Μια ράβδος κινείται σε παγοδρόμιο

Στην οριζόντια επιφάνεια παγοδρομίου(μηδενική τριβή), κινείται μια ράβδος ΑΒ, μήκους L = 2m. Το μέσον Κ της ράβδου έχει σταθερή ταχύτητα μέτρου υ = 1m/s ενώ ταυτόχρονα η ράβδος στρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω = 2rad/s, κάθετης στο οριζόντιο επίπεδο, με φορά προς το έδαφος. Η κάτοψη της ράβδου, τη χρονική στιγμή t0 = 0, είναι όπως φαίνεται στο σχήμα.

i) Η γωνιακή ταχύτητα υπολογίζεται ως προς κατακόρυφο άξονα, κάθετο στη ράβδο, που

α) διέρχεται από το μέσον Κ της ράβδου

β) διέρχεται από το άκρο Α

γ) μπορεί να διέρχεται από οποιοδήποτε σημείο της ράβδου.

Συνέχεια(Word)

Συνέχεια(Pdf)

(Visited 850 times, 1 visits today)
Subscribe
Ειδοποίηση για
31 Σχόλια
Inline Feedbacks
Όλα τα σχόλια
Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor

Όμορφη Ανδρέα.
Να υποθέσω ότι βρίσκεστε στο στερεό;

Διονύσης Μάργαρης
Admin
1 μήνας πριν

Καλησπέρα Ανδρέα.
Πολύ καλή, με πλήρη στόχευση (και με ψηλούς στόχους…)!
Έχω μια έτοιμη με ράβδο, αλλά είχαν προτεραιότητα “τα στρογγυλά” σώματα 🙂
Σε ευχαριστούμε.

Χριστόφορος Κατσιλέρος
Editor

Καλησπέρα Ανδρέα, καλησπέρα παιδιά.
Εξαιρετική και πάρα πολύ διδακτική. Συγχαρητήρια!

Χρήστος Αγριόδημας
Editor
1 μήνας πριν

Μπράβο Αντρέα πολύ καλή.
Με τέτοια παραδείγματα μπορούν να πιστέψουν την ανεξαρτησία της γωνιακής ταχύτητας από τον άξονα που επιλεγουμε

Παρμενίων Μανδραβέλης

Ανδρέα καλησπέρα.Μου άρεσε πάρα πολύ αυτή η άσκηση.Εχω στο νου μου διαφορε; Παρόμοιες αλλά η έκδοση αυτη έχει και πληρότητα .Για άμεση χρήση είναι και θα την τιμησω

Αποστόλης Παπάζογλου
Editor

Διδακτικά εύστοχη Ανδρέα!

Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος

Καλησπέρα Ανδρεα. Εχεις θεωρησει μια ραβδο ξαπλωμενη στον παγο που στρεφεται γυρω απο κατακορυφο αξονα που περναει απο το κεντρο της με γωνιακη ταχυτητα μετρου ω=2rad/s και ταυτοχρονα ο αξονας αυτος κινειται με σταθερη ταχυτητα 1m/s, ενω παραμενει κατακορυφος. Στην συνεχεια διατηρωντας την ιδια γωνιακη ταχυτητα,μετατοπιζεις παραλληλα τον αξονα ωστε να περναει απο ενα αλλο σημειο της ραβδου,το Γ, και ταυτοχρονα δινεις στον αξονα την ταχυτητα που εχει το σημειο Γ. Την στιγμη της αλλαγης οι ταχυτητες ολων των σημειων της ραβδου δεν επηρεαζονται.Αυτο ειναι ενα γεγονος χωρις καποια ιδιαιτερη φυσικη σημασια ,ειναι απλως μια στιγμιαια επαλληλια ταχυτητων και δεν εχει καμμια σχεση με το θεωρημα Εuler. Αυτο που κανεις ειναι να παιρνεις μια φωτογραφια την ραβδο και οπως κοιτας την ακινητη φωτογραφια φανταζεσαι στιγμιαια τον αξονα σε διαφορα σημεια,με ταχυτητα ιδια με την ταχυτητα των σημειων.O αξονας αυτος δεν ειναι στιγμιαιος ανονας περιστροφης διοτι ειναι κινουμενος. (παρεπιπτοντως ο στιγμιαιος αξονας περιστροφης δεν εχει καποια ιδιαιτερη φυσικη σημασια απλως αποτελει ενα τεχνασμα που διευκολυνει καποιους υπολογισμους) Αν περασει λιγος χρονος ομως και η ραβδος στραφει π.χ.κατα π/2 αν ο αξονας ειχε παραμεινει στο Γ θα ειχαν αλλαξει τα παντα σε σχεση με την κινηση γυρω απο τον προηγουμενο αξονα.Αρα κινηματικα οι δυο περιπτωσεις δεν εχουν καμμια σχεση. Το θεωρημα Εuler λεει οτι: “Οταν ενα σωμα κινειται στον τρισδιαστατο χωρα ετσι ωστε καποιο σημειο του να παραμενει ακινητο, τοτε οποιαδηποτε μετατοπιση, ισοδυναμει με μια μοναδικη στροφη γυρω απο αξονα που περναει απο το ακινητο σημειο.
Αυτη ειναι η διατυπωση του θεωρηματος που υπαρχει εδω:
https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_rotation_theorem#:~:text=In%20geometry%2C%20Euler's%20rotation%20theorem,rotations%20is%20also%20a%20rotation.

Η Οriginal διατυπωση του Εuler στα λατινικα ειναι η εξης:

:Theorema. Quomodocunque sphaera circa centrum suum conuertatur, semper assignari potest diameter, cuius directio in situ translato conueniat cum situ initiali.

η σε αγγλικη μεταφραση:
When a sphere is moved around its centre it is always possible to find a diameter whose direction in the displaced position is the same as in the initial position
Δηλαδη με απλα λογια το θεωρημα κατ ουσιαν λεει οτι η συνθεση δυο στροφων ειναι επισης μια στροφη. Επισης το θεωρημα του chasles λεει κατι αλλο απο αυτο που συμβαινει εδω.
Δεν υπαρχει καμμια εφαρμογη του θεωρηματος Euler στην συγκεκριμενη ασκηση. οπου απλως απαιτει καποια στιγμιαια συνθεση ταχυτητων μεταφορικης και στροφικης κινησης.Η προταση που εχεις βαλει σε bοld δεν ειναι σωστα διατυπωμενη και σιγουρα δεν ειναι το θεωρημα Euler.Μια κινηση ειναι η επαλληλια δυο αλλων κινησεων οταν καθε μετατοπιση ειναι το αθροισμα των δυο επι μερους μετατοπισεων.Στην περιπτωση αυτη απλως υπαρχει μια στιγμιαια επαλληλια ταχυτητων που αφορα ενα στιγμιοτυπο της ραβδου και το στιγμιοτυπο δεν ειναι κινηση. Αρα αυτη η επαλληλια ταχυτητων που αφορα μονο μια χρονικη στιγμη,δεν ειναι επαλληλια κινησεων Η κινηση της ραβδου προφανως δεν ειναι επαλληλια μιας μεταφορικης με ταχυτητα 2m/s και μιας στροφικης γυρω απο αξονα που περναει απο το Γ. ουτε μιας μεταφορικης με ταχυτητα 3m/s και μιας στροφικης γυρω απο αξονα που περναει απο το Α, κλπ

Τελευταία διόρθωση1 μήνας πριν από Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος
Σπύρος Τερλεμές
1 μήνας πριν

Καλησπέρα,

Κοιτάξτε αυτό που λέτε για τον στιγμιαίο άξονα:

O αξονας αυτος δεν ειναι στιγμιαιος ανονας περιστροφης διοτι ειναι κινουμενος.”

Είναι λάθος αυτό. Είναι απλή η απόδειξη, ότι ο στιγμιαίος άξονας ισχύει αν και μόνο αν το σημείο που εφαρμόζεται είτε είναι ακίνητο είτε κινείται με σταθερή ταχύτητα.

Εφόσον ο κ. Ανδρέας αναφέρει σταθερή ταχύτητα, τότε ισχύει απόλυτα ο στιγμιαίος άξονας.

Να προτείνω και μια απλή απόδειξη-κατανοητή χωρίς μαθηματικά.

Ένας παρατηρητής σε ένα σημείο της ράβδου βλέπει δύναμη d’Alembert, η οποία προκαλεί ροπή. Αν το σημείο έχει μηδενική επιτάχυνση, η δύναμη d’Alembert είναι μηδενική, άρα και η “φαινομενική” ροπή. Έτσι ισχύει ότι ως προς το σημείο τ=dL/dt και κατά συνέπεια ο άξονας είναι και στιγμιαίος.

Αλλιώς κάνετε έναν απλό μετασχηματισμό συστήματος και προκύπτει το ζητούμενο.

Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος
Απάντηση σε  Σπύρος Τερλεμές

Ο στιγμιαιος αξονας περιστροφης ειναι εξ ορισμου ενας αξονας γυρω απο τον οποιο στιγμιαια το σωμα μονο στρεφεται.Αρα δεν μπορεις να αποδειξεις τιποτα.https://en.wikipedia.org/wiki/Instant_centre_of_rotation

Σπύρος Τερλεμές
1 μήνας πριν

Μιλάμε για αδρανειακά συστήματα. Η ταχύτητα όταν είναι σταθερή, τότε είναι και μηδέν ως προς ένα άλλο σύστημα που διατηρεί τις ιδιότητες του πρώτου. Ο στιγμιαίος άξονας δεν είναι τόσο άχρηστος ώστε να αναφέρεται μόνο στα σημεία που λέτε.

Πάρτε τον κυλιόμενο δίσκο. Εφαρμόζουμε τον στιγμιαίο άξονα. Είναι η ταχύτητα του κατώτατου σημείου μηδενική? Ως προς εμάς όχι, ως προς το έδαφος ναι. Έχουμε όμως την ελευθερία να χρησιμοποιήσουμε τον στιγμιαίο άξονα.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor
Απάντηση σε  Σπύρος Τερλεμές

Δεν μιλάμε για αδρανειακά συστήματα.
Επιταχυνόμενος είναι ο δίσκος. Επιταχυνόμενο είναι το σημείο Σ.
Όμως ο θεμελιώδης νόμος εφαρμόζεται σ’ αυτό αν το Σ ανήκει σε περιφέρεια με διάμετρο την ΚΕ.

Σπύρος Τερλεμές
1 μήνας πριν

Αναφέρομαι στην απλή περίπτωση της σταθερής ταχύτητας. Αλλά για να γίνω πιο ξεκάθαρος σε αυτό που θέλω να πω.

Ο ΘΝ μπορεί να εφαρμοστεί αν και μόνο αν, το εξωτερικό γινόμενο a x r είναι μηδενικό. Αυτό μπορεί να γίνει με έναν από τους 4 παρακάτω τρόπους:

  1. Η ταχύτητα να είναι μηδενική (a=0)
  2. Η ταχύτητα να είναι σταθερή (a=0)
  3. Τα διανύσματα a και r να είναι παράλληλα
  4. Το r να είναι μηδέν (r=0 κέντρο μάζας )

Σε κάθε μια από τις περιπτώσεις αυτές, ισχύει ο ΘΝ, και μπορούμε να έχουμε έναν “στιγμιαίο άξονα”

Τελευταία διόρθωση1 μήνας πριν από Σπύρος Τερλεμές
Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor
Απάντηση σε  Σπύρος Τερλεμές

Σπύρο με μπέρδεψες χειρότερα τώρα.
Άλλο θέμα είναι αν ένα σημείο είναι στιγμιαίος άξονας και άλλο αν μπορεί σ’ αυτό να εφαρμοστεί ο Θ.Ν.
Για παράδειγμα (στην ανάρτησή μου):
Το Σ δεν είναι στιγμιαίος άξονας. Όμως εφαρμόζεται σ’ αυτό ο θεμελιώδης νόμος. Το ίδιο και το κέντρο μάζας. Δεν είναι φυσικά στιγμιαίος άξονας το Κ.
Δηλαδή υπάρχουν και άλλα σημεία εκτός του Κ και του στιγμιαίου άξονα στα οποία εφαρμόζεται ο Θ.Ν.
Για να μιλήσουμε πολιτισμένα:
Στιγμιαίος άξονας είναι το σημείο τομής δύο ευθειών που άγονται από δύο τυχαία σημεία και είναι κάθετες στις ταχύτητες των σημείων.

Στάθης Λεβέτας
Editor
1 μήνας πριν

Γιάννη καλησπέρα. Το κριτήριο αυτό της καθετότητας ισχύει αν βρούμε τυχαία δύο σημεία ή για κάθε σημείο του στερεού; Δεν πρέπει οι κάθετες στις ταχύτητες όλων των σημείων να περνάνε από το ίδιο σημείο;

Τελευταία διόρθωση1 μήνας πριν από Στάθης Λεβέτας
Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor
Απάντηση σε  Στάθης Λεβέτας

Καλησπέρα Στάθη.
Αν οι δύο αυτές ευθείες τέμνονται σε ένα σημείο Σ τότε κάθε ευθεία που άγεται από οιοδήποτε σημείο Α κάθετη στην υΑ διέρχεται από το Σ.
Η απόδειξη είναι πολύ απλή και περιέχεται στην:
Ο στιγμιαίος άξονας με ελάχιστα Μαθηματικά.

Στάθης Λεβέτας
Editor
1 μήνας πριν

Τώρα το είδα ότι το έγραψες σε άλλη ανάρτηση Γιάννη, δεν σε προλαβαίνω!

Τελευταία διόρθωση1 μήνας πριν από Στάθης Λεβέτας
Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor
Απάντηση σε  Σπύρος Τερλεμές

Σπύρο διαβάζω:
Είναι λάθος αυτό. Είναι απλή η απόδειξη, ότι ο στιγμιαίος άξονας ισχύει αν και μόνο αν το σημείο που εφαρμόζεται είτε είναι ακίνητο είτε κινείται με σταθερή ταχύτητα.
Μάλλον δεν κατάλαβα τι εννοείς. Μάλλον παρεξηγώ όσα γράφεις.

Σπύρος Τερλεμές
1 μήνας πριν

Καλημέρα κ. Γιάννη.

Εννοώ ότι γενικά είναι Στ= dL/dt – m.a.r (διανυσματικά).

Όταν η επιτάχυνση ενός σημείου είναι μηδενική (ήτοι a=0) τότε Στ= dL/dt όπου αν μιλάμε για τα γνωστά στερεά, είναι L=Iω, άρα : Στ=Ια.
(όπου το Ι, η ροπή αδράνειας ως προς το σημείο αυτό)

Με άλλα λόγια μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεμελιώδη νόμο σε σημείο το οποίο κινείται με σταθερή ταχύτητα αφού τότε a=0. Έτσι ο στιγμιαίος άξονας εφαρμόζεται όχι μόνο σε ακίνητα σημεία.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor
Απάντηση σε  Σπύρος Τερλεμές

Σπύρο διάβασα:
….αν και μόνο αν….
Αν και μόνο αν σημαίνει ότι αν το σημείο έχει μηδενική επιτάχυνση εφαρμόζεται ο Θ.Ν. και ότι Αν σε ένα σημείο εφαρμόζεται ο θεμελιώδης νόμος τότε αυτό έχει μηδενική επιτάχυνση.
Αυτό είναι λάθος.

Σπύρος Τερλεμές
1 μήνας πριν

Διορθώνω σε αυτό, πολύ σωστή επισήμανση!

Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor
Απάντηση σε  Σπύρος Τερλεμές

Όντως δεν κατάλαβα.
Νόμισα ότι μιλούσες για το ποιος είναι ο στιγμιαίος άξονας.
Έχω επιφυλάξεις για την τελευταία σου φράση:
Με άλλα λόγια μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεμελιώδη νόμο σε σημείο το οποίο κινείται με σταθερή ταχύτητα αφού τότε a=0. Έτσι ο στιγμιαίος άξονας εφαρμόζεται όχι μόνο σε ακίνητα σημεία.
Έχω γράψει παλιότερα:
Ως προς ποια σημεία εφαρμόζεται ο δεύτερος νόμος.
Εκεί φαίνεται ότι υπάρχουν επιταχυνόμενα σημεία στα οποία εφαρμόζεται.
Στην ανάρτηση αυτήν ο γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος.

Σπύρος Τερλεμές
1 μήνας πριν

κ. Γιάννη εγώ απλά επισήμανα ότι σε περίπτωση που a=0 ισχύει ότι τ=dL/dt.

Τώρα αν υπάρχουν σημεία με επιτάχυνση (a διαφορετικό του μηδέν) που πάλι να ισχύει το dL/dt, είναι άλλο θέμα.

Αλλά μπορώ εύκολα να τα βρω. Είναι τα σημεία αυτά που έχουν μηδενικό εξωτερικό γινόμενο a x r. Από εκεί βγαίνει και ο γεωμετρικός τόπος που αναφέρετε.

Όλα όμως ξεκινούν από το γεγονός ότι τ=dL/dt – m.a x r

Γιάννης Κυριακόπουλος
Editor
Απάντηση σε  Σπύρος Τερλεμές

Σπύρο βγαίνει από τα εξωτερικά γινόμενα ο γεωμετρικός τόπος όμως βγαίνει και πολιτισμένα. Διάβασε την απόδειξη.

Πρόδρομος Κορκίζογλου

Ανδρέα εύστοχη, υπάρχουν και ράβδοι που κάνουν σύνθετη κίνηση!
Κλασσική άσκηση που διδάσκει απαραίτητη γνώση, δια παν ενδεχόμενο !! Ίσως θυμάσαι μια δική μου το 2011-12 που είχε προκαλέσει πολύ μεγάλη κουβέντα. Ο Θρασύβουλος την είχε λύσει και έβγαιναν παράξενα πράγματα.
Η άσκηση έλεγε ότι εκτοξεύουμε μια ράβδο σε οριζόντιο επίπεδο με το και ωο , είχαμε τριβή ολίσθησης, και ζητούσε να μελετήσουμε τι κίνηση θα κάνει. Το κέντρο μάζας δεν κινούνταν ευθύγραμμα, αλλά έστριβε…
Να είσαι καλά.