Παίζοντας με το παράδοξο του Bertrand.

Joseph Louis François Bertrand 

11 Μαρτίου 1822 – 5 Απριλίου 1900

Γάλλος Μαθηματικός. Ασχολήθηκε με θεωρία αριθμών, διαφορική Γεωμετρία, θεωρία πιθανοτήτων, Οικονομικά και Θερμοδυναμική.

Βρίσκουμε στο εξαιρετικό Physicsgg «Το παράδοξο του Bertrand».

Το παράδοξο του Bertrand είναι ένα πρόβλημα πιθανοτήτων που παρουσιάζεται στο βιβλίο του «Calcul des probabilités (1889)» και διατυπώνεται ως εξής:

Θεωρούμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο. Αν χαράξουμε τυχαία μια οποιαδήποτε χορδή του κύκλου, ποιά είναι η πιθανότητα η χορδή να είναι μεγαλύτερη από την πλευρά του εγγεγραμμένου τριγώνου;

Ο Bertrand ανέπτυξε τρεις διαφορετικές μεθόδους επίλυσης, η κάθε μία από τις οποίες δίνει διαφορετική πιθανότητα!

Συνέχεια:

(Visited 370 times, 1 visits today)
Subscribe
Ειδοποίηση για
17 Σχόλια
Inline Feedbacks
Όλα τα σχόλια
Δημήτρης Σκλαβενίτης

Γιάννη χρόνια πολλά.
Η πιθανότητα νομίζω εξαρτάται από τον τρόπο κατασκευής.
Ας ακολουθήσουμε τον εξής τρόπο που πάλι η πιθανότητα εξαρτάται από την επιλογή ενός σημείου:
Διαλέγουμε ένα εξωτερικό σημείο. Φέρνουμε τις δύο εφαπτόμενες προς τον κύκλο και η ζητούμενη χορδή ας είναι η χορδή που ορίζουν τα δύο σημεία επαφής. Αν το σημείο βρίσκεται σε κύκλο με πολύ μεγάλη ακτίνα (υπάρχουν άπειρα σημεία σε αυτόν τον κύκλο με άπειρη ακτίνα) η οριζόμενη χορδή έχει μήκος 2R. 
Αν το σημείο βρίσκεται κοντά στον κύκλο (πάλι άπειρα σημεία υπάρχουν
σ αυτόν τον κύκλο) η οριζόμενη χορδή έχει μηδενικό μήκος.
Τέλος, αν το αρχικό μας σημείο βρίσκεται σε κύκλο ακτίνας 2R (αν το υπολόγισα σωστά) η οριζόμενη χορδή έχει μήκος ίσο με αυτό του ισοπλεύρου τριγώνου.
Έτσι ορίζονται δύο περιοχές με λόγο εμβαδών -> άπειρο άρα η πιθανότητα για μεγάλη χορδή είναι μηδέν.

Δημήτρης Σκλαβενίτης

Η πιθανότητα να πέσει το βελάκι κάπου από τα εμβαδά. (Ο πιο πρωτόγονος τρόπος να υπολογίσουμε το π =3,14 είναι να πετάμε στην τύχη βελάκια σε τετράγωνο στο οποίο έχουμε εγγράψει κύκλο. Ο αριθμός αυτών που πέφτουν στο εσωτερικό του κύκλου προς τον συνολικό αριθμό τείνει στο π/4. )

Δημήτρης Σκλαβενίτης

Και όπως τα εμβαδά δίνουν λάθος αποτέλεσμα έτσι δίνουν λάθος και τα μήκη:
Χωρίζουμε τον κύκλο σε τρία ίσα τόξα. Στεκόμαστε στο άκρο ενός από αυτά και φέρουμε τυχαία χορδή.Το άλλο άκρο της θα πέσει σε κάποιο από τα τρία τόξα και η πιθανότητα να πέσει στο απέναντι τόξο (οπότε η σχηματιζόμενη χορδή θα 
είναι μεγάλη) είναι ανάλογη με το λόγο των αντιστοίχων μηκών = 1/3. Και αυτός ο “τρόπος” δεν απαντά στο πρόβλημα που αναφέρεται σε μήκη χορδών.

Βασίλειος Μπάφας
4 μήνες πριν

Καλημέρα σε όλους.
Γιάννη πολύ ενδιαφέρουσα ανάρτηση.
Πριν διαβάσω την απάντηση του Δημήτρη (καλημέρα Δημήτρη) είχα σκεφτεί την ίδια απάντηση.
Ότι δηλαδή η πιθανότητα εξαρτάται από τον τρόπο κατασκευής – παραγωγής της χορδής. Όπως και η πιθανότητα όταν τραβάμε (άσπρες – μαύρες) μπίλιες από δοχείο είναι διαφορετική αν τις ξανατοποθετούμε, έχει δηλαδή σημασία ο τρόπος παραγωγής της πιθανότητας.
Συμφωνώ με τα άλλα που λες για τα pixel ότι είναι εμβαδό και όχι σημείο.

Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος
Απάντηση σε  Βασίλειος Μπάφας

Καλημερα Βασίλειε και Χρόνια πολλά.

Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος

Καλημερα Γιάννη και Δημήτρη Χρόνια Πολλά.Δεν το διαβασα θα το διαβασω τωρα. Η πιθανοτητα οπως το αντιλαμβανομαι συνδεεται παντα με ενα πειραμα τυχης το οποιο μπορει να επαναλαμβανεται ετσι ωστε τελικα να οριστει η πιθανοτητα. Για παραδειγμα εχω ενα κουτι με τρεις κοκκινες και τρεις μαυρες μπαλες και διαλεγω μια μπαλα στην τυχη. Η πιθανοτητα στην οποια αναφερεται το παραδοξο με ποιο πειραμα τυχης συνδεεται? Για παραδεγμα εχω ενα ευθυγραμμο τμημα ΑΒ. διαλεγω στην τυχη ενα σημειο του. Ποια η πιθανοτητα το σημειο αυτο να ειναι πλησιεστερα στο Α απο οτι στο Β? Απανταμε αμεσως P=1/2. Κακως ομως κατα την γνωμη μου αφου δεν εχουμε ορισει το πειραμα τυχης.Τι θα πει διαλεγω σημειο?Στο κουτι με τις μπαλες “διαλεγω” θα πει κλεινω τα ματια μου βαζω μεσα το χερι πιανω μια μπαλα και την βγαζω απο το κουτι. Πρεπει να σκεφτουμε μια αναλογη απλη πρακτικη διαδικασια που οδηγει σε ενα σημειο του ευθυγραμμου τμηματος.Αν τετοιο πειραμα δεν μπορει να οριστει μονοσημαντα,τοτε η αντιστοιχη πιθανοτητα δεν οριζεται.

Τελευταία διόρθωση4 μήνες πριν από Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος
Βασίλειος Μπάφας
4 μήνες πριν

Καλημέρα Κωνσταντίνε και χρόνια πολλά επίσης. Σε ευχαριστώ για τη συμμετοχή!

“Η πιθανοτητα οπως το αντιλαμβανομαι συνδεεται παντα με ενα πειραμα τυχης το οποιο μπορει να επαναλαμβανεται ετσι ωστε τελικα να οριστει η πιθανοτητα.”

Εδώ συμφωνούμε.

“Για παραδειγμα εχω ενα κουτι με τρεις κοκκινες και τρεις μαυρες μπαλες και διαλεγω μια μπαλα στην τυχη. Η πιθανοτητα στην οποια αναφερεται το παραδοξο με ποιο πειραμα τυχης συνδεεται?”

Προσπάθεια απάντησης: (δε σημαίνει φυσικά ότι διαφωνούμε κάπου)
Αν έχω ένα κουτί με τρεις κόκκινες και τρεις μαύρες μπάλες και διαλέγω δυο μπάλες στην τύχη, η πιθανότητα να είναι και οι δυο κόκκινες δεν έχει μια απάντηση.
Εξαρτάται από το αν θα τοποθετήσουμε πίσω την πρώτη μπάλα ή όχι. Δηλαδή από τον τρόπο εκτέλεσης του πειράματος.
Έτσι και στο παράδοξο που μελετάμε, με το ευθύγραμμο τμήμα, η πιθανότητα εξαρτάται από τον τρόπο κατασκευής του.

Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος
Απάντηση σε  Βασίλειος Μπάφας

Ναι δεν διαφωνουμε αλλα ο ορισμος ενος πειραματος τυχης περιεχει και τον τροπο διεξαγωγης του πειραματος. Δηλαδη Αν έχω ένα κουτί με τρεις κόκκινες και τρεις μαύρες μπάλες και διαλέγω δυο μπάλες στην τύχη βαζοντας και τα δυο χερια μεσα στο κουτι και τραβωντας ταυτοχρονα δυο μπαλες η ισοδυναμα αν τις τραβηξω διαδοχικα αλλα χωρις επανατοποθετηση,τοτε αυτο ειναι ενα σαφως ορισμενο πειραμα τυχης που δινει καποια πιθανοτητα να ειναι και οι δυο μαυρες. Αν τραβηξω μια μπαλα δω το χρωμα της,την ξαναβαλω μεσα και μετα τραβηξω παλι μια μπαλα,τοτε αυτο ειναι ενα διαφορετικο σαφως ορισμενο πειραμα τυχης που δινει διαφορετικη πιθανοτητα για το ιδιο ενδεχομενο.. Δεν υπαρχει δηλαδη τροπος εκτελεσης του πειραματος. Ο τροπος ειναι ενσωματωμενος στον ορισμο του πειραματος.Πολυ στην φιλοσοφια το ριξαμε χαχα

Τελευταία διόρθωση4 μήνες πριν από Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος
Βασίλειος Μπάφας
4 μήνες πριν

Καλησπέρα Κωνσταντίνε. Φιλοσοφούμε σύμφωνο διαφωνώντας!
Το έθεσες πολύ καλά.

Δεν υπαρχει δηλαδη τροπος εκτελεσης του πειραματος. Ο τροπος ειναι ενσωματωμενος στον ορισμο του πειραματος.

Που σημαίνει ότι στο παράδοξο που έθεσε ο Γιάννης η απάντηση είναι ότι δεν είναι σωστά ενσωματωμένο στον ορισμό πιθανότητας το πρόβλημα.
Να είσαι καλά!