by 
Στο σχήμα βλέπουμε μια οριζόντια τομή, ενός οριζόντιου σωλήνα, σταθερής διατομής, εντός του οποίου έχει αποκατασταθεί μια μόνιμη ροή ενός ιδανικού υγρού.
- Να αποδειχθεί ότι η πίεση στα σημεία 1, 2 και 3 έχει την ίδια τιμή.
- Για τις πιέσεις στα σημεία 4 και 5, στο καμπύλο τμήμα του σωλήνα, ισχύει:
α) p4 < p5, β) p4 = p5, γ) p4 > p5.
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
ή
————————————————
ΥΓ1.
Ήρθε το παρακάτω σχόλιο του Θοδωρή, που με υποχρεώνει να αποσύρω τις απαντήσεις, θέτοντας τα εξής ερωτήματα, στο φόρουμ.
Οι ταχύτητες ροής είναι ίδιες στα σημεία 1,2,3.
- Από κει και πέρα τι συμβαίνει στο τμήμα που ο σωλήνας καμπυλώνεται;
- Σε όλα τα σημεία μιας διατομής είναι ίδια η ταχύτητα;
- Ποια δύναμη είναι αυτή που υποχρεώνει μια μάζα νερού να ακολουθεί καμπύλη τροχιά;
- Ποια είναι η σωστή απάντηση στο 2ο ερώτημα;
ΥΓ2.
Μετά την συζήτηση που μεσολάβησε, νομίζω ότι έγινε ξεκάθαρο το τι συμβαίνει με τις πιέσεις στα σημεία 4 και 5 με τα οποία ασχολείται το ερώτημα, οπότε το post μεταφέρεται στις αναρτήσεις της Γ΄ τάξης.
(Visited 1.392 times, 1 visits today)
Γεια σας παιδιά.
Να υποθέσω ότι σε ένα σωλήνα στην περίπτωση της στρωματικής ροής και σε ιδανικό υγρό, ότι η εικόνα είναι αυτή;
Δηλαδή ότι όλες οι ταχύτητες που σημείωσα είναι ίσες;
Αν δεχόμαστε αυτό, θα μπορούσαμε να αποδείξουμε ότι είναι αδύνατη η επόμενη εικόνα;
Στην εικόνα αυτήν η ταχύτητα είναι ίδια σε κάθε στρώμα αλλά τα στρώματα δεν έχουν ίδιες ταχύτητες. Η ροή δεν είναι αστρόβιλη.
Μπορούμε να αποδείξουμε ότι κάτι τέτοιο είναι αδύνατο;
Γειά σου Γιάννη,
όχι δεν μπορούμε να αποκλείσουμε την δεύτερη περίπτωση.
Για αυτό πρέπει να είμαστε προσεκτικοί και στην εφαρμογή της εξίσωσης της συνέχειας στην μορφή Α1υ1=Α2υ2. Εφαρμόζεται σε μια φλέβα με σταθερή ταχύτητα σε κάθε σημείο μιας διατομής της, όχι στην διατομή του σωλήνα πάντα.
Μπορούμε να αποκλείσουμε το να ισχύει η μία ή η άλλη εικόνα:
Καλησπέρα Γιάννη.
Πάμε στις εικόνες σου.
Η πρώτη είναι αυτή που δεχόμαστε σε κάθε περίπτωση που έχουμε μια μόνιμη ροή σε έναν σωλήνα σταθερής διατομής.
Η 2η εικόνα παραξενεύει, αλλά ούτε και γω μπορώ να αποδείξω ότι δεν μπορεί να υπάρχει. Θα ρωτούσα βέβαια πώς προέκυψε, ποιος ο λόγος να έχουμε τέτοια στρωματική ροή;
Αν μου έδιναν ένα λόγο για τον οποίο απεκαταστάθη τέτοια ροή, θα μπορούσαν να με πείσουν να αποδεχτώ την ύπαρξή της αφού δεν παραβιάζει κάποιον νόμο.
Τα δύο τελευταία σχήματα, δεν μπορούν να υπάρξουν.
Η εξίσωση Bernoulli εφαρμοζόμενη μεταξύ δύο σημείων της ίδιας φλέβας, το ένα μακριά από την “στροφή” και το άλλο στην στροφή, επιβάλει διαφορετικές ταχύτητες.
Ποιος είναι ο λόγος τέτοιας ροής;
Αν η φλέβα στρίψει και αναγκαστεί εκεί να αποκτήσει διαφορετική ταχύτητα από τις γειτονικές της, δεν θα επηρεαστεί και η ταχύτητα σε τμήματα της φλέβας μακριά από τη στροφή;
Εκτός αν η μία φλέβα φαρδαίνει και η άλλη στενεύει, οπότε οι ταχύτητες διαφοροποιούνται μόνο στις στροφές.
Στο σχήμα σου δηλαδή, αν δεχτούμε μικρότερη ταχύτητα στο 5 από το 4 και ίσες ταχύτητες στα 1 και 3, πρέπει η βλέβα του 4 να στενεύει και του 5 να φαρδαίνει.
Το αντίστροφο αν η ταχύτητα είναι μεγαλύτερη στο 5.
Πάντως αν οι φλέβες διατηρήσουν το πάχος τους τότε οι ταχύτητες πρέπει να διαφοροποιηθούν και στα 1 και 3.
“Εκτός αν η μία φλέβα φαρδαίνει και η άλλη στενεύει, οπότε οι ταχύτητες διαφοροποιούνται μόνο στις στροφές.
Στο σχήμα σου δηλαδή, αν δεχτούμε μικρότερη ταχύτητα στο 5 από το 4 και ίσες ταχύτητες στα 1 και 3, πρέπει η φλέβα του 4 να στενεύει και του 5 να φαρδαίνει.
Το αντίστροφο αν η ταχύτητα είναι μεγαλύτερη στο 5.”
Γιατί όχι;
Ένας γνωστός και φίλος το είχε υποστηρίξει εδώ.
.
Ναι αλλά ο φίλος αυτός νόμιζε τότε ότι είχε καταλάβει.
Δεν είμαι σίγουρος αν η ροή παραμένει στρωματική και στη γωνία.
Να ανοίξουμε τη γωνία Γιάννη…
Ας μην σχηματίζεται μια γωνία 90°, αλλά μια πολύ μικρή στροφή, μια αλλαγή πορείας κατά 10° σε σχετικά μεγάλη διαδρομή, όπως στο σχήμα.
Τόσο μικρή αλλαγή πορείας, που να μην υπάρχει κίνδυνος να καταστραφεί η αρχική ροή…
Αν αυτό επιβάλλει μια ελάχιστη αλλαγή στην ταχύτητα, τότε το συμπέρασμα εξάγεται…
Δηλαδή η ταχύτητα θα αλλάξει από υ αριστερά σε V στη γωνία και πάλι σε υ δεξιά;
Θα παραμείνει υ και αριστερά και στη γωνία και δεξιά;
Αν συμβεί το δεύτερο, στη γωνία έχουν ίδιες ταχύτητες όλα τα στοιχεία του ρευστού;
Το δεξιό τμήμα Γιάννη δεν είναι ευθύγραμμος σωλήνας, είναι ο καμπύλος. Η μετάβαση από το ευθύγραμμο σωλήνα στον καμπύλο δεν γίνεται σε μια θέση απότομα, υπάρχει μια βαθμιαία μετάβαση από τον ευθύγραμμο σωλήνα στον καμπύλο.
Η ταχύτητα δεν παθαίνει καμιά απότομη μεταβολή, απλά από 4m/s πέφτει στα 3,9m/s στο σημείο που έχω σχεδιάσει την ταχύτητα.
Υπάρχει κάτι που δημιουργεί πρόβλημα;
Ένα λάστιχο που απλά λυγίζει ελάχιστα αλλάζοντας πορεία. Γι΄ αυτό συζητάω.
Δεν μπορούμε να έχουμε μια μόνιμη ροή, με τις παραπάνω ταχύτητες και να μην έχουμε προβλήματα στροβιλισμού και “καταστροφής της ροής ιδανικού ρευστού”;
Καταλαβαίνω.
Από το 4 πέφτει στο 3,9 στη γωνία. Πιο κάτω (μετά τη γωνία) θα ξαναγίνει 4 αν δεν αλλάξει το πάχος;
Η πίεση σε οριζόντιο σωλήνα σχετίζεται με το υ^2. Αυτό εμφανίζεται και στην κινητική ενέργεια και στην κεντρομόλο.
Μια αντίσταση ανάλογη του υ^2 μειώνει την ταχύτητα, κάτι που δεν κάνει η κεντρομόλος που επίσης είναι ανάλογη του υ^2.
Μια αντίσταση ανάλογη του υ^2 μειώνει την ταχύτητα
Δεν μίλησα Γιάννη πουθενά για αντίσταση παραπάνω…
Για ιδανικό ρευστό συζητάμε.
Ναι ιδανικό λέω και εγώ.
Στον νόμο Μπερνούλι υπάρχει προσθετέος ο 1/2ρ.υ^2.
Όταν η ταχύτητα γίνει υ2 από υ1 (μείωση) δεν παράγεται ένα έργο επί του στοιχείου ρευστού; Ένα αρνητικό έργο;
Γράφω ενδεικτικά τιμές ταχυτήτων σε όλα τα σημεία:
Τι θα γίνει στη συνέχεια;
Το 3 και το 5 θα ξαναγίνουν 4;
Αν στη συνέχεια ο σωλήνας ξαναγίνει ευθύγραμμος θα επιστρέψουμε στις τιμές 4m/s… αφού μια μικρή μάζα από το σημείο 5, με λίγο αυξημένη πίεση θα φτάσει στο σημείο 7 με την ίδια πίεση όπως στο 3, αλλά τότε θα επιταχυνθεί μεταξύ 5 και 7 ξανα-αποκτώντας την ταχύτητα των 4…
Τότε όμως θα έχουν ίδιες ταχύτητες έχοντας διανύσει άνισες διαδρομές.
Το ένα την 1-2-4-6 < 3-5-7 (αν στα 6 και 7 που ανήκουν στην ίδια διατομή οι ταχύτητες είναι ίσες).
Καταλαβαίνουμε ότι για να συμβεί αυτό πρέπει η ταχύτητα στο 4 να είναι μικρότερη αυτής στο 5.
Τότε όμως η ροή είναι στροβιλωδης.
Εκτός εάν τα στοιχεία ρευστού που θα έχουν ίδιες ταχύτητες την ίδια στιγμή στα 6 και 7 δεν είναι τα ίδια που είχαν ίδιες ταχύτητες την ίδια στιγμή στα 1 και 3.
Δηλαδή οδηγείς στο δρόμο και συμβαδίζεις αρχικά με ένα λεωφορείο, σε προσπερνά πιο κάτω και μετά συμβαδίζεις με ένα αγροτικό.
Στρωματική η ροή των οχημάτων φυσικά.
Γιατί όχι;
Παντρεμένα είναι τα διπλανά σωματίδια και πρέπει να βαδίζουν για πάντα μαζί; 🙂
Αν είναι έτσι τότε νόμος Bernoulli μόνο σε μία γραμμή και αυστηρά εκεί.
Επίσης αν είναι έτσι τότε η ταχύτητα στο 5 είναι μικρότερη αυτής του 4.
Είναι όμως έτσι;
Καλησπέρα στην παρέα. Κάτι τελευταίο:
Αν η κατανομή των ταχυτήτων στην καμπύλη περιοχή είναι όπως στο σχήμα, όπως προκύπτει με την αιτιολόγηση του Διονύση , δηλαδή μεγαλύτερες ταχύτητες των εσωτερικών σημείων από ότι των εξωτερικών, και δεχτούμε ότι σε κάθε στοιχειώδη μάζα ασκείται η ίδια δύναμη F ως συνισταμένη των δυνάμεων του εξωτερικού τοιχώματος του σωλήνα F2 (η στοιχειώδης μάζα 2 με κόκκινο), και του εσωτερικού τοιχώματος F1 (η στοιχειώδης μάζα 1 με μωβ), οι οποίες μεταφέρονται ως δράση-αντίδραση στις στοιχειώδεις μάζες από 1 έως 2, F= F2– F1= Fκεντρ. Τότε
Γεια σου Πρόδρομε.
“και δεχτούμε ότι σε κάθε στοιχειώδη μάζα ασκείται η ίδια δύναμη F”
Προφανώς η συνισταμένη δύναμη σε κάθε σωματίδιο ρευστού είναι διαφορετική, αφού διαγράφουν διαφορετικές τροχιές και με διαφορετικές ταχύτητες. Αλλά δες κάτι άλλο:
Αφαιρώντας τις F2 και F1 απλά βρίσκεις τη συνισταμένη που ασκείται σε όλα τα σωματίδια μεταξύ κόκκινου και μαύρου, από τα πλευρικά τοιχώματα του σωλήνα, δεν βρίσκεις την δύναμη που ασκείται σε κάθε σωματίδιο ρευστού.
ΥΓ
Και αν καταλήξεις σε άτοπο, απλά το άτοπο αφορά την υπόθεση που έχεις κάνει “και δεχτούμε ότι σε κάθε στοιχειώδη μάζα…”
Σωστά Διονύση.
Η συνισταμένη δύναμη ασκείται στο κέντρο μάζας του δίσκου πολύ μικρού πάχους dx, μάζας dm=ρdV=ρ(δ^2/4)dx .
Αν η ταχύτητα του κέντρου του παραμένει σταθερή και ίση με υ, όση και μακριά από την καμπυλότητα, τότε η συνισταμένη δύναμη στο δίσκο είναι
F=F2-F1=Fk=dm•(υ^2)/R.
Έχω την αίσθηση ότι κατά μήκος του ισοδιαμετρικου οριζόντιου και σχετικά μικρής διατομής σωλήνα, τα σημεία του άξονά του έχουν σταθερή ταχύτητα υ, που θα μπορούσε να είναι η μέση ταχύτητα όλων των στοιχειωδών μαζών του δίσκου.
Μπορούμε τότε να εφαρμόζουμε το νόμο Bernoulli σε σημεία του άξονα και όχι άλλα.
Δεν μπορούμε να ξέρουμε πώς κατανέμονται οι ταχύτητες στο καμπύλο τμήμα.