Από ποια εξίσωση υπολογίζεται η ισχύς της αντλίας;

Καλημέρα σε όλους 🙂
 
Διονύση, Γιάννη, έγραψα το πιο πάνω σχόλιο για να τονίσω ότι τα παιδιά πρέπει να αντιληφθούν πως η ισχύς μιας αντλίας δεν σχετίζεται πάντα (ή μόνο) με την αύξηση της μηχανικής ενέργειας του υγρού!
 
Για παράδειγμα, στους αγωγούς μεταφοράς πετρελαίου σε μεγάλες αποστάσεις, ακόμα κι αν οι σωλήνες μεταφοράς είναι οριζόντιοι και ισοπαχείς, παρεμβάλλονται αντλίες κάθε τόσο για αντισταθμίζουν τις απώλειες λόγω του ιξώδους.
Το ίδιο υποθέτω κάνει και η ΕΥΔΑΠ στο δίκτυο ύδρευσης, διατηρώντας έτσι την πίεση στους σωλήνες ανάμεσα σε κάποια όρια.
 
Έχουμε καταλήξει λοιπόν σε … δύο προτιμητέους τρόπους:
α) Στη χρήση της ΑΔΕ ή του ΘΜΚΕ και
β) στη γενικότερη μορφή του νόμου Bernoulli που περιλαμβάνει και ενδιάμεσες ανταλλαγές ενέργειας (αντλίες, ιξώδες, στροβίλους, κλπ) μεταξύ των δύο άκρων της φλέβας.
 
Ο 2^ος τρόπος δεν διδάσκεται βέβαια στο σχολικό οπότε πρέπει να προηγηθεί μια αιτιολόγηση πριν από τη χρήση του.
Μα και για τη χρήση του 1^ου τρόπου, ο μαθητής πρέπει να έχει κατανοήσει, ότι το τμήμα της φλέβας που μελετάμε (είτε περιέχει είτε όχι αντλία), αλληλεπιδρά με το περιβάλλον υγρό, επομένως η παράσταση (P₁–P₂)∙ΔV εκφράζει κι αυτή έργο εξωτερικής μη συντηρητικής δύναμης.
 
Είναι εμφανές ότι οι δύο τρόποι είναι ισοδύναμοι, αφού ο νόμος Bernoulli (είτε στη «σχολική» είτε στη γενική μορφή του) αποτελεί συνέπεια της ΑΔΕ.
Ο λόγος μάλιστα που τον προτιμάμε στα ρευστά έναντι της ΑΔΕ, είναι ο εξής:
 
Για να χρησιμοποιήσουμε το ΘΜΚΕ ή την ΑΔΕ χρειαζόμαστε ένα «πριν – μετά», ή ένα «από – έως», και τη χρήση μη καταστατικών μεγεθών, όπως το «έργο» ή η «προσφερθείσα ενέργεια».
 
Για τη χρήση όμως του Bernoulli χρειαζόμαστε μόνο ένα «στιγμιότυπο», μια «φωτογραφία» όπου στις διάφορες θέσεις αποτυπώνεται η ενεργειακή κατάσταση του ρευστού, με τη βοήθεια καταστατικών μεγεθών όπως η πίεση (στατική, δυναμική υψομετρική) ή η πυκνότητα κάποιας μορφής ενέργειας.
 
Ο τρόπος που παρουσιάζεται όμως ο νόμος Bernoulli στο σχολικό (έστω και στην απλή μορφή του) είναι μάλλον προβληματικός (κατά τη γνώμη μου), με αποτέλεσμα να μην είναι εμφανής στους μαθητές η φυσική του σημασία:
 
1) Η στατική πίεση P, παρόλο που σαν φυσικό μέγεθος ορίζεται ως P=F/A, στο νόμο Bernoulli δεν εκφράζει «δύναμη ανά μονάδα επιφάνειας», αλλά «ενέργεια ανά μονάδα όγκου», πυκνότητα ροής ενέργειας στο σημείο αυτό.
Εκφράζει δηλαδή την ενέργεια (ανά μονάδα όγκου) που μεταφέρεται από τα υγρά σωματίδια στα επόμενά τους, καθώς τα σπρώχνουν ώστε να συντηρείται η ροή.
 
Για ποιο λόγο πέφτει η πίεση όταν το υγρό περνάει από μια στένωση; Για τον απλό λόγο ότι τα σωματίδια που περνούν στη στένωση επιταχύνονται! Χρησιμοποιούν επομένως ένα μέρος της ενέργειας που παίρνουν από τα προηγούμενα, για να αυξήσουν την κινητική τους ενέργεια. Οπότε είναι πλέον λιγότερη η αυτή που δίνουν στα επόμενα – μικρότερη πίεση!
Θα έπρεπε λοιπόν να επισημαίνεται ότι:
P = F/A = F∙dx/(A∙dx) → P = dW/dV
 
2) Μα και οι άλλοι δύο όροι του νόμου, κάποια πυκνότητα ενέργειας εκφράζουν:

dK/dV = ½∙dm∙υ²/dV → dK/dV = ½∙ρ∙υ² ,
πυκνότητα κινητικής ενέργειας

dU/dV = dm∙g∙h/dV → dU/dV = ρ∙g∙h ,
πυκνότητα δυναμικής ενέργειας
 
Για ποιο λόγο να πρέπει να … αποδείξει ένας μαθητής όταν του ζητείται η κινητική ενέργεια ανά μονάδα όγκου υγρού, ότι πρόκειται για την παράσταση  ½∙ρ∙υ² ;
Επιπλέον, πολλοί μαθητές συγχέουν τον όρο ρ∙g∙h με την υδροστατική πίεση!
 
3) Και οι τρεις όροι του νόμου Bernoulli έχουν βέβαια διαστάσεις πίεσης.
Μα τι σχέση έχει π.χ. η πυκνότητα κινητικής ενέργειας με πίεση; Φυσικά και έχει διότι το υγρό μεταφέρει ορμή με τη ροή, οπότε αν πέσει σε μια επιφάνεια ασκεί δύναμη!
Στη βιβλιογραφία η πυκνότητα κινητικής ενέργειας περιγράφεται και ως δυναμική πίεση.
Το ίδιο και ο τελευταίος όρος ρ∙g∙h, περιγράφεται ως υψομετρική πίεση.
 
4) Η έννοια «πίεση» λοιπόν σε μια ροή είναι γενικότερη, οφείλεται σε τρεις αιτίες:
Το υγρό μπορεί να «πιέζεται», να κινείται, ή να βρίσκεται ψηλά. Και οι τρεις αυτές αιτίες συμβάλλουν στη συνολική ενέργεια ανά μονάδα όγκου που είναι διαθέσιμη σε κάθε σημείο της ροής.

Σύμφωνα με το νόμο του Bernoulli λοιπόν η συνολική πίεση σε στρωτή και μόνιμη ροή ιδανικού υγρού παραμένει σταθερή.

Ή αλλιώς η συνολική πυκνότητα διαθέσιμης ενέργειας σε κάθε σημείο της ροής είναι ίδια.
Αυτό με την προϋπόθεση ότι δεν μεσολαβούν αντλίες, απώλειες ιξώδους, κλπ.
 
5) Τι κάνει λοιπόν η παρεμβολή μιας αντλίας, για να έρθουμε και στο θέμα μας;
 
 
5α) Μια αντλία προκαλεί αύξηση της συνολικής πίεσης, από την είσοδο στην έξοδό της.
Προκαλεί αύξηση της συνολικής πυκνότητας ενέργειας, αύξηση της παράστασης
P + ½∙ρ∙υ² + ρ∙g∙h ,  κατά τον όρο dW_αντλ/dV:
 

P₁ + ½∙ρ∙υ₁² + ρ∙g∙h₁ + (dW_αντλ./dV) = P₂ + ½∙ρ∙υ₂² + ρ∙g∙h₂

 
 
5β) Αν τώρα δεν θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε το νόμο Bernoulli, τότε χρησιμοποιούμε το ΘΜΚΕ στη μορφή:
 

ΣW = ΔΚ → ΣW_{μη-συντηρ.} + Wβάρους = ΔΚ → ΣW_{μη-συντηρ.} – ΔU = ΔΚ →

→ ΣW_{μη-συντηρ.} = ΔU + ΔΚ

Εφαρμόζουμε το θεώρημα στο υγρό που είναι μέσα στην αντλία. Οι μη συντηρητικές δυνάμεις που ασκούνται σ’ αυτό είναι από το υγρό των σωληνώσεων και από την αντλία. Σε χρόνο dt θα έχει μπει ποσότητα dm=ρ∙dV από την είσοδό της (1) και θα έχει βγει ίδια ποσότητα από την έξοδο (2). Οπότε:
 

P₁∙dV – P₂∙dV + dW_αντλ. = dm∙g∙h₂ – dm∙g∙h₁ + ½∙dm∙υ₂² – ½∙dm∙υ₁²  →

→ dW_αντλ. = (P₂ + ½∙ρ∙υ₂² + ρ∙g∙h₂)∙dV – (P₁ + ½∙ρ∙υ₁² + ρ∙g∙h₁)∙dV

 
5γ) Αν πάλι θέλετε την ΑΔΕ, αλλάξτε λίγο τη διατύπωση. Λόγω της μεταφοράς μάζας dm από (1) σε (2) μεταβλήθηκε η δυναμική και η κινητική ενέργεια του υγρού που βρίσκεται μέσα στην αντλία Στην ποσότητα Μ – dm όμως δεν άλλαξε τίποτα.
Έστω Κ, U η κινητική και η δυναμική ενέργεια της μάζας Μ – dm.
Επίσης προσφέρθηκε ενέργεια P₁∙dV και αφαιρέθηκε P₂∙dV. Οπότε:
 

(U + dm∙g∙h₁) + (K + ½∙dm∙υ₁²) + (P₁∙dV + dW_αντλ.) – P₂∙dV  =

= (U + dm∙g∙h₂) + (K + ½∙dm∙υ₂²)  →

→ dW_αντλ. = (P₂ + ½∙ρ∙υ₂² + ρ∙g∙h₂)∙dV – (P₁ + ½∙ρ∙υ₁² + ρ∙g∙h₁)∙dV