by 
Joseph Louis François Bertrand
11 Μαρτίου 1822 – 5 Απριλίου 1900
Γάλλος Μαθηματικός. Ασχολήθηκε με θεωρία αριθμών, διαφορική Γεωμετρία, θεωρία πιθανοτήτων, Οικονομικά και Θερμοδυναμική.
Βρίσκουμε στο εξαιρετικό Physicsgg «Το παράδοξο του Bertrand».
Το παράδοξο του Bertrand είναι ένα πρόβλημα πιθανοτήτων που παρουσιάζεται στο βιβλίο του «Calcul des probabilités (1889)» και διατυπώνεται ως εξής:
Θεωρούμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο. Αν χαράξουμε τυχαία μια οποιαδήποτε χορδή του κύκλου, ποιά είναι η πιθανότητα η χορδή να είναι μεγαλύτερη από την πλευρά του εγγεγραμμένου τριγώνου;
Ο Bertrand ανέπτυξε τρεις διαφορετικές μεθόδους επίλυσης, η κάθε μία από τις οποίες δίνει διαφορετική πιθανότητα!
(Visited 370 times, 1 visits today)
Γιάννη χρόνια πολλά.
Η πιθανότητα νομίζω εξαρτάται από τον τρόπο κατασκευής.
Ας ακολουθήσουμε τον εξής τρόπο που πάλι η πιθανότητα εξαρτάται από την επιλογή ενός σημείου:
Διαλέγουμε ένα εξωτερικό σημείο. Φέρνουμε τις δύο εφαπτόμενες προς τον κύκλο και η ζητούμενη χορδή ας είναι η χορδή που ορίζουν τα δύο σημεία επαφής. Αν το σημείο βρίσκεται σε κύκλο με πολύ μεγάλη ακτίνα (υπάρχουν άπειρα σημεία σε αυτόν τον κύκλο με άπειρη ακτίνα) η οριζόμενη χορδή έχει μήκος 2R.
Αν το σημείο βρίσκεται κοντά στον κύκλο (πάλι άπειρα σημεία υπάρχουν
σ αυτόν τον κύκλο) η οριζόμενη χορδή έχει μηδενικό μήκος.
Τέλος, αν το αρχικό μας σημείο βρίσκεται σε κύκλο ακτίνας 2R (αν το υπολόγισα σωστά) η οριζόμενη χορδή έχει μήκος ίσο με αυτό του ισοπλεύρου τριγώνου.
Έτσι ορίζονται δύο περιοχές με λόγο εμβαδών -> άπειρο άρα η πιθανότητα για μεγάλη χορδή είναι μηδέν.
Χρόνια Πολλά Δημήτρη.
Προφανώς η μέθοδος κατασκευής επηρεάζει τις πιθανότητες.
Όμως αν φύγουμε από το πρόβλημα του Μπερτράν και πάμε στο απλό που έθεσα, ποια είναι η πιθανότητα να πέσει ένα τυχαίο σημείο μέσα στον μικρό κύκλο;
Είναι 1/2 ή 1/4 ;
Με το τυχαίο άνοιγμα του διαβήτη βγάζω 1/2.
Ας ρίξουμε ένα βελάκι να καρφωθεί στον στόχο. Κάθε περιοχή έχει πιθανότητα ανάλογη με το εμβαδόν της ή κάθε απόσταση από το κέντρο έχει ίδια πιθανότητα να επιτευχθεί;
Νομίζω πως αν οι κύκλοι ήταν ψηφιδωτά τότε η επιλογή μιας εσωτερικής ψηφίδας θα είχε πιθανότητα 1/4, διότι οι εξωτερικές ψηφίδες είναι τριπλάσιες των εσωτερικών.
Ταιριάζει τέτοια λογική σε σημειοσύνολα;
Η πιθανότητα να πέσει το βελάκι κάπου από τα εμβαδά. (Ο πιο πρωτόγονος τρόπος να υπολογίσουμε το π =3,14 είναι να πετάμε στην τύχη βελάκια σε τετράγωνο στο οποίο έχουμε εγγράψει κύκλο. Ο αριθμός αυτών που πέφτουν στο εσωτερικό του κύκλου προς τον συνολικό αριθμό τείνει στο π/4. )
Δημήτρη έχω τις αμφιβολίες μου.
Έχω δει προσομοιώσεις όμως ξεχνάμε κάτι:
Πρόκειται για πίξελ. Τα πίξελ (και όχι πίξελς) δεν είναι σημεία αλλά περιοχές. Τα πίξελ έχουν όντως πλήθη ανάλογα των εμβαδών.
Τα σημεισύνολα όμως;
Μήπως η εξάρτηση των πιθανοτήτων από την μέθοδο δείχνει ότι παίζουμε με το άπειρο;;
Επίσης η κβάντωση δίνει πιθανότητες ανάλογες των εμβαδών.
Δηλαδή όταν μια γεννήτρια τυχαίων αριθμών μας δίνει τις συντεταγμένες ενός σημείου (λ.χ. x=2,12 , y=-4,25) έχουμε κβάντωση στα 2 δεκαδικά.
Προφανώς τα εκτός μικρού κύκλου σημεία θα βγουν τριπλάσια των εσωτερικών.
Διότι δεν πρόκειται για σημεία αλλά για περιοχές που κάθε μια έχει εμβαδόν 0,01×0,01.
Για το παράδοξο του Μπερτράν:
Όταν μου λένε να χαράξω τυχαία χορδή, παίρνω ένα χάρακα και στην τύχη σέρνω γραμμή:
Βλέπουμε ότι οι γραμμές που είναι μικρότερες από την πλευρά του εγγεγραμμένου κύκλου είναι ισοπίθανες με τις άλλες, διότι (ΘΒ)+(ΓΙ)=(ΒΓ) .
Η πιθανότητα δεν καθοριζεται από το εμβαδόν αλλά από τα μήκη.
Και όπως τα εμβαδά δίνουν λάθος αποτέλεσμα έτσι δίνουν λάθος και τα μήκη:
Χωρίζουμε τον κύκλο σε τρία ίσα τόξα. Στεκόμαστε στο άκρο ενός από αυτά και φέρουμε τυχαία χορδή.Το άλλο άκρο της θα πέσει σε κάποιο από τα τρία τόξα και η πιθανότητα να πέσει στο απέναντι τόξο (οπότε η σχηματιζόμενη χορδή θα
είναι μεγάλη) είναι ανάλογη με το λόγο των αντιστοίχων μηκών = 1/3. Και αυτός ο “τρόπος” δεν απαντά στο πρόβλημα που αναφέρεται σε μήκη χορδών.
Αυτό είναι η πρώτη μέθοδος που αναφέρει το Physicsgg.
Δίνει πιθανότητα 1/3 και όχι 1/4 ή 1/2.
Ίδια πιθανότητα θα έβγαινε και αν ξεκινώντας από τυχαίο σημείο του κύκλου δίναμε τυχαία γωνία στον χάρακα από μηδέν ως 180 μοίρες.
Η μέθοδος με το τυχαίο άνοιγμα του διαβήτη δίνει 1/2 ή 0,134, ανάλογα με το αν ξεκινήσεις από το κέντρο ή από την περιφέρεια.
Μου φαίνεται “πιο τυχαία” η μέθοδος με την τυχαία τοποθέτηση του χάρακα (σχήμα με τις πολλές ευθείες) που καταλήγει στην 1/2.
Προβληματίζομαι για το εάν θα προέκυπταν διαφορετικές πιθανότητες αν είχαμε πίξελ αντί σημείων. Το κακό με τα σημεία είναι ότι είναι άπειρα.
Μια άλλη μέθοδος:
Ας δούμε κάτι ανάλογο:
Ποιο είναι πιο πιθανό, το να επιλέξουμε σημείο της ΓΕ ή σημείο της ΔΕ;;
Αν δίνουμε τυχαία κλίση στον χάρακα (ξεκινά από το Α) και όλες οι κλίσεις είναι ισοπίθανες, τότε είναι πιο πιθανό το να επιλέγουμε σημείο της ΓΕ!!
Η γωνία ΓΑΕ είναι 45 μοίρες και η ΕΑΔ μικρότερη.
Καλημέρα σε όλους.
Γιάννη πολύ ενδιαφέρουσα ανάρτηση.
Πριν διαβάσω την απάντηση του Δημήτρη (καλημέρα Δημήτρη) είχα σκεφτεί την ίδια απάντηση.
Ότι δηλαδή η πιθανότητα εξαρτάται από τον τρόπο κατασκευής – παραγωγής της χορδής. Όπως και η πιθανότητα όταν τραβάμε (άσπρες – μαύρες) μπίλιες από δοχείο είναι διαφορετική αν τις ξανατοποθετούμε, έχει δηλαδή σημασία ο τρόπος παραγωγής της πιθανότητας.
Συμφωνώ με τα άλλα που λες για τα pixel ότι είναι εμβαδό και όχι σημείο.
Καλημερα Βασίλειε και Χρόνια πολλά.
Καλημερα Γιάννη και Δημήτρη Χρόνια Πολλά.Δεν το διαβασα θα το διαβασω τωρα. Η πιθανοτητα οπως το αντιλαμβανομαι συνδεεται παντα με ενα πειραμα τυχης το οποιο μπορει να επαναλαμβανεται ετσι ωστε τελικα να οριστει η πιθανοτητα. Για παραδειγμα εχω ενα κουτι με τρεις κοκκινες και τρεις μαυρες μπαλες και διαλεγω μια μπαλα στην τυχη. Η πιθανοτητα στην οποια αναφερεται το παραδοξο με ποιο πειραμα τυχης συνδεεται? Για παραδεγμα εχω ενα ευθυγραμμο τμημα ΑΒ. διαλεγω στην τυχη ενα σημειο του. Ποια η πιθανοτητα το σημειο αυτο να ειναι πλησιεστερα στο Α απο οτι στο Β? Απανταμε αμεσως P=1/2. Κακως ομως κατα την γνωμη μου αφου δεν εχουμε ορισει το πειραμα τυχης.Τι θα πει διαλεγω σημειο?Στο κουτι με τις μπαλες “διαλεγω” θα πει κλεινω τα ματια μου βαζω μεσα το χερι πιανω μια μπαλα και την βγαζω απο το κουτι. Πρεπει να σκεφτουμε μια αναλογη απλη πρακτικη διαδικασια που οδηγει σε ενα σημειο του ευθυγραμμου τμηματος.Αν τετοιο πειραμα δεν μπορει να οριστει μονοσημαντα,τοτε η αντιστοιχη πιθανοτητα δεν οριζεται.
Καλημέρα Βασίλη και Κωνσταντίνε.
Καλημέρα Κωνσταντίνε και χρόνια πολλά επίσης. Σε ευχαριστώ για τη συμμετοχή!
“Η πιθανοτητα οπως το αντιλαμβανομαι συνδεεται παντα με ενα πειραμα τυχης το οποιο μπορει να επαναλαμβανεται ετσι ωστε τελικα να οριστει η πιθανοτητα.”
Εδώ συμφωνούμε.
“Για παραδειγμα εχω ενα κουτι με τρεις κοκκινες και τρεις μαυρες μπαλες και διαλεγω μια μπαλα στην τυχη. Η πιθανοτητα στην οποια αναφερεται το παραδοξο με ποιο πειραμα τυχης συνδεεται?”
Προσπάθεια απάντησης: (δε σημαίνει φυσικά ότι διαφωνούμε κάπου)
Αν έχω ένα κουτί με τρεις κόκκινες και τρεις μαύρες μπάλες και διαλέγω δυο μπάλες στην τύχη, η πιθανότητα να είναι και οι δυο κόκκινες δεν έχει μια απάντηση.
Εξαρτάται από το αν θα τοποθετήσουμε πίσω την πρώτη μπάλα ή όχι. Δηλαδή από τον τρόπο εκτέλεσης του πειράματος.
Έτσι και στο παράδοξο που μελετάμε, με το ευθύγραμμο τμήμα, η πιθανότητα εξαρτάται από τον τρόπο κατασκευής του.
Ναι δεν διαφωνουμε αλλα ο ορισμος ενος πειραματος τυχης περιεχει και τον τροπο διεξαγωγης του πειραματος. Δηλαδη Αν έχω ένα κουτί με τρεις κόκκινες και τρεις μαύρες μπάλες και διαλέγω δυο μπάλες στην τύχη βαζοντας και τα δυο χερια μεσα στο κουτι και τραβωντας ταυτοχρονα δυο μπαλες η ισοδυναμα αν τις τραβηξω διαδοχικα αλλα χωρις επανατοποθετηση,τοτε αυτο ειναι ενα σαφως ορισμενο πειραμα τυχης που δινει καποια πιθανοτητα να ειναι και οι δυο μαυρες. Αν τραβηξω μια μπαλα δω το χρωμα της,την ξαναβαλω μεσα και μετα τραβηξω παλι μια μπαλα,τοτε αυτο ειναι ενα διαφορετικο σαφως ορισμενο πειραμα τυχης που δινει διαφορετικη πιθανοτητα για το ιδιο ενδεχομενο.. Δεν υπαρχει δηλαδη τροπος εκτελεσης του πειραματος. Ο τροπος ειναι ενσωματωμενος στον ορισμο του πειραματος.Πολυ στην φιλοσοφια το ριξαμε χαχα
Καλησπέρα Κωνσταντίνε. Φιλοσοφούμε σύμφωνο διαφωνώντας!
Το έθεσες πολύ καλά.
Δεν υπαρχει δηλαδη τροπος εκτελεσης του πειραματος. Ο τροπος ειναι ενσωματωμενος στον ορισμο του πειραματος.
Που σημαίνει ότι στο παράδοξο που έθεσε ο Γιάννης η απάντηση είναι ότι δεν είναι σωστά ενσωματωμένο στον ορισμό πιθανότητας το πρόβλημα.
Να είσαι καλά!