Γιάννη (θεωρώ ότι εκεί στο Β υπάρχει άξονας περιστροφής)
η γνώμη μου: όλα τα δεδομένα είναι περιττά,
το παράκανα;
διότι τη στιγμή που θα μηδενιστεί η γωνία, οι δυο ράβδοι είναι σε οριζόντια θέση και η ταχύτητάς τους είναι κατακόρυφη,
άρα ο δίσκος δεν κινείται οριζόντια, η μεταφορική του ταχύτητα είναι μηδέν, άρα μηδέν είναι και η γωνιακή του
Βαγγέλη υπάρχει άξονας ατο Β αλλά όχι ακίνητος.
Όντως ακινητοποιείται πλήρως ο δίσκος.
Όμως δεν είναι όλα τα δεδομένα περιττά. Λόγου χάριν η αρχική γωνία των 45 μοιρών δεν είναι περιττό δεδομένο. Το ότι οι ράβδοι είναι ομογενείς δεν είναι περιττό δεδομένο.
Ποια είναι τα περιττά δεδομένα;
Δεν φτάνει στο θ. =0
Μείωση δυναμικής βαρυτικής 70.7 J.
Αύξηση δυναμικής ελατηρίου 159 J !
από το κινητό χωρίς μολύβι και χαρτί
ελπίζω να μην κάνω λάθος.
Μήτσο ξαναδές τους υπολογισμούς σου.
Βγάζω μείωση βαρυτικής δυναμικής 70,71J και αύξηση δυναμικής ελατηρίου 51,47 J.
Εκτός αυτού, ένα τέτοιο λάθος θα διορθωνόταν.
Ποια είναι τα περιττά δεδομένα;
Τη στιγμή που οι ράβδοι γίνονται οριζόντιοι η ταχύτητα (και η γωνιακή ταχύτητα) του δίσκου μηδενίζονται. Άρα ο δίσκος φεύγει από το παιχνίδι.
Η αρχική δυναμική ενέργεια των δύο ράβδων γίνεται δυναμική του ελατηρίου και κινητική των ράβδων λόγω περιστροφής.
Τελευταία διόρθωση1 έτος πριν από Διονύσης Μάργαρης
σωστά, Διονύση, νομίζω το ίδιο γράφω, διότι μόνο το ω ζητείται
(η αρχική δυναμική ενέργεια των ράβδων πράγματι γίνεται δυναμική του ελατηρίου και κινητική περιστροφική ενέργεια των ράβδων, αλλά δεν υπάρχει σχετικό ερώτημα
δεν τσεκάρισα την ένσταση του Μήτσου)
Πιστεύω Διονύση ότι και τα μήκη χρειάζονται, διότι στη δυναμική του ελατηρίου υψώνεται ένα μήκος (2L-Lρίζα(2)) στο τετράγωνο και δεν μπορεί να γίνει απλοποίηση με το L.
Εκτός από τα χαρακτηριστικά του δίσκου τα οποία, όπως ήδη έχει αναφερθεί δεν χρειάζονται, από διαστατική ανάλυση προκύπτει ότι δεν χρειάζονται τα μήκη των ράβδων, διότι ω^2 = κ/m. Θα μπορούσε να εμανίζεται ο λόγος των μηκών αλλά τα μήκη είναι ίσα μεταξύ τους.
Ανδρέα χρειάζονται τα μήκη.
Η αρχική δυναμική ενέργεια είναι 0,5.m.g.L.ρίζα(2)
Η τελική είναι 0,5k.(2L-L.ρίζα(2))^2.
Αυτό το “τετράγωνο” μας αναγκάζει να γνωρίζουμε το L.
Διότι υπάρχει τιμή του L τέτοια ώστε οι δύο δυναμικές να είναι ίσες.
Επίσης υπάρχει τιμή του L τέτοια ώστε η τελική δυναμική να είναι μεγαλύτερη.
Δηλαδή το μήκος των ράβδων χρειάζεται απλώς για να δούμε ότι ικανοποιούν κάποιον περιορισμό; Νομίζω ότι στη λύση αν εμφανιστούν μήκη, θα εμφανιστεί μόνο ο λόγος τους.
Οχι Ανδρέα.
Η επιμήκυνση του ελατηρίου καθορίζεται από τα μήκη και όχι από τον λόγο τους.
Με μήκη κοντά στο 1 μέτρο η γωνιακή ταχύτητα είναι υπολογίσιμη.
Με μήκη κοντά στο 1,4 m είναι αμελητέα.
Γιάννη η ακριβής λύση σίγουρα κάτι θα με μάθει σχετικά με τη διαστατικη ανάλυση, δηλαδή πώς από το συνδυασμό των m, k και l μπορεί να προκύψει μια σχέση για το ω, όταν ήδη γνωρίζουμε ότι [ ω^2] =[k/m] (χρησιμοποιώ το σύμβολο [ ] για να δηλώσω τις διαστάσεις (μονάδες) των μεγεθών) .
Ουπς! Στη διαστατική ανάλυση είχα ξεχάσει το g! Δυστυχώς δεν έμαθα κάτι περισσότερο για τη διαστατική ανάλυση από τον να είμαι και σ’ αυτό προσεκτικός! Γιάννη σ’ ευχαριστώ πολύ!
Aν λάβουμε υπόψη μας το g, διαστατικά έχουμε: [ω^2] = [k/ m] και [ω^2] = [g/L] (από το εκκρεμές). Άρα ω^2 = α k/m + β g/L, όπου α και β αριθμοί. Αυτός ο τύπος δίνει, χωρίς την ακριβή επίλυση του προβλήματος, την εξάρτηση του ω από τα k, m, g και L.
Στην οριζόντια θέση, ο δίσκος (ομογενής) έχει μηδενική ταχύτητα, συνεπώς και μηδενική κινητική ενέργεια. Άρα η μάζα και η ακτίνα του δεν χρειάζονται, γιατί εφαρμόζοντας ΑΔΕ, η κινητική ενέργεια του δίσκου εξαλείφεται.
Οι δύο ράβδοι γενικά δεν έχουν ίδιες κινητικές ενέργειες. Στην θέση θ=0 ωστόσο, λόγω συμμετρίας, η κινητική τους ενέργεια είναι κοινή και ίση με το 1/6 του γινομένου m. L^2 . ω^2 = ω^2
Από την αρχή διατήρησης της ενέργειας, βρίσκουμε ότι η γωνιακή ταχύτητα οποιασδήποτε ράβδου (αν δεν έχω κάνει λάθος σε πράξεις) είναι ίση με 1,49rad/s
Έχεις δίκιο Σπύρο.
Είναι ίσες μόνο στην ακραία θέση.
Η αριστερή περιστρέφεται περί το Α και η δεξιά έχει στιγμιαίο άξονα το C.
Η συμμετρία επιβάλλει ίδια κάθε στιγμή γωνία και επομένως ίδια ω και ίδιες κινητικές.
Κάθε κινητική (άρα κάθε ω) καθορίζεται από την διαφορά των δυναμικών ενεργειών του συστήματος ράβδοι-ελατήριο, μια και η ενέργεια του δίσκου είναι αρχικά και τελικά η ίδια.
by 
Δεκτή κάθε απάντηση.
Κερδίζει η απάντηση που περιέχει μόνο λόγια.
Για κάθε σύμβολο που χρησιμοποιεί η άπάντηση αφαιρείται 1 μόριο.
Γιάννη (θεωρώ ότι εκεί στο Β υπάρχει άξονας περιστροφής)
η γνώμη μου: όλα τα δεδομένα είναι περιττά,
το παράκανα;
διότι τη στιγμή που θα μηδενιστεί η γωνία, οι δυο ράβδοι είναι σε οριζόντια θέση και η ταχύτητάς τους είναι κατακόρυφη,
άρα ο δίσκος δεν κινείται οριζόντια, η μεταφορική του ταχύτητα είναι μηδέν, άρα μηδέν είναι και η γωνιακή του
Βαγγέλη υπάρχει άξονας ατο Β αλλά όχι ακίνητος.
Όντως ακινητοποιείται πλήρως ο δίσκος.
Όμως δεν είναι όλα τα δεδομένα περιττά. Λόγου χάριν η αρχική γωνία των 45 μοιρών δεν είναι περιττό δεδομένο. Το ότι οι ράβδοι είναι ομογενείς δεν είναι περιττό δεδομένο.
Ποια είναι τα περιττά δεδομένα;
Η σταθερά k είναι περιττό δεδομένο;
Το ότι το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος είναι περιττό δεδομένο;
Και τα λοιπά.
Καλησπέρα. Η μάζα και η ακτίνα του δίσκου.
Γεια σου Γιώργο. Να υποθέσω πως θεωρείς περιττό και το ότι ο δίσκος είναι ομογενής;
Θα περιμένω τις αιτιολογήσεις των φίλων πριν απαντήσω.
Δεν φτάνει στο θ. =0
Μείωση δυναμικής βαρυτικής 70.7 J.
Αύξηση δυναμικής ελατηρίου 159 J !
από το κινητό χωρίς μολύβι και χαρτί
ελπίζω να μην κάνω λάθος.
Μήτσο ξαναδές τους υπολογισμούς σου.
Βγάζω μείωση βαρυτικής δυναμικής 70,71J και αύξηση δυναμικής ελατηρίου 51,47 J.
Εκτός αυτού, ένα τέτοιο λάθος θα διορθωνόταν.
Ποια είναι τα περιττά δεδομένα;
Το ομογενής χρειάζεται
Γιώργο θα απαντήσω το απόγευμα, αν δεν υπάρξει αιτιολόγηση.
Τη στιγμή που οι ράβδοι γίνονται οριζόντιοι η ταχύτητα (και η γωνιακή ταχύτητα) του δίσκου μηδενίζονται. Άρα ο δίσκος φεύγει από το παιχνίδι.
Η αρχική δυναμική ενέργεια των δύο ράβδων γίνεται δυναμική του ελατηρίου και κινητική των ράβδων λόγω περιστροφής.
σωστά, Διονύση, νομίζω το ίδιο γράφω, διότι μόνο το ω ζητείται
(η αρχική δυναμική ενέργεια των ράβδων πράγματι γίνεται δυναμική του ελατηρίου και κινητική περιστροφική ενέργεια των ράβδων, αλλά δεν υπάρχει σχετικό ερώτημα
δεν τσεκάρισα την ένσταση του Μήτσου)
Υποθέτω Διονύση πως εννοείς ότι περιττά δεδομένοα είναι η μάζα του δίσκου, η ακτίνα του δίσκου και το ότι είναι ομογενής ο δίσκος.
Γιάννη, προφανώς αυτά δεν χρειάζονται.
Για τα υπόλοιπα, δεν ξέρω, δεν έπιασα μολύβι… για να δω μήπως κάποιο δεδομένο απλοποιείται…
Πιστεύω Διονύση ότι και τα μήκη χρειάζονται, διότι στη δυναμική του ελατηρίου υψώνεται ένα μήκος (2L-Lρίζα(2)) στο τετράγωνο και δεν μπορεί να γίνει απλοποίηση με το L.
Τα μήκη χρειάζονται και η μάζα των ράβδων και η σταθερά του ελατηρίου.
Μέχρι εκεί νομίζω.
Δεν πρέπει όμως η δυναμική ενέργεια του δίσκου να μην μεταβάλλεται άρα και ομογενής?
Σωστό Γιώργο.
Δεν το σκέφτηκα αυτό.
Στο μυαλό μου είχα έναν δίσκο με κοιλότητα ή κάποια περίεργη ροπή αδράνειας.
Εκτός από τα χαρακτηριστικά του δίσκου τα οποία, όπως ήδη έχει αναφερθεί δεν χρειάζονται, από διαστατική ανάλυση προκύπτει ότι δεν χρειάζονται τα μήκη των ράβδων, διότι ω^2 = κ/m. Θα μπορούσε να εμανίζεται ο λόγος των μηκών αλλά τα μήκη είναι ίσα μεταξύ τους.
Ανδρέα χρειάζονται τα μήκη.
Η αρχική δυναμική ενέργεια είναι 0,5.m.g.L.ρίζα(2)
Η τελική είναι 0,5k.(2L-L.ρίζα(2))^2.
Αυτό το “τετράγωνο” μας αναγκάζει να γνωρίζουμε το L.
Διότι υπάρχει τιμή του L τέτοια ώστε οι δύο δυναμικές να είναι ίσες.
Επίσης υπάρχει τιμή του L τέτοια ώστε η τελική δυναμική να είναι μεγαλύτερη.
Γιάννη νομίζω ότι ο λόγος των μηκών έχει σημασία κι όχι οι τιμές των μηκών. Αυτό φαίνεται από διαστατική ανάλυση.
Ανδρέα κάποιοι υπολογισμοί:
.
Καταλαβαίνουμε ότι αν η ράβδος είναι 2 μέτρα δεν θα φτάσει κάτω διότι δεν μπορεί να έχει κινητική και ταυτόχρονα να έχει αυξηθεί η δυναμική ενέργεια.
Δηλαδή το μήκος των ράβδων χρειάζεται απλώς για να δούμε ότι ικανοποιούν κάποιον περιορισμό; Νομίζω ότι στη λύση αν εμφανιστούν μήκη, θα εμφανιστεί μόνο ο λόγος τους.
Οχι Ανδρέα.
Η επιμήκυνση του ελατηρίου καθορίζεται από τα μήκη και όχι από τον λόγο τους.
Με μήκη κοντά στο 1 μέτρο η γωνιακή ταχύτητα είναι υπολογίσιμη.
Με μήκη κοντά στο 1,4 m είναι αμελητέα.
Γιάννη η ακριβής λύση σίγουρα κάτι θα με μάθει σχετικά με τη διαστατικη ανάλυση, δηλαδή πώς από το συνδυασμό των m, k και l μπορεί να προκύψει μια σχέση για το ω, όταν ήδη γνωρίζουμε ότι [ ω^2] =[k/m] (χρησιμοποιώ το σύμβολο [ ] για να δηλώσω τις διαστάσεις (μονάδες) των μεγεθών) .
Ανδρέα παρέθεσα μια ακριβή λύση σε προηγούμενο σχόλιο.
Βλέπουμε ότι η ω είναι συνάρτηση των k, m, g και L.
Ουπς! Στη διαστατική ανάλυση είχα ξεχάσει το g! Δυστυχώς δεν έμαθα κάτι περισσότερο για τη διαστατική ανάλυση από τον να είμαι και σ’ αυτό προσεκτικός! Γιάννη σ’ ευχαριστώ πολύ!
Aν λάβουμε υπόψη μας το g, διαστατικά έχουμε: [ω^2] = [k/ m] και [ω^2] = [g/L] (από το εκκρεμές). Άρα ω^2 = α k/m + β g/L, όπου α και β αριθμοί. Αυτός ο τύπος δίνει, χωρίς την ακριβή επίλυση του προβλήματος, την εξάρτηση του ω από τα k, m, g και L.
Είναι ωραία η διαστατική ανάλυση.
Δηλαδή για κάθε τιμή του L βγαίνει άλλη τιμή της ω.
Λύση:
Αν θ =0 είναι ακραία θέση, δεν χρειάζεται οποιοδήποτε δεδομένο!
Καλησπέρα σε όλους,
Μερικές επισημάνσεις:
Έχεις δίκιο Σπύρο.
Είναι ίσες μόνο στην ακραία θέση.
Η αριστερή περιστρέφεται περί το Α και η δεξιά έχει στιγμιαίο άξονα το C.
Η συμμετρία επιβάλλει ίδια κάθε στιγμή γωνία και επομένως ίδια ω και ίδιες κινητικές.
Κάθε κινητική (άρα κάθε ω) καθορίζεται από την διαφορά των δυναμικών ενεργειών του συστήματος ράβδοι-ελατήριο, μια και η ενέργεια του δίσκου είναι αρχικά και τελικά η ίδια.
Σωστό κ. Γιάννη. Να πω ότι εκ παραδρομής πήρα k=3N/m ενώ είναι 3N/cm. Οπότε το αποτέλεσμα βγαίνει διαφορετικό…
Καλησπέρα Γιάννη
Στο ίδιο συμπέρασμα κατέληξα με τον Σπύρο.
Το αποτέλεσμα:
Θρασύβουλε τόσο πρέπει να είναι.