Ο μέγιστος χρόνος.

Καλημέρα και καλό ΣΚ σε όλους.
Το παραπάνω θέμα του Γιάννη, έπεσε την ίδια μέρα με άλλα προβλήματα που μπήκαν σε συζήτηση και πέρασε… απαρατήρητη.
Οπότε ας καταθέσω εγώ μια απάντηση…
Έστω τ₁ το χρονικό διάστημα που θα χρειαστεί ένα σώμα για να κινηθεί από το σημείο Μ με x_Μ=+Α/2 στο άκρο Α και να επιστρέψει στο Μ. Εύκολα μπορεί να αποδειχθεί ότι τ₁= Τ/3.

Έστω τώρα το σώμα περνά τη στιγμή t₁ από την θέση Γ, όπου (ΜΓ)=d, φτάνει στο άκρο Α και επιστρέφει στο Δ, όπου (ΔΜ)=d.
Προφανώς διανύει διάστημα s=d+Α/2+(Α/2-d)=Α.
Για την μετακίνηση αυτή θα απαιτηθεί χρονικό διάστημα:

τ₂=Δt_ΓΜ+(Δt_ΜΑΜ-Δt_ΔΜ)= Δt_ΓΜ+τ₁-Δt_ΔΜ= τ₁+(Δt_ΓΜ-Δt_ΔΜ) (1)

Όμως η μέση ταχύτητα στη διάρκεια της μετακίνησης από το Γ στο Μ, είναι μεγαλύτερη από την αντίστοιχη στο τμήμα ΔΜ, οπότε Δt_ΓΜ<Δt_ΔΜ και Δt_ΓΜ-Δt_ΔΜ < 0, οπότε από την (1) παίρνουμε:

τ₂= τ₁+(Δt_ΓΜ-Δt_ΔΜ) < τ₁.

Προφανώς το ίδιο ισχύει αν κάποιος πάρει σαν αρχική θέση το Δ και τελική το Γ…