Γιατί αυξάνεται η ταχύτητα;

Το πρόβλημα έθεσε ο Γιάννης Παπακωνσταντίνου πριν περίπου ένα χρόνο.

Ας το διατυπώσω πάλι, με μικρές τροποποιήσεις:

Ανοίξτε το αρχείο interactive physics “Σκαλοπάτι”. Θα δώσετε όποια ταχύτητα θέλετε σε μια σφαίρα. Αυτή κυλίεται χωρίς ολίσθηση.

Όταν οι ταχύτητες είναι μικρές, αυξάνεται η ταχύτητα της σφαίρας κατά την προγείωση από το σκαλοπάτι στο πάτωμα.

Αυτό δεν συμβαίνει σε μεγάλες ταχύτητες.

Γιατί;

Ποιο είναι το όριο;

 

(Visited 424 times, 1 visits today)
Subscribe
Ειδοποίηση για
35 Σχόλια
Inline Feedbacks
Όλα τα σχόλια
Διονύσης Μάργαρης
Διαχειριστής
Διονύσης Μάργαρης(@dmargaris_2z73r8xw)
1 μήνας πριν

Καλησπέρα Γιάννη.
Έτρεξα το i.p. και παρατηρώ αύξηση της οριζόντιας συνιστώσας ταχύτητας, αλλά πολύ μεγαλύτερη αύξηση της γωνιακής ταχύτητας, στη διάρκεια που η σφαίρα εγκαταλείπει το σκαλοπάτι.
Αυτό δικαιολογείται γιατί η κάθετη αντίδραση δεν είναι πια κατακόρυφη, με αποτέλεσμα να επιταχύνει μεταφορικά τη σφαίρα, ενώ η τριβή την επιταχύνει στροφικά.
Έτσι κατά την κρούση με το έδαφος η τριβή είναι προς τα δεξιά επιταχύνοντας και άλλο την σφαίρα…

Βαγγέλης Κουντούρης
1 μήνας πριν

καλησπέρα σε όλους
(βέβαια και εξακολουθώ να μην μπορώ να “ανοίξω” το ip…)
κάνω μια σκέψη
η ταχύτητα αυξάνεται διότι αυξάνεται η κινητική ενέργεια της σφαίρας κατά mgh, όπου m η μάζα της και h το ύψος του σκαλοπατιού, ώστε να ισχύει 1/2mυ²+mgh= 1/2mV²
αν η αρχική ταχύτητα υ είναι μικρή, η αύξηση είναι σημαντική, οπότε προκύπτει V μεγαλύτερη της υ
αν η αρχική ταχύτητα υ είναι μεγάλη, η αύξηση είναι ασήμαντη, οπότε προκύπτει V μικρότερη ή ίση με υ
άρα η ταχύτητα δεν αυξάνεται αν η υ τείνει στο άπειρο

Βαγγέλης Κουντούρης
1 μήνας πριν

ε, ναι, δηλαδή “αν η αρχική ταχύτητα υ είναι μεγάλη, η αύξηση είναι ασήμαντη, οπότε προκύπτει V λίγο μεγαλύτερη της υ”

Βαγγέλης Κουντούρης
1 μήνας πριν

ξανά “ε, ναι, δηλαδή”…
ώστε να ισχύει Κολ πριν+mgh= Κολ μετά

Διονύσης Μάργαρης
Διαχειριστής
Διονύσης Μάργαρης(@dmargaris_2z73r8xw)
1 μήνας πριν

Γιάννη, δεν ξέρω την απάντηση, αλλά πρέπει να συνδέεται με την γεωμετρία της σφαίρας.
Για οριζόντια μετατόπιση υt θα πρέπει να πέσει ο κέντρο μάζας λιγότερο από αυτό που επιβάλει επαφή με την κόγχη, ώστε να χάνεται η επαφή…

Διονύσης Μάργαρης
Διαχειριστής
Διονύσης Μάργαρης(@dmargaris_2z73r8xw)
1 μήνας πριν
Απάντηση σε  Διονύσης Μάργαρης

Παραπάνω μίλησα για την γεωμετρία.
Αν δούμε το πρόβλημα στην περίπτωση μιας σφαίρας ακτίνας R=2,5m, τότε με βάση την ακτίνα καμπυλότητας, βρίσκουμε ότι η ελάχιστη ταχύτητα της σφαίρας για να χαθεί η επαφή, χωρίς να αυξηθεί το μέτρο της ταχύτητας είναι ίση με 5m/s.

Ας πάρουμε τώρα το σχήμα όπου η σφαίρα εγκαταλείπει το σκαλοπάτι τη στιγμή t=0 και τη στιγμή t το κέντρο της έχει μετατοπισθεί οριζόντια κατά x και κατακόρυφα κατά y, εκτελώντας οριζόντια βολή.

comment image

Τότε από την εξίσωση της τροχιάς βρίσκουμε την εξίσωση (1).
Με βάση το σχήμα, για να μην έχουμε επαφή της σφαίρας με το σκαλοπάτι, θα πρέπει για κάθε x να ισχύει:

d ≥ y → R-α ≥ y →
που καταλήγει στην εξίσωση (2):

comment image
 
 
Δίνοντας την ανίσωση στο wolfram αφού αντικαταστήσουμε g=10 και R=2,5 η ανίσωση που μας ενδιαφέρει παίρνει τελικά τη μορφή:

comment image
      
Βλέπουμε δηλαδή αυτό να ισχύει για ταχύτητα μέτρου μεγαλύτερου ή ίσου με 5m/s…

Τελευταία διόρθωση1 μήνας πριν από Διονύσης Μάργαρης
Διονύσης Μάργαρης
Διαχειριστής
Διονύσης Μάργαρης(@dmargaris_2z73r8xw)
1 μήνας πριν

Δεν είπα Γιάννη ότι χρειάζεται.
Το έδωσα σαν μια λύση που δεν εμπλέκει την ακτίνα καμπυλότητας, παρά μόνο την Γεωμετρία της σφαίρας.

Διονύσης Μάργαρης
Διαχειριστής
Διονύσης Μάργαρης(@dmargaris_2z73r8xw)
1 μήνας πριν

Αυτό υπονοώ παραπάνω Γιάννη.
Να πάψει να υπάρχει η Ν, μόλις το άκρο της κατακόρυφης ακτίνας φτάσει στο άκρο του σκαλοπατιού.

Διονύσης Μάργαρης
Διαχειριστής
Διονύσης Μάργαρης(@dmargaris_2z73r8xw)
1 μήνας πριν

Αυτό το σκέφτηκα, αλλά δεν βρήκα την ακτίνα καμπυλότητας, ώστε στη συνέχεια να υπολογίσω ταχύτητα…

Διονύσης Μάργαρης
Διαχειριστής
Διονύσης Μάργαρης(@dmargaris_2z73r8xw)
1 μήνας πριν

“Η ακτίνα καμπυλότητας είναι για μικρή ταχύτητα ίση με την ακτίνα του κύκλου.”
Ποιος είναι αυτός ο κύκλος; Πώς τον βρίσκεις;

Δημήτρης Σκλαβενίτης
1 μήνας πριν

Γιάννη και συνάδελφοι γεια σας.
Το όριο στην ταχύτητα για να παραμένει σταθερή είναι ρίζα( g επί ακτίνα σφαίρας). Παλιά σε μια σειρά ασκήσεων υπήρχε αυτό το θέμα με μια σφαίρα που κατέβαινε μια σκάλα. Περισσότερα εδω

Αρης Αλεβίζος
Αρχισυντάκτης
Αρης Αλεβίζος(@arisalevizos)
1 μήνας πριν

Μόλις με πρόλαβε ο Δημήτρης – γεια σου Δημήτρη- θυμόμουνα την δουλειά του από το βιβλίο του Loney.

Αρης Αλεβίζος
Αρχισυντάκτης
Αρης Αλεβίζος(@arisalevizos)
1 μήνας πριν

Έτσι που τα λες φαίνονται να είναι τα πράγματα, Γιάννη μου, αλλά η απορία του Διονύση
«“Η ακτίνα καμπυλότητας είναι για μικρή ταχύτητα ίση με την ακτίνα του κύκλου.” Ποιος είναι αυτός ο κύκλος; Πώς τον βρίσκεις;» με τρώει και εμένα.
Πρέπει να δείξουμε ότι ο κύκλος που δίνει την ακτίνα καμπυλότητας εφάπτεται της κυκλικής τροχιάς  που αναφέρεις στη γωνία του σκαλοπατιού άρα ταυτίζονται οι δυο κύκλοι, ή κάπου κάνω λάθος;

Διονύσης Μάργαρης
Διαχειριστής
Διονύσης Μάργαρης(@dmargaris_2z73r8xw)
1 μήνας πριν

Καλημέρα Γιάννη, καλημέρα σε όλους.
Δημήτρη πολύ σαφής η λύση.
Λύση που οδηγεί και σε αυτό που έλεγε ο Γιάννης για την “κυκλική κίνηση”.
comment image
Χθες βράδυ ρωτούσα ποια είναι η ακτίνα του κύκλου.
Στην λύση του Δημήτρη είναι φανερό, όταν οδηγούμαστε στην ακτίνα της σφαίρας, αφού όμως θεωρήσουμε πριν, ότι η σφαίρα δεν ολισθαίνει αλλά το κέντρο της αρχίζει να εκτελεί μια κυκλική τροχιά με κέντρο την ακίδα του σκαλοπατιού και χάνει την επαφή όχι όταν Ν=0 αλλά την εξίσωση της παραπάνω εικόνας που εμπλέκει Ν (R) και τριβή. Τότε οριακά φτάνουμε και στη γωνία φ=0, όπου δεν υπάρχει κύκλος και η Ν μηδενίζεται, όταν η κατακόρυφη ακτίνα φτάνει στο άκρο του σκαλοπατιού.
Ωραίο πρόβλημα…

Διονύσης Μάργαρης
Διαχειριστής
Διονύσης Μάργαρης(@dmargaris_2z73r8xw)
1 μήνας πριν

Καλημέρα Γιάννη.
Η ακτίνα του κύκλου είναι η ακτίνα καμπυλότητας”
Η πρόταση δεν έχει περιεχόμενο.
Η απόδειξη του Δημήτρη αποδεικνύει ότι το κέντρο της σφαίρας μπορεί να εκτελεί κύκλο ακτίνας ίση με την ακτίνα της σφαίρας. Αυτή την ακτίνα ζήταγα χθες βράδυ…

Διονύσης Μάργαρης
Διαχειριστής
Διονύσης Μάργαρης(@dmargaris_2z73r8xw)
1 μήνας πριν

Αυτό είναι ένα τόξο κύκλου. Ο κύκλος έχει μία ακτίνα ίση με την ακτίνα της σφαίρας.”
Αυτήν την ακτίνα ζητούσα, αλλά δεν την έδινες χθες…

Διονύσης Μάργαρης
Διαχειριστής
Διονύσης Μάργαρης(@dmargaris_2z73r8xw)
1 μήνας πριν

Ο κύκλος είναι κύκλος με ακτίνα ίση με την ακτίνα καμπυλότητας που έχουμε στην γωνία.
Γιάννη για μένα, η πρόταση δεν έχει νόημα. Κάθε κύκλος έχει ακτίνα ίση με την ακτίνα καμπυλότητάς του!!!!

Αρης Αλεβίζος
Αρχισυντάκτης
Αρης Αλεβίζος(@arisalevizos)
1 μήνας πριν

Γεια σου Γιάννη.
Στο Σε ποια θέση εγκαταλείπει το ημισφαίριο;  και στο  τμήμα «ένα άλλο πρόβλημα»  υπάρχει πράγματι η απάντηση για το ποια ακτίνα καμπυλότητας εννοούσες. Βρίσκεις εκεί την ακτίνα καμπυλότητας στο ανώτατο σημείο του ημικυκλίου και απαιτείς να είναι μεγαλύτερη από την ακτίνα του ώστε να ακολουθήσει μια άλλη (παραβολική) τροχιά που περιβάλλει το ημικύκλιο.
Στο τμήμα «παρατήρηση» όμως νομίζω ότι η αντιστοιχία με το προηγούμενο διασφαλίζει μόνο ότι η σφαίρα θα πέσει σε απόσταση μεγαλύτερη του   h=ύψος του σκαλοπατιού, το αντίστοιχο της ακτίνας του παγόβουνου. Η Ν που εμφανίζεται εδώ τι σχέση έχει με την επεξεργασία για το ημισφαίριο;

Υ.Γ. Η σφαίρα στην δουλειά του Δημήτρη έχει πολλές διαφορές π.χ. υπάρχει κύλιση, το βάρος δεν παίζει σημαίνοντα ρόλο κλπ. 

Τελευταία διόρθωση1 μήνας πριν από Διονύσης Μάργαρης