Ποια η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου ?

Έστω ότι έχουμε το παρακάτω πρόβλημα:

Ας αλλάξουμε το ερώτημα και να το κάνουμε ως εξής:

Ποια η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου ΑΒ την στιγμή που θ=30 μοίρες?

α. 0,06 r/s

β. 0,17 r/s

γ. Κάτι άλλο

Αφιερωμένο στον κ. Γιάννη με αφορμή μια διπλανή συζήτηση. Η απάντηση θέλει πράξεις οπότε δίνω το main idea:

  1. Βρίσκουμε την κινητική ενέργεια κάθε ράβδου στη θέση θ=30 μοίρες. Ο ευκολότερος τρόπος για την μεταφορικά κινούμενη ράβδο, είναι να εκφράσουμε την ταχύτητα κάθε σημείου της και έπειτα να ολοκληρώσουμε πάνω στην ράβδο.
    Είναι υx=(r-3/2).sinθ.ω και υy=(1/2+r).cosθ.ω, όπου η απόσταση του σημείο από το κέντρο μάζας της ράβδου. Έτσι η κινητική ενέργεια της μεταφορικά κινούμενης ράβδου δίνεται από το απλό ολοκλήρωμα 1/2.ρ.(υx^2 +υy^2).dr όπου ρ η γραμμική πυκνότητα. Η κινητική ενέργεια της ΑΒ είναι η γνωστή.
  2. Βρίσκουμε την ταχύτητα του κέντρου μάζας του δίσκου. Είναι V=2.sinθ.ω. Λόγω κύλισης, η κινητική του ενέργεια είναι Κ=3/4.M.V^2
  3. Βρίσκουμε εύκολα την ελάττωση της δυναμικής ενέργειας του βάρους και την αύξηση της δυναμικής ενέργειας του ελατηρίου.
  4. Τελικά, εφαρμόζουμε ΑΔΕ, και έχουμε Κολ+ΔUελ+ΔUmg=0 …. πράξεις και προκύπτει το ω.

Αξίζει να προσεχθεί ότι σε οποιαδήποτε θέση, προκειμένου να βρούμε την γωνιακή ταχύτητα της ράβδου, είναι περιττό το δεδομένο της ακτίνας του δίσκου. Για οποιαδήποτε ακτίνα R, το αποτέλεσμα είναι το ίδιο. Καθοριστικό ρόλο βέβαια, παίζουν τα δεδομένα της ομογένειας, της μάζας και της κύλισης.

(Visited 313 times, 1 visits today)
Subscribe
Ειδοποίηση για
6 Σχόλια
Inline Feedbacks
Όλα τα σχόλια
Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Ευχαριστώ Σπύρο.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Σπύρο ελπίζω να μην έχω κάποιο λάθος.
Μόνο με Γεωμετρία:

comment image

Τελευταία διόρθωση2 μήνες πριν από Διονύσης Μάργαρης
Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Διόρθωση Σπύρο:

comment image

Τελευταία διόρθωση2 μήνες πριν από Διονύσης Μάργαρης
Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης
Απάντηση σε  Σπύρος Τερλεμές

Σπύρο δεκτά και τα δύο λάθη.
Είναι 1/12 και όχι 1/3.