Subscribe
Ειδοποίηση για
23 Σχόλια
Inline Feedbacks
Όλα τα σχόλια
Σπύρος Τερλεμές
1 μήνας πριν

Εξαιρετικό. Για όποιον δεν έχει αντιμετωπίσει κάτι τέτοιο τότε είναι πολύ δύσκολο. Σε γενικές γραμμές όμως είναι βατό για όλους.

Θα το λύσω όπως έκανα όλα τα βήματα στο μυαλό μου.

Αρχικά αποκλείουμε την περίπτωση να μην έχει ρίζα. Παραγωγίζοντας την συνάρτηση f=x^2 + sqrt(5-x) -5, βλέπουμε ότι έχει δύο ρίζες, μια θετική και μια αρνητική.

Αν υψώσουμε στο τετράγωνο την αρχική εξίσωση, παίρνουμε ένα πολυώνυμο τετάρτου βαθμού. Δεν κατάφερα να το παραγοντοποιήσω.

Αλλάζουμε τακτική και γράφουμε το x = (+-)sqrt(5-sqrt(5-x)). Αντικαθιστούμε το x εντός της ρίζας και παίρνουμε θετικώς x=sqrt(5-sqrt(5-sqrt(5-…))) (άπειρες φορές). Έτσι αν υψώσουμε στο τετράγωνο παίρνουμε x^2 = 5 – x με δεκτή λύση την 1.791..

Αν κάνουμε το ίδιο και για αρνητικά προκύπτει η λύση -1.562…

Αυτές είναι και οι δύο λύσεις της εξίσωσης.

Σπύρος Τερλεμές
1 μήνας πριν

Προφανώς στην x^2=4+x

Ειναι το ίδιο βήμα με την θετική περίπτωση γιαυτο δεν το έγραψα.

Βασίλης Δουκατζής
Διαχειριστής
1 μήνας πριν

Κωνσταντίνε καλημέρα!
Η εξίσωση έχει σίγουρα λύση;
Την βάζω στο graph και παίρνω την γραφική παράσταση (με περιορισμό -sqrt(5) < x < sqrt(5)

Για την εξίσωση: f(x) = x4 – 10x2 + x + 30comment imageshorturl.at/qyG68

Βασίλης Δουκατζής
Διαχειριστής
1 μήνας πριν

Κωνσταντίνε καλημέρα!!!
Άκυρο το παραπάνω σχόλιο αφού για + 20 είχα βάλλει + 30, οπότε η σωστή γραφική παράσταση είναιcomment image
f(x) = x4 – 10×2 + x + 20

Τελευταία διόρθωση1 μήνας πριν από Βασίλης Δουκατζής
Κώστας Ψυλάκος
Αρχισυντάκτης
1 μήνας πριν

Καλησπερα σε ολους !
Καποιες σκεψεις στο θεμα με μολυβι και χαρτι …..:))

comment imagecomment imagecomment image

Κώστας Ψυλάκος
Αρχισυντάκτης
1 μήνας πριν
Απάντηση σε  Κώστας Ψυλάκος

μετα απο μια παρατηρηση του Σπυρου Τερλεμε σχετικα με τον αρχικο περιορισμο βλεπε σχεση (2) πιο πανω πρεπει να γινει μια αλλαγη !
Διοτι πρεπει να υπαρχει η ριζα αλλα πρεπει και το

5-x^2 >0 <=> x E [ -sqrt(5) , +sqrt(5) ] φυσικα οι Χ2 και Χ3 ικανοποιουν αυτον τον περιορισμο !

Να εισαι καλα Σπυρο ειναι ενα σημειο αρχικο που θελει σιγουρα προσοχη !

Τελευταία διόρθωση1 μήνας πριν από Κώστας Ψυλάκος
Θρασύβουλος Πολίτης

Καλησπέρα Κώστα
Ωραία άσκηση!
Είπα να γράψω μια γενίκευση . . . στον σύνδεσμο εδώ.
Καλό σου βράδυ.
Φιλικά,
Θ.Π.

Θρασύβουλος Πολίτης

Την έλυσα αρχικά για α=5 με Newton-Raphson,
αφού πρώτα εύκολα δείχνεται,
για την πολυωνυμική εξίσωση (1),
η ύπαρξη ριζών στα διαστήματα (-3,-2) , (-2,0) , (0,2) , (2,3) .
Βλέποντας όμως ότι παραγοντοποιείται το πολυώνυμο
για α=5  (λύση Κώστα Ψυλάκου)
η  γενική περίπτωση προκύπτει αβίαστα . . .

Θρασύβουλος Πολίτης

Διόρθωση
… πρώτα εύκολα δείχνεται
για την πολυωνυμική εξίσωση x^4-10x^2+x+20=0 ,
η ύπαρξη ριζών …

Βασίλειος Μπάφας
1 μήνας πριν

Ωραία άσκηση και ωραίες λύσεις.
Καλημέρα Κωνσταντίνε, καλημέρα σε όλους.

Κώστας Ψυλάκος
Αρχισυντάκτης
1 μήνας πριν

Καλημερα !

Εχεις δικιο ως προς τον χειρισμο της ανάδειξης των αποδεκτων λύσεων .

Οπως φαινεται στην λυση μου αφου βρηκα ποιες λυσεις ικανοποιουν την δοθεισα εξισωση για να τις κανω αποδεκτες εκανα χρηση και της σχεσης (2) .

Όμως , όπως πολυ καλα λες, ο περιορισμος που πρεπει να ληφθει υποψιν ειναι αυτός που προσθεσα στην συνεχεια  x E [ -sqrt(5) , +sqrt(5) ] .
Όντως αν ληφθει αυτος υποψιν δεν χρειαζεται η διερεύνηση που εκανα.

Απλα να πω οτι εχει και αυτη ενδιαφερον μιας και εχει αλγεβρικους χειρισμους που έχουν και αυτοι κάτι ιδιαιτερο σε καποια σημεια , αν δεν θελησεις να κανεις χρηση της αριθμομηχανης φυσικα 🙂

Γρηγόριος Χατζής
1 μήνας πριν

Καλησπέρα συνάδελφοι.
“Κόλλησα” κι εγώ χθες με την αλγεβρική εξίσωση και προσπάθησα να βρω στη λύση του Σπύρου πώς μπορεί να βγει εύκολα η δευτεροβάθμια x^2=4+x στην περίπτωση όπου x=-sqrt(5-sqrt(5+sqrt(5-sqrt(5+…)))) (άπειρες φορές). Μετά από αρκετή προσπάθεια δεν κατέληξα κάπου.
Βρήκα στο youtube [https://www.youtube.com/watch?v=BO1T7ebJlO8] έναν τύπο που ακολουθεί αυτή τη λύση, αλλά για να βγάλει αποτέλεσμα στην παραπάνω περίπτωση παίρνει “έτοιμη” μία σχέση και προχωράει.
Μπορεί ο Σπύρος να γράψει πώς κατάφερε να βγάλει εύκολα τη δευτεροβάθμια x^2=4+x; Ανέφερε ότι: “Ειναι το ίδιο βήμα με την θετική περίπτωση γιαυτο δεν το έγραψα.” Ρωτάω δηλαδή αυτό που τον ρώτησε και ο Κωνσταντίνος.
Κώστα (Ψυλάκο), οι παρουσιάσεις σου, πέρα από την επιστημονική τους αξία, είναι και έργα τέχνης!!

Σπύρος Τερλεμές
1 μήνας πριν
Απάντηση σε  Γρηγόριος Χατζής

Καλησπέρα σας,

Βρίσκοντας την x^2=5-x, έκανα την παραγοντοποιηση του πολυώνυμου. Δεν δοκίμασα να κάνω το «τρικ» και για το αρνητικό μέρος – θεώρησα ότι θα ισχύει. 
Δοκιμάζοντας τώρα πράγματι δεν νομίζω ότι μπορεί να γίνει με την μέθοδο των άπειρων όρων.

Μπορεί βεβαίως να γίνει απευθείας με παραγοντοποιήση αφού έχουμε το πολυώνυμο και τον ένα όρο του γινόμενου. Οπότε ο δεύτερος (x^2=4+x) βγαίνει εύκολα.

Γρηγόριος Χατζής
1 μήνας πριν
Απάντηση σε  Σπύρος Τερλεμές

Όλα κατανοητά Σπύρο. Ευχαριστώ. Να είσαι καλά.