by 
Στο σχήμα βλέπουμε μια οριζόντια τομή, ενός οριζόντιου σωλήνα, σταθερής διατομής, εντός του οποίου έχει αποκατασταθεί μια μόνιμη ροή ενός ιδανικού υγρού.
- Να αποδειχθεί ότι η πίεση στα σημεία 1, 2 και 3 έχει την ίδια τιμή.
- Για τις πιέσεις στα σημεία 4 και 5, στο καμπύλο τμήμα του σωλήνα, ισχύει:
α) p4 < p5, β) p4 = p5, γ) p4 > p5.
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
ή
————————————————
ΥΓ1.
Ήρθε το παρακάτω σχόλιο του Θοδωρή, που με υποχρεώνει να αποσύρω τις απαντήσεις, θέτοντας τα εξής ερωτήματα, στο φόρουμ.
Οι ταχύτητες ροής είναι ίδιες στα σημεία 1,2,3.
- Από κει και πέρα τι συμβαίνει στο τμήμα που ο σωλήνας καμπυλώνεται;
- Σε όλα τα σημεία μιας διατομής είναι ίδια η ταχύτητα;
- Ποια δύναμη είναι αυτή που υποχρεώνει μια μάζα νερού να ακολουθεί καμπύλη τροχιά;
- Ποια είναι η σωστή απάντηση στο 2ο ερώτημα;
ΥΓ2.
Μετά την συζήτηση που μεσολάβησε, νομίζω ότι έγινε ξεκάθαρο το τι συμβαίνει με τις πιέσεις στα σημεία 4 και 5 με τα οποία ασχολείται το ερώτημα, οπότε το post μεταφέρεται στις αναρτήσεις της Γ΄ τάξης.
Διονύση κάπου χάθηκα…
Οριζόντιος σωλήνας σταθερής διατομής
Άρα σταθερές ταχύτητες κατά μέτρο και ίδιες υψομετρικές πιέσεις
Τα σημεία 1,2,4 στην ίδια ρευματική γραμμή
Από Bernoulli ίδιες πιέσεις p1=p4 (1)
Τα σημεία 3,5 στην ίδια ρευματική γραμμή επίσης, άρα ίδιες πιέσεις πάλι από Bernoulli p3=p5 (2)
Όμως p1=p3 αφού ΣFy=0 στο ευθύγραμμο τμήμα του οριζόντιου σωλήνα
Άρα, από (1) και (2) –> p4=p5
Πού κάνω το λάθος;
Καλησπέρα Θοδωρή.
“Από Bernoulli ίδιες πιέσεις p1=p4″ Γιατί ίσες οι πιέσεις; Είναι ίδιες οι ταχύτητες;
Οι ταχύτητες ροής είναι ίδιες στα σημεία 1,2,3.
Από κει και πέρα τι συμβαίνει στο τμήμα που ο σωλήνας καμπυλώνεται;
Σε όλα τα σημεία μιας διατομής είναι ίδια η ταχύτητα;
Ποια δύναμη είναι αυτή που υποχρεώνει μια μάζα νερού να ακολουθεί καμπύλη τροχιά;
Ερωτήματα που έρχεται να βάλει στη συζήτηση η παραπάνω ερώτηση.
Άρα μετατρέπεται σε ερώτημα στο φόρουμ, και βγαίνει από τις αναρτήσεις, αφού πηγαίνοντας να γράψω την απάντησή μου, διαπίστωσα μια… αντίφαση (τουλάχιστον).
Οπότε πάμε να δούμε τα παραπάνω ερωτήματα στο φόρουμ…
Το θέμα μπήκε στο φόρουμ με τα ερωτήματα, προς απάντηση διατυπωμένα παραπάνω.
Ενα απόσπασμα από παρουσίαση που είχα κάνει στο ΕΚΦΕ Αγίων Αναργύρων πριν χρόνια.
Αναφέρεται στο θέμα αυτό.
Γιάννη βλέπω στην παρουσίασή σου:
Άρα στο αρχικό σχήμα που έδωσα p5>p4;
Διονύση το p4 αντιστοιχεί με το p1. Είναι μικρότερο από το p5 που αντιστοιχεί με το p2.
¨Οταν έπαιξε η παρουσίαση μιλούσα.
Πριν το ζωύφιο είπα ότι για να στρίψει δέχεται κεντρομόλο όπως η κόκκινη F πάνω δεξιά. Επομένως η πίεση στο 1 είναι μεγαλύτερη.
Θα πω το ίδιο.
Είτε ότι η πίεση στο 5 είναι μεγαλύτερη, ώστε να προκύψει κεντρομόλος, είτε ότι το ζωύφιο βλέπει βαρυτικό περίο με κατεύθυνση από το 4 στο 5.
Έτσι η πίεση είναι μεγαλύτερη στο 5 , λόγω “μεγαλύτερου βάθους” (αν η έκφραση είναι αποδεκτή).
Καλησπέρα,
Να πω μια άποψη.
Το στοιχείο μάζας δεν κινείται μόνο ανοδικά παράλληλα στον σωλήνα αλλά ταυτόχρονα διαγράφει και κάποια καμπύλη. Άρα πρέπει η πίεση στην θέση 5 να είναι μεγαλύτερη από αυτήν στην 4, ώστε να εξασφαλίζεται η κεντρομόλος (αν το βάρος ληφθεί υπόψην, τότε πάλι η p5>p4 γιατί η ακτινική συνιστώσα του βάρους θα είναι ομόρροπη με την p4.ds δύναμη – όπου ds η επιφάνεια).
Ας εφαρμόσουμε τώρα τον νόμο Bernoulli για τις θέσεις 1->4 και 3->5. Αρχικά στις θέσεις 1,3 ισχύουν ίδιες πιέσεις και ταχύτητες. Η υψομετρική διαφορά της 3->5 είναι μεγαλύτερη από την υψομετρική διαφορά 1->4.
Άρα στην διαδρομή 1->4 έχουμε μικρότερη διαφορά πιέσεων και μικρότερη διαφορά βαρυτικού δυναμικού σε σχέση με την 3->5. Έτσι, η ταχύτητα στην θέση 4 πρέπει να είναι μεγαλύτερη από την ταχύτητα στην θέση 5 ώστε να διατηρείται η ενέργεια (νόμος Bernoulli).
Οπότε p4<p5 και υ4>υ5.
Αυτό όμως συνεπάγεται ότι οι ταχύτητες σε μια τομή του καμπυλωμένου μέρους δεν είναι παντού ίδιες.
Επικαλέστηκα ότι η υψομετρική διαφορά 3->5 είναι μεγαλύτερη από την διαφορά 1->4. Αυτό προκύπτει γιατί αν θεωρήσουμε ότι το στοιχείο μάζας μας έχει μήκος d και ότι η υψομετρική διαφορά 3->5 είναι Δh, τότε η υψομετρική διαφορά 1->4 θα είναι Δh-d+dcosθ = Δh-d(1-cosθ) < Δh. Φυσικά εφόσον το μήκος από την θέση 1 στην θέση 3, είναι ίσο με το μήκος από την θέση 4 στην θέση 5.
Σπύρο η τομή του σωλήνα είναι οριζόντια.
Δεν υπάρχουν υψομετρικές διαφορές.
κ. Διονύση δεν διάβασα καλά την εκφώνηση νόμιζα ήταν πρόσοψη. Πάλι βέβαια p5>p4.
Καλησπέρα στην παρέα.
Θυμόμουνα, θυμάμαι ,θυμήθηκα ,τώρα πως τη βρήκα ούτε ξέρω…κάτι έγραψα στο ψαχτήρι και βρήκα …τούτο
Καλησπέρα Παντελή.
Έβγαλες… λαβράκι, όπου κάποιοι άγνωστοί μας συζητούν το ίδιο θέμα…
…κι εγώ έλεγα μη ζημιώσω το νεοδιάλογο
Καλησπέρα Διονύση, καλησπέρα και στην υπόλοιπη παρέα. Κάποιες σκέψεις στο θέμα:
Καλησπέρα Στάθη. Λες:
Εννοείς ότι σε όλα τα σημεία του οριζόντιου σωλήνα έχουμε διαφορετικές ταχύτητες στα σημεία 1. και 2. ή μόνο αν αυτά τα σημεία είναι κοντά στο καμπύλο τμήμα;
Γιατί στην αρχική εκδοχή της ανάρτησης τα σημεία 1 και 2 υποτίθεται ότι είναι μακριά από την στροφή…
Διονύση αναφέρομαι σε οποιαδήποτε σημεία αν υπάρχει η ρευματική γραμμή από το 1 στο 4 και από το 3 στο 5. Το φαινόμενο της ανάμειξης βέβαια θα είναι πιο έντονο κοντά.Μακριά οι ταχύτητες θα γίνουν ίσες (σε χαμηλές ταχύτητες ροής και όχι πολύ μικρή διατομή σωλήνα).
Σε κάθε όμως περίπτωση δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε την εξίσωση του Bernoulli μεταξύ ενός σημείου μακριά στο ευθύγραμμο τμήμα, και ενός σημείου στο καμπύλο, ενώ παρεμβάλλεται ανάμειξη στην περιοχή κοντά στην σύνδεση των δύο τμημάτων. Η αντιστοιχη ρευματική γραμμή 1 έως 4 δεν υπάρχει…
Συνάδελφοι πιστεύω οτι μπλέκουμε τα πράγματα! Είτε μιλάμε για ιδανικά ρευστά και στρωτή ροή οπότε όλες οι πιέσεις είναι ίσες (όλα τα μόρια του νερού στην στροφή δέχονται από το λείο τοίχωμα κάθετες δυνάμεις -κεντρομόλες, οι τροχιές είναι ομόκεντροι κύκλοι) , είτε θεωρούμε πραγματικά ρευστα οπότε έχουμε τριβές με τον σωλήνα , εσωτερικές τριβές ,στροβιλώδη κίνηση και όλα όσα έπονται.
Γιώργο θα συμφωνήσω με τον Στάθη.
Ένα στοιχείο ιδανικού ρευστού που δεν ακουμπάει στο τοίχωμα στρίβει επίσης.
Αυτό σημαίνει ότι δέχεται δύναμη (κεντρομόλο) από τα γειτονικά του και όχι από τα τοιχώματα. Τότε όμως αλλάζει η πίεση.
Ο Στάθης έχει δώσει παλιότερα το περιεχόμενο της στροβιλώδους και το αποσύνδεσε από τους όποιους στροβίλους. Ο Στάθης εννοεί ότι αν πάρεις ένα επικαμπύλιο από το 5 στο 4 στο Ζ, στο Θ στο…. στο 5, αυτό δεν θα βγεί μηδέν ακόμα και αν η ροή γίνεται σε στρώματα.
Καλησπέρα και πάλι Στάθη.
Η παραπάνω πρότασή σου, δικαιολογεί την κατάσταση.
Θα μου επιτρέψεις όμως να μεταφέρω από το σύνδεσμο που έδωσε ο Παντελής παραπάνω, μια τοποθέτηση του Βαγγέλη Κορφιάτη, τροποποιώντας τα σημεία αναφοράς να ταιριάζουν με τα σημερινά:
“Έτσι, υποθέτοντας ότι η ροή είναι ομογενής πολύ πίσω από το Α είμαστε βέβαιοι ότι, μακριά από την «κούρμπα», η ροή είναι αστρόβιλη.
Σύμφωνα με το θεώρημα του Kelvin., θα είναι αστρόβιλη σε όλη την έκταση της ροής.”
και παρακάτω:
“Επειδή η καμπυλόγραμμη κίνηση ενός στοιχείου ρευστού προϋποθέτει κεντρομόλο δύναμη, η πίεση στο 5 είναι μεγαλύτερη από την πίεση στο 4. Συνεπώς, η ταχύτητα στο 5 είναι μικρότερη από την ταχύτητα στο 4.”
Και αυτή η ερμηνεία δικαιολογεί επίσης την κατάσταση…
Η διαφορά έχει να κάνει με τις ταχύτητες και όχι τις πιέσεις στα σημεία 4 και 5, όπου υπάρχει συμφωνία και παραπάνω στην ανάρτηση, στις πιέσεις αναφερόμουν.
Κατέβασα όμως την απάντηση, επειδή υπάρχει αυτό το πρόβλημα με τις ταχύτητες και της εφαρμογής ή όχι της εξίσωσης Bernoulli μεταξύ των σημείων 1 και 4…
Καλησπέρα σε όλους.
Να δώσω και εγώ ένα σύνδεσμο.
Καλημέρα συνάδελφοι και καλή Κυριακή.
Επανέρχομαι στο θέμα, γράφοντας μερικές σκέψεις ακόμα.
Καλημέρα και από εδώ Διονύση.
Δεν μπορώ να απαντήσω ποιο από τα δύο μοντέλα είναι πιο σωστό αναλυτικά. Έχω δε την εντύπωση ότι αυτό θα εξαρτάται έντονα από τις συνοριακές συνθήκες που επικρατούν σε κάθε πρόβλημα (για αυτό γράφω πιο σωστό). Για τον λόγο αυτό έγραψα πριν πως είναι ασφαλέστερο να εφαρμόζεται η εξίσωση είτε πριν είτε μέσα στην “στροφή”.
Στο μοντέλο που περιγράφεις η ροή είναι όντως μη στροβιλώδης και μόλις έδειξες ότι σε μη στροβιλώδη ροή μπορούμε να εφαρμόσουμε επ’ ευθείας την εξίσωση μεταξύ δύο σημείων που ανήκουν σε διαφορετικές ρευματικές γραμμές (4 και 5). Σε αυτήν την περίπτωση θα υπάρχει μια συνάρτηση “δυναμικού” από την οποία θα ξεπηδά το πεδίο της ταχύτητας (όπως έγραφε και ο αείμνηστος Βαγγέλης).
Αν η καμπύλωση των ρευματικών γραμμών πραγματοποιούταν από δύο κυλινδρικά εμπόδια σε μία ομοιόμορφη μακριά τους ροή, όπως στο forum δίπλα, θα μπορούσαμε να βρούμε αυτό το “δυναμικό” (καλείται συνάρτηση ροής) και να περιγράψουμε επακριβώς το πεδίο της ταχύτητας.
Τώρα που το λές, το μπουκάλι σε ένα ποτάμι με την πιο μικρή ακτίνα στροφής, μου φαίνεται (καθαρά διαισθητικά) ότι θα αποκτήσει στιγμιαία στην στροφή μεγαλύτερη ταχύτητα.
Στάθη Καλημέρα! Αν η γωνία είναι ορθή (με δύο πλευρές κάθετες τότε θα συμφωνησω μαζί σου ότι δημιουργούνται ,συνοριακά, στρόβιλοι και οι ταχύτητες διαφέρουν.(Αλλά αυτό είναι ¨εκτός ενδιαφέροντος ύλης Γ Λυκείου) . Στο παράδειγμα όμως του Διονύση τα όποια συνοριακά προβλήματα ελαχιστοποιούνται και θεωρούνται αμελητέα.
Επίσης διαφωνώ με το συμπέρασμά σου στην εξίσωση που παραθέτεις,
γιατί μπορεί όλες οι πιέσεις να είναι ίσες άρα και οι ταχύτητες.
Καλημέρα Γιώργο.
Ανάμειξη θα έχουμε ακόμη και αν η γωνία δεν είναι ορθή, αρκεί να έχει μεγάλη καμπυλότητα (μικρή ακτίνα). Θα παίζει επίσης ρόλο το σχήμα της στροφής (κυκλική ή οποιαδήποτε άλλη καμπύλη). Γενικά όμως συμφωνούμε ότι όσο πιο “απότομη” είναι τόσο πιο έντονο το πρόβλημα.
Όσον αφορά τις πιέσεις, διαφωνούμε. Μία ποσότητα νερού (φαντάσου την πολύ μικρή και όχι σε επαφή με τα τοιχώματα) δεν μπορεί να στρίβει αν δεν δεχτεί κεντρομόλο δύναμη. Άρα οι πιέσεις στην κεντρομόλα διεύθυνση διαφέρουν.
Αν φανταστούμε δύο στοιχειώδεις μάζες που στρίβουν η εξωτερική θα έχει “απλώσει πιο πολύ από την εσωτερική . Έτσι θα έχει μεγαλύτερη επιφάνεια κάθετη στη δύναμη που ασκείται από την” ϋπερκείμενη” μάζα. Η δε δύναμη θα είναι και αυτή μεγαλύτερη. Έτσι οι πιέσεις θα είναι ίδιες απλά θα αλλάξει η ακτίνα καμπυλότητας.
Γιωργό αυτό δεν το είχα σκεφτεί. Άρα λες ότι η κεντρομόλος οφείλεται στην διαφοροποίηση του σχήματος της ποσότητας νερού, και όχι στην διαφορά πίεσης. Είναι μια σκέψη που δεν είχα κάνει.
Αλλά αν οι πιέσεις είναι παντού οι ίδιες, γιατί “απλώνει η ποσότητα του νερού από την έξω πλευρά; Για να αλλάξει σχήμα δεν πρέπει να της ασκηθούν δυνάμεις λόγω διαφοράς στην πίεση;
Καλημέρα Γιώργο.
?
Δες τι γράφουν οι Halliday-Resnick σε εικόνα του Παντελή εδώ, σε ανάλογη συζήτηση πριν χρόνια…
O Haliday αναφέρεται σε “sharply curved” και συμφωνώ σε αυτό(άλλωστε το ανέφερα ήδη ,μονο που ο Haliday υποστηρίζει ότι συνεχιζει η ροή να είναι αστρόβιλη ), σε ανοιχτές καμπυλες ο λόγος dp/dx πρέπει να ελαττώνεται αισθητά. Δεν έχω βάλει τις κάτω τις εξισώσεις , αλλά θα το κάνω αργότερα . Πάντως ευχαριστώ πολύ για την αναφορά στον Haliday. Δεν το θυμόμουνα καθόλου… Το γήρας ουκ έρχεται μόνον…εκτος από εγγόνια φέρνει και σχετική αμνησία…
Γιώργο δες το σχόλιό μου, λίγο πιο πάνω, εδώ, όπου υποστηρίζω ότι η ροή είναι αστρόβιλη.
Από κει και πέρα, να είμαστε καλά να γερνάμε … ομαλά (με σταθερό ρυθμό…) και ας ξεχνάμε και μερικά πράγματα.