής μη συντηρητικής δύναμης.
 
Είναι εμφανές ότι οι δύο τρόποι είναι ισοδύναμοι, αφού ο νόμος Bernoulli (είτε στη «σχολική» είτε στη γενική μορφή του) αποτελεί συνέπεια της ΑΔΕ.
Ο λόγος μάλιστα που τον προτιμάμε στα ρευστά έναντι της ΑΔΕ, είναι ο εξής:
 
Για να χρησιμοποιήσουμε το ΘΜΚΕ ή την ΑΔΕ χρειαζόμαστε ένα «πριν – μετά», ή ένα «από – έως», και τη χρήση μη καταστατικών μεγεθών, όπως το «έργο» ή η «προσφερθείσα ενέργεια».
 
Για τη χρήση όμως του Bernoulli χρειαζόμαστε μόνο ένα «στιγμιότυπο», μια «φωτογραφία» όπου στις διάφορες θέσεις αποτυπώνεται η ενεργειακή κατάσταση του ρευστού, με τη βοήθεια καταστατικών μεγεθών όπως η πίεση (στατική, δυναμική υψομετρική) ή η πυκνότητα κάποιας μορφής ενέργειας.
 
Ο τρόπος που παρουσιάζεται όμως ο νόμος Bernoulli στο σχολικό (έστω και στην απλή μορφή του) είναι μάλλον προβληματικός (κατά τη γνώμη μου), με αποτέλεσμα να μην είναι εμφανής στους μαθητές η φυσική του σημασία:
 
1) Η στατική πίεση P, παρόλο που σαν φυσικό μέγεθος ορίζεται ως P=F/A, στο νόμο Bernoulli δεν εκφράζει «δύναμη ανά μονάδα επιφάνειας», αλλά «ενέργεια ανά μονάδα όγκου», πυκνότητα ροής ενέργειας στο σημείο αυτό.
Εκφράζει δηλαδή την ενέργεια (ανά μονάδα όγκου) που μεταφέρεται από τα υγρά σωματίδια στα επόμενά τους, καθώς τα σπρώχνουν ώστε να συντηρείται η ροή.
 
Για ποιο λόγο πέφτει η πίεση όταν το υγρό περνάει από μια στένωση; Για τον απλό λόγο ότι τα σωματίδια που περνούν στη στένωση επιταχύνονται! Χρησιμοποιούν επομένως ένα μέρος της ενέργειας που παίρνουν από τα προηγούμενα, για να αυξήσουν την κινητική τους ενέργεια. Οπότε είναι πλέον λιγότερη η αυτή που δίνουν στα επόμενα – μικρότερη πίεση!
Θα έπρεπε λοιπόν να επισημαίνεται ότι:
P = F/A = F∙dx/(A∙dx) → P = dW/dV
 
2) Μα και οι άλλοι δύο όροι του νόμου, κάποια πυκνότητα ενέργειας εκφράζουν:

dK/dV = ½∙dm∙υ²/dV → dK/dV = ½ρυ² ,
πυκνότητα κινητικής ενέργειας

dU/dV = dm∙g∙h/dV → dU/dV = ρgh ,
πυκνότητα δυναμικής ενέργειας
 
Για ποιο λόγο να πρέπει να … αποδείξει ένας μαθητής όταν του ζητείται η κινητική ενέργεια ανά μονάδα όγκου υγρού, ότι πρόκειται για την παράσταση  ½∙ρ∙υ² ;
Επιπλέον, πολλοί μαθητές συγχέουν τον όρο ρ∙g∙h με την υδροστατική πίεση!
 
3) Και οι τρεις όροι του νόμου Bernoulli έχουν βέβαια διαστάσεις πίεσης.
Μα τι σχέση έχει π.χ. η πυκνότητα κινητικής ενέργειας με πίεση; Φυσικά και έχει διότι το υγρό μεταφέρει ορμή με τη ροή, οπότε αν πέσει σε μια επιφάνεια ασκεί δύναμη!
Στη βιβλιογραφία η πυκνότητα κινητικής ενέργειας περιγράφεται και ως δυναμική πίεση.
Το ίδιο και ο τελευταίος όρος ρ∙g∙h, περιγράφεται ως υψομετρική πίεση.
 
4) Η έννοια «πίεση» λοιπόν σε μια ροή είναι γενικότερη, οφείλεται σε τρεις αιτίες:
Το υγρό μπορεί να «πιέζεται», να κινείται, ή να βρίσκεται ψηλά. Και οι τρεις αυτές αιτίες συμβάλλουν στη συνολική ενέργεια ανά μονάδα όγκου που είναι διαθέσιμη σε κάθε σημείο της ροής.

Σύμφωνα με το νόμο του Bernoulli λοιπόν η συνολική πίεση σε στρωτή και μόνιμη ροή ιδανικού υγρού παραμένει σταθερή.

Ή αλλιώς η συνολική πυκνότητα διαθέσιμης ενέργειας σε κάθε σημείο της ροής είναι ίδια.
Αυτό με την προϋπόθεση ότι δεν μεσολαβούν αντλίες, απώλειες ιξώδους, κλπ.
 
5) Τι κάνει λοιπόν η παρεμβολή μιας αντλίας, για να έρθουμε και στο θέμα μας;
 
 
5α) Μια αντλία προκαλεί αύξηση της συνολικής πίεσης, από την είσοδο στην έξοδό της.
Προκαλεί αύξηση της συνολικής πυκνότητας ενέργειας, αύξηση της παράστασης
P + ½∙ρ∙υ² + ρ∙g∙h ,  κατά τον όρο dWαντλ/dV:
 

P₁ + ½ρυ₁² + ρgh₁ + (dWαντλ./dV) = P₂ + ½ρυ₂² + ρgh₂

 
 
5β) Αν τώρα δεν θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε το νόμο Bernoulli, τότε χρησιμοποιούμε το ΘΜΚΕ στη μορφή:
 

ΣW = ΔΚ → ΣWμη-συντηρ. + Wβάρους = ΔΚ → ΣWμη-συντηρ. – ΔU = ΔΚ →

 

ΣWμη-συντηρ. = ΔU + ΔΚ

 

Εφαρμόζουμε το θεώρημα στο υγρό που είναι μέσα στην αντλία. Οι μη συντηρητικές δυνάμεις που ασκούνται σ’ αυτό είναι από το υγρό των σωληνώσεων και από την αντλία. Σε χρόνο dt θα έχει μπει ποσότητα dm=ρ∙dV από την είσοδό της (1) και θα έχει βγει ίδια ποσότητα από την έξοδο (2). Οπότε:
 

P₁∙dV – P₂∙dV + dWαντλ. = dm∙g∙h₂ – dm∙g∙h₁ + ½∙dm∙υ₂² – ½∙dm∙υ₁²  →

 

dWαντλ. = (P₂ + ½ρυ₂² + ρgh₂)dV – (P₁ + ½ρυ₁² + ρgh₁)dV

 
5γ) Αν πάλι θέλετε την ΑΔΕ, αλλάξτε λίγο τη διατύπωση. Λόγω της μεταφοράς μάζας dm από (1) σε (2) μεταβλήθηκε η δυναμική και η κινητική ενέργεια του υγρού που βρίσκεται μέσα στην αντλία Στην ποσότητα Μ – dm όμως δεν άλλαξε τίποτα.
Έστω Κ, U η κινητική και η δυναμική ενέργεια της μάζας Μ – dm.
Επίσης προσφέρθηκε ενέργεια P₁∙dV και αφαιρέθηκε P₂∙dV. Οπότε:
 

(U + dm∙g∙h₁) + (K + ½∙dm∙υ₁²) + (P₁∙dV + dWαντλ.) – P₂∙dV  =

= (U + dm∙g∙h₂) + (K + ½∙dm∙υ₂²)  →

 

dWαντλ. = (P₂ + ½ρυ₂² + ρgh₂)dV – (P₁ + ½ρυ₁² + ρgh₁)dV

 

Πάνος Μαλλίδης
7 μήνες πριν

Εξαιρετική και κατατοπιστικότατη αναλυση συναδελφε, ευχαριστουμε πολυ!

Διονύσης Μητρόπουλος
Αρχισυντάκτης
Απάντηση σε  Πάνος Μαλλίδης

Καλημέρα Πάνο, σ’ ευχαριστώ 🙂

Διονύσης Μητρόπουλος
Αρχισυντάκτης
Απάντηση σε  Διονύσης Μάργαρης

Καλημέρα Διονύση, δεν εννοούσα φυσικά τη δική σου απάντηση.

Αναφέρθηκα σε σένα και στον Γιάννη επειδή απάντήσατε στο 1ο μου σχόλιο, σαν συνέχεια της συζήτησης.

Η πρόθεσή μου ήταν να επισημάνω ότι η σχέση Wαντλίας=ΔΕμηχ. την οποία χρησιμοποιούν πολλά παιδιά, θέλει προσοχή, διότι μπορεί να εμφανίζονται και διαφορές πίεσης, μπορεί να υπάρχουν απώλειες λόγω ιξώδους (αν και εκτός ύλης), κλπ.

Τελευταία διόρθωση8 μήνες πριν από Διονύσης Μητρόπουλος