by 
Στην παρούσα ανάρτηση γίνεται μία προσπάθεια (για μία ακόμη φορά…) να απαντηθούν τα παρακάτω ερωτήματα:
- Γιατί μια σταθερή δύναμη είναι μη συντηρητική, αλλά το έργο της ισούται με το μηδέν σε κλειστή διαδρομή; Σε αντιδιαστολή, η σταθερή δύναμη του βάρους σε ένα ομογενές βαρυτικό πεδίο είναι συντηρητική ή όχι;
- Στην κυκλική ομαλή κίνηση η κεντρομόλος δύναμη είναι συντηρητική, εφ’ όσον το έργο της ισούται με το μηδέν;
- Γιατί και υπό ποιες προϋποθέσεις μπορούμε να ισχυριστούμε ότι η δύναμη επαναφοράς στην ΑΑΤ είναι συντηρητική και άρα μπορούμε να ορίσουμε την δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης;
- Τι ακριβώς εννοούμε με τον όρο συντηρητική δύναμη και με ποια κριτήρια μία δύναμη χαρακτηρίζεται με τον όρο αυτό;
Οι όποιες απαντήσεις στο αρχείο: Συντηρητικές και μη δυνάμεις
Καλημέρα Στάθη.
Πολύ δυνατή ανάρτηση με ισχυρή αποδεικτική αξία!
Να είσαι καλά.
Ευχαριστώ Διονύση.
Συγχαρητήρια Στάθη!
Δυο επιβεβαιώσεις θέλω:
Κατάλαβα σωστά;
Αν ναι, τότε βρίσκουμε μια καμπύλη κλειστή στην οποία το επικαμπύλιο δεν είναι μηδέν.
Μου θυμίζει (αν αυτό εννοείς) εκείνο που έγραψες παλιότερα με μια ροή ρευστού σε ρευστό που υπηρχε στροβιλισμός.
Ευχαριστώ Γιάννη.
Και στα δύο έχεις δίκιο, η μεν σταθερή δύναμη είναι μηδενική εκτός του άξονά της, η δε κεντρομόλος μηδενική παντού εκτός επιπέδου κίνησης.
Αν τώρα βρω μία οποιαδήποτε κλειστή καμπύλη με μη μηδενικό ολοκλήρωμα, η δύναμη είναι μη συντηρητική.
Στο μυαλό μου είχα ακριβώς τις ροές που λές στο τέλος. Είναι το ίδιο πράγμα. Εκεί ατστρόβιλο (“συντηρητικό”) ή στροβιλώδες είναι το πεδίο της ταχύτητας και διατηρούμενη ποσότητα η εξίσωση του Bernoulli.
Στάθη καλημέρα, συγχαρητήρια για την εργασία σου.
Το κλειδί απ΄ ό,τι είδα είναι η συνέχεια ή όχι
των εκάστοτε δυνάμεων (όπως και στο τέλος επισημαίνεις) με ξεκάθαρα παραδείγματα αυτά που αναφέρεις.
Έτσι η εμφάνιση της συνάρτησης δ ή της παραγώγου της διαφοροποιεί τα αποτελέσματα (π.χ σταθερή και εντοπισμένη δύναμη – ομογενές πεδίο)
Μια μικρή παρατήρηση – ερώτηση : Ο ορισμός της συνάρτησης δ (σχέση VII) δείχνει οτι αυτή δεν είναι σταθερή. Άρα η δύναμη f, σχ. (1) σελ.2, δεν είναι σταθερή. Και χρειάζεται να πάρουμε το όριο για να την απομονώσουμε σε μια ευθεία. Ως συμπέρασμα, για να μιλήσουμε δηλ. για μια σταθερή και εντοπισμένη στο χώρο δύναμη ξεκινάμε πάλι από ένα πεδίο ορισμένο παντού με τη συνάρτηση δ και μετά παίρνουμε το όριο. Έχω δίκιο;
(Ελάχιστη αβλεψιά: σελ. 6 η σχ. (1) να γίνει (15))
Ευχαριστώ Δημήτρη.
Έτσι το καταλαβαίνω και εγώ, το όριο δημουργεί την ασυνέχεια (εντοπισμένη στον χώρο δύναμη).
Η συνάρτηση δ(x-a;ε) είναι συνεχής σε όλον τον άξονα x. Την καταλαβαίνω περισσότερο ως κατανομή. Το εμβαδόν της με τον άξονα είναι σταθερό, στην κανονικοποιημένη της μορφή ισούται με την μονάδα.
Όσο πιο μικρή είναι η σταθερά ελέγχου ε, τόσο πιο καλά εντοπισμένη είναι η συνάρτηση στην γειτονιά του a.Η κατανομή γίνεται πιο λεπτή και ψηλότερη.
Όταν το ε τείνει στο μηδέν, η συνάρτηση δ(x-a) είναι ακριβώς εντοπισμένη στο x=a, αλλά το όριό της απειρίζεται (δεν συγκλίνει) (θυμίζει κάτι;).
Στις γραφικές παραστάσεις έχω χρησιμοποιήσει ε=0.01, για να μπορέσω να απεικονίσω τον στροβιλισμό σε διάγραμμα. Στον υπολογισμό της κυκλοφορίας, στα ολοκληρώματα, έχω κάνει πράξεις με το όριο της συνάρτησης (ε->0), εξού και τα δ(0) στα αποτελέσματα.
Δεν βλέπω την σχέση (1) στην σελίδα 6.
Καλησπέρα σε όλους.
Στάθη πολλά συγχαρητήρια για την εργασία σου.
Θεωρώ πολύ σημαντικό το συμπέρασμα -παρατήρηση (5). (Θα μπορούσε και να «ενσωματωθεί» στο 6).
Κάτι που με προβληματίζει (μπορεί βέβαια και να κάνω λάθος) με τις σχέσεις (5), (6) και (7), είναι ότι εμφανίζεται η δ(0) και μετά τις ολοκληρώσεις. (Η δ(0) δεν πρέπει να απειρίζεται; Μήπως δεν έπρεπε να υπάρχει στον τελικό τύπο; )
Καλησπέρα Γιάννη, ευχαριστώ.
Γράφαμε μαζί. Το σχολίαζα στον Δημήτρη αυτό που λες.
Η δ(0) όντως απειρίζεται, εκτός και αν της δώσουμε μία πεπερασμένη τιμή στην σταθερά ε.
Στάθη γράφαμε μαζί!
Η απάντησή σου στο Δημήτρη, καλύπτει και την απορία μου!]
Να είσαι πάντα καλά!
Καλησπέρα Στάθη, καλησπέρα στην παρέα.
Πλήρης και πολύτιμη εργασία. Καλό είναι τα συμπεράσματα που έχεις στο τέλος να επαναμβάνονται, όπως και το κάνεις. Συγχαρητήρια!
Καλησπέρα Χριστόφορε, ευχαριστώ.
Άλλη μια προσεγμένη και λεπτομεριακή ανάρτηση του Στάθη.
Θα την ξαναδώ σίγουρα και να την εμπεδώσω και να καταλάβω κάποια σημεία.
Μπράβο.
Καλημέρα Άρη, νά ‘σαι καλά, ευχαριστώ.
Καλημέρα Στάθη. Εξαιρετική παρουσίαση.
Θα την μελετήσω πολλές φορές ακόμη!!!
Καλημέρα Βασίλη, σε ευχαριστώ, χαίρομαι που την βρίσκεις ενδιαφέρουσα.
Σταθη Καλημερα και απο εδω !
Ακομη μια πολυ προσεγμενη μελετη σου πανω σε ενα θεμα που πολλες φορες έχει δημιουργησει αρκετους προβληματισμους.
Η μελετη του, όσο αυτη ειναι εφικτη , σιγουρα έχει να προσφερει πολλα χρησιμα συμπερασματα .
Να εισαι καλα !
Σε ευχαριστώ Κώστα.
Καλημέρα Στάθη, καλημέρα σε όλους.
Καθώς (ξανα)διαβάζω την καταπληκτική εργασία σου, που αποσαφηνίζει τόσα, αν μου επιτρέπεις να τονίσω κάποια σημεία που έχουν αναφερθεί ουσιαστικά, τα οποία τουλάχιστον εγώ είχα ανάγκη να τα συνδυάσω για να τα καταλάβω καλύτερα, οπότε ίσως έτσι ωφεληθούν και άλλοι φίλοι.
Στο συμπέρασμα 5:
Η ασυνέχεια ενός πεδίου στον χώρο είναι από μόνη της ικανή και αναγκαία συνθήκη για να χαρακτηριστεί το πεδίο μη συντηρητικό.
σε συνδυασμό με το 6
Μία δύναμη ⃗ είναι συντηρητική όταν ικανοποιεί ένα από τα τρία παρακάτω ισοδύναμα κριτήρια:
Αν μηδενίζεται ο στροβιλισμός της ⃗=∇⃗×⃗=0.
Παραθέτω το σύνδεσμο:
https://www.slideshare.net/JohnFiorentinos/ss-28032076
όπου ο Γιάννης ο Φιορεντίνος εξηγεί γιατί ο μηδενισμός του στροβιλισμού δεν είναι επαρκής για τη συντηρητικότητα του πεδίου. Δεν πρέπει να υπάρχει ασυνέχεια στο πεδίο ορισμού.
Έτσι:
Μία δύναμη ⃗ είναι συντηρητική, όταν μηδενίζεται ο στροβιλισμός της σε όλο το R^3, πρέπει να συμπληρωθεί κατά τη γνώμη μου.