Υπερπήδηση εμποδίου: Μία απορία

Η ομογενής σφαίρα του σχήματος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο δάπεδο και στην πορεία της συναντά ένα εμπόδιο (σκαλοπάτι).

Προσπαθώ να βρω την ελάχιστη ταχύτητα του κέντρου μάζας της σφαίρας ώστε αυτή να υπερπηδήσει το εμπόδιο (θεωρώντας ότι δεν παρατηρείται ολίσθηση κατά την κρούση), αλλά δεν είμαι σίγουρος για κάτι.

Χρειάζεται να αναζητήσουμε κάποια ροπή που θα “νικήσει” τη ροπή του βάρους, ή το γεγονός ότι η σφαίρα έχει στροφορμή (τροχιακή + σπιν) ως προς τη γωνία του εμποδίου αρκεί; Και εάν αρκεί, η (συνολική) στροφορμή αυτή διατηρείται κατά το ανέβασμα; 

Φυσικά, αίτιο περιστροφής είναι η γωνιακή ταχύτητα και όχι η ροπή δύναμης, αλλά προβληματίζομαι…

Κάθε απάντηση ή βοήθεια, ευπρόσδεκτη!

(Visited 1,007 times, 1 visits today)
Subscribe
Ειδοποίηση για
62 Σχόλια
Inline Feedbacks
Όλα τα σχόλια
Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Μίλτο είναι όμορφο θέμα.
Η υπερπήδηση γίνεται για κάποια ταχύτητα και πάνω.
Η στροφορμή διατηρείται ως προς τη μύτη, με την έννοια ότι ελάχιστα μετά είναι όση είναι πριν.
Όταν ανασηκωθεί, θα δράσει η ροπή του βάρους και θα μειωθεί η ολική στροφορμή.
Δες εδώ και πάιξε με τις ταχυτητες.
Η στροφορμή που θα δεις είναι η ιδιοστροφορμή και όχι η ολική ως προς τη μύτη.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Η ιδιοστροφορμή διατηρείται, οπότε αναχωρεί με ταχύτητα ίση με u=υ.(R-h)/R.
Το επόμενο που θέλεις είναι με την ταχύτητα αυτήν να ανέβει κατά h.
Θέλεις δηλαδή M.g.h=1/2M.u^2

Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος

Kαλησπερα Γιάννη. Αυτη η ταχυτητα που βρισκεις στην πρωτη πραξη που κανεις ποια ταχυτητα ειναι? Δηλαδη αν θεωρησουμε οτι η γωνια του σκαλοπατιου λειτουργει ως αρθρωση (μονο ετσι λυνεται η ασκηση) τοτε τι γωνιακη ταχυτητα βρισκεις ως προς αυτη την αρθρωση αμεσως μετα την κρουση?

Τελευταία διόρθωση3 μήνες πριν από Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος
Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Κωνσταντίνε είναι από κρούση. Σύνιστώσα ταχύτητας.
Επιβεβαίωσα τη σκέψη μου με προσομοιώσεις διαφόρων ακριβειών.
Ο Διονύσης .έκανε ίδια σκέψη.
Αν εξετάσουμε γενικά το πρόβλημα μπορούμε (δύσκολα) να δώσουμε λύση γενική, ακόμα και αν δεν λειτουργεί ως άρθρωση.
Πρώτα βρίσκουμε τον οριακό συντελεστή τριβής, πάνω από τον οποίο υ=ω.r.
Λύνουμε το εύκολο πρόβλημα.
Έπειτα υποθέτουμε ότι έχουμε μικρό συντελεστή και δουλεύουμε με διατήρηση στροφορμής. Η ω υπολογίζεται από τον λόγο Τ/Ν και τη διατήρηση στροφορμής ως προς σημείο επαφής.
Λύνεται όπως η μπάλα που πέφτει σε τοίχο, όμως πιο δύσκολα.
Θα την δω με χαρτί και μολύβι.
Το καλό είναι ότι (όπως και η μπάλα στον τοίχο) επιβεβαιώνεται πολύ εύκολα από το i.p. σε καλή όμως ανάλυση (πάνω από 100).

Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος

Εγω βρισκω τελικο αποτελεσμα υ=((10gh/7)^1/2)/(1-(5h/7R))
Mαλλον δεν βρισκουμε το ιδιο με τις πραξεις που εκανα με τις εξισωσεις που εγραψες. Μπορει να κανω λαθος.

Τελευταία διόρθωση3 μήνες πριν από Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος
Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Δεν έχεις άδικο.
Αν είναι λείο η ταχύτητα είναι όση την υπολόγισα.
Η τριβή αυξάνει κάπως την ταχύτητα.
Θέλει προσοχή το πρόβλημα και διερεύνηση.
Θα το δώ καλά αύριο.

Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος

Παιρνω
mυ(R-h)+Iω=(Ι+mR^2)ω΄
και (1/2)(Ι+mR^2)ω΄^2=mgh με υ=ωR

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Επίσης η σφαίρα δεν διαφέρει καθόλου από τον κύλινδρο αν το σκαλοπάτι είναι λείο.
Αν υπάρχει τριβή ανεβαίνει πιο εύκολα παρά αν δεν έχει.
Αν το σκαλοπάτι έχει τριβή, η σφάιρα το ανεβαίνει δυσκολότερα από τον κύλινδρο.
Από όλα τα σώματα ανεβαίνει ευκολότερα το στεφάνι, αν φυσικά υπάρχει τριβή.
Αν το σκαλοπάτι είναι λείο, τα σώματα δεν έχουν διαφορετική συμπεριφορά.

Διονύσης Μάργαρης
Διαχειριστής
3 μήνες πριν

Καλησπέρα Μίλτο, καλησπέρα Γιάννη.
Συμφωνώ με το Γιάννη για το ότι υπερπήδηση γίνεται για κάποια ταχύτητα και πάνω.
Από κει και πέρα θα έλεγα να δούμε δυο περιπτώσεις.
Το σκαλοπάτι είναι λείο.
Τότε ισχύουν αυτά που γράφει ο Γιάννης
Η σφαίρα παρουσιάζει τριβές με το σκαλοπάτι.
Εδώ τι γίνεται;
Μπορεί να θέσουμε σαν δεδομένο ότι στη διάρκεια της κρούσης δεν θα έχουμε ολίσθηση. Αυτό τι ακριβώς σημαίνει; Ότι τελειώνοντας η κρούση έχουμε κύλιση και άρα την γνωστή σχέση για υcm και ω;
Αν ναι τότε μπορούμε να εφαρμόσουμε ΑΔΣ ως προς τη γωνία του σκαλοπατιού θεωρώντας αμελητέα, την ώθηση της ροπής του βάρους στη διάρκεια της κρούσης και να υπολογίσουμε την ταχύτητα του κ.μ. (εναλλακτικά να εφαρμόσουμε ΑΔΟ σε διεύθυνση κάθετη στην ακτίνα της σφαίρας)
Και δεχόμενοι ότι δεν παρατηρείται ολίσθηση και μετά την κρούση μέχρι να ανέβη το σκαλοπάτι, όλα, καλά εφαρμόζοντας ΑΔΜΕ.
Αν όμως υπάρχει ολίσθηση;

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης
Απάντηση σε  Διονύσης Μάργαρης

Διονύση η κρουστική δύναμη και επομένως η τριβή δεν είναι τεράστια;
Δηλαδή όταν λήξει η κρούση δεν θα πάψει και η δράση της;
Όταν θα αποκτήσει την ταχύτητα u δεν θα έχει λήξει η ολίσθηση;

Διονύσης Μάργαρης
Διαχειριστής
3 μήνες πριν

Είναι σίγουρο αυτό Γιάννη, χωρίς δεδομένα;
Είναι το πιο πιθανόν σενάριο (γι΄ αυτό το έγραψα πρώτο), αλλά είναι αυτονόητο για κάθε περίπτωση, χωρίς δεδομένα (ύψος σκαλοπατιού, συντελεστή τριβής);

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης
Απάντηση σε  Διονύσης Μάργαρης

Ας έχουμε συντελεστή τριβής ίσο με 0,2.
Η τριβή είναι τριβή ολίσθησης. Δεν είναι ίση με την τεράστια Ν επί 0,2;
Δεν είναι πάλι τεράστια;
Η ροπή της τριβής δεν είναι ίση με Τ.R ,οπότε πολύ μεγάλη;
Δεν θα πάψει η ολίσθηση σε ελάχιστο χρονικο διάστημα;
Με συντελεστή 0,2:

comment image

Βλέπουμε ότι αποκτά ακαριαία τη νέα γωνιακή ταχύτητα.
Η ολίσθηση έχει πάψει όταν λήγει η κρούση.

Διονύσης Μάργαρης
Διαχειριστής
3 μήνες πριν

Σύμφωνοι.
Για μείωσε το ύψος του εμποδίου στο μισό.
Στο 1/4;
Θα έχεις τα ίδια αποτελέσματα;
Και αν ταυτόχρονα κάνεις το συντελεστή τριβής 0,1 ή και 0,05 θα συνεχίσουμε να έχουμε τα ίδια;
Δεν το αποκλείω Γιάννη να έχει, σε όλες αυτές τις περιπτώσεις, αποκατασταθεί η κύλιση, αλλά χωρίς απόδειξη και διερεύνηση, πώς θα το πούμε;

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης
Απάντηση σε  Διονύσης Μάργαρης

Με ο.2:

comment image

Με 0,05:

comment image

Στο πρώτο σχόλιο έχω στείλει το αρχείο και μπορείς να παίξεις μ’ αυτό.
Έχω βάλει μηδενική ελαστικότητα αλλά αλλάζει από τις ιδιότητες.

Διονύσης Μάργαρης
Διαχειριστής
3 μήνες πριν

Γιάννη, δες τι τιμές πήρα με το αρχείο σου, για τιμές συντελεστή τριβής 0,2-0,1 και 0,05:
comment image

Μόνο στην πρώτη περίπτωση τη στιγμή που τελειώνει η κρούση ισχύει η σχέση υ=ωr.
Αυτό δεν σημαίνει ότι ολοκληρώνεται η κρούση και συνεχίζουμε να έχουμε ολίσθηση στις δύο άλλες περιπτώσεις;

Σπύρος Τερλεμές
3 μήνες πριν
Απάντηση σε  Διονύσης Μάργαρης

Καλημέρα σε όλους,

Υπάρχει περίπτωση με μεγαλύτερη ακρίβεια στο i.p να προκύπτει πάντα κύλιση στο τέλος της κρούσης?

Διονύσης Μάργαρης
Διαχειριστής
3 μήνες πριν
Απάντηση σε  Σπύρος Τερλεμές

Σπύρο δεν είναι θέμα ακρίβειας.
Αν δεις το αποτέλεσμα για μ=0,05 η τελική κατάσταση απέχει πολύ από το να είναι κύλιση…
Άλλο πράγμα είναι, αν λύνοντας το πρόβλημα, υποθέτουμε την κύλιση, για να μπορέσουμε να δώσουμε… μια κάποια λύση…

Διονύσης Μάργαρης
Διαχειριστής
3 μήνες πριν
Απάντηση σε  Διονύσης Μάργαρης

Σπύρο δοκίμασα με μ=0,05 και αρχική ταχύτητα 8m/s και με δεκαπλάσια ακρίβεια, από την προηγούμενη δοκιμή (2.000 βήματα/s). Το αποτέλεσμα:
comment image

Νομίζω ότι δεν αφήνει αμφιβολία…

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης
Απάντηση σε  Διονύσης Μάργαρης

Ωραίο αυτό!
Τότε έχουμε ίδια περίπτωση με αυτήν που μπάλα πέφτει σε τοίχο.
Εκεί για μικρούς συντελεστές τριβής, όταν αποκολλάται η μπάλα δεν ισχύει η υ=ω.r.
Από έναν συντελστή όμως και πάνω όταν αποκολλάται θα έχουμε υ=ω.r.
Στο σχόλιο που έκανα με τους υπολογισμούς φαίνονται δύο χρόνοι.
Αν απαιτήσουμε Δt<Δt΄ θα έχουμε την απάντηση για το ποιος πρέπει να είναι ο συντελεστής τριβής ώστε όταν αποκολλαται να ισχύει η υ=ω.r.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Υπολογισμοί:

comment image

Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος

Kαλησπερα Μίλτο. Το προβλημα που θετεις ειναι σχεδον ιδιο με την τελευταια ασκηση απο το αντιστοιχο κεφαλαιο του Serway οπου δινει ενα κυβο που γλυστραει σε ενα λειο τραπεζι και στην ακρη του τραπεζιου συνανταει ενα εμποδιο.Ρωταει την ελαχιστη ταχυτητα ωστε να ανατραπει ο κυβος.Για να λυθει πρεπει να θεωρησεις οτι κατα την κρουση το εμποδιο μετατρεπεται σε αρθρωση.Το ιδιο ισχυει και για το προβλημα που εθεσες εσυ με την σφαιρα και το σκαλοπατι.Αν δεν κανεις την παραδοχη οτι το σημειο της σφαιρας που ακουμπαει στο σκαλοπατι και η γωνια του σκαλοπατιου παραμενουν κολλημενα σε ολη την διαρκεια του φαινομενου,τοτε η ασκηση δεν λυνεται με τιποτα.Θελει απλως μια διατηρηση στροφορμης,απο αμεσως πριν μεχρι αμεσως μετα την κρουση με το σκαλοπατι και μια διατηρηση ενεργειας μετα την κρουση. Εχω γραψει τις εξισωσεις και το αποτελεσμα που βριακω,πιο πανω.
comment image

Τελευταία διόρθωση3 μήνες πριν από Διονύσης Μάργαρης
Διονύσης Μάργαρης
Διαχειριστής
3 μήνες πριν

Καλημέρα Κωνσταντίνε, καλημέρα σε όλους.
Γράφεις Κωνσταντίνε:
Αν δεν κανεις την παραδοχη οτι το σημειο της σφαιρας που ακουμπαει στο σκαλοπατι και η γωνια του σκαλοπατιου παραμενουν κολλημενα σε ολη την διαρκεια του φαινομενου,τοτε η ασκηση δεν λυνεται με τιποτα.”
Και αν το σκαλοπάτι είναι λείο, τι συμβαίνει;
Δεν λύνεται με τίποτα η άσκηση ή παραμένουν κολλημένα;

Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος
Απάντηση σε  Διονύσης Μάργαρης

Καλημερα Διονυση.Η ασκηση στην εκφωνηση δινει το δεδομενο οτι δεν παρατηρειται ολισθηση κατα την κρουση.Αρα δεν μας ενδιαφερει αν το σκαλοπατι ειναι λειο η οχι.Το παιρνουμε σαν να γατζωνει εκει δηλαδη να δουλεψει σαν αρθρωση.Η ασκηση ειναι μια απλη εφαρμογη της αρχης διατηρησης της στροφορμης οπως ακριβως και η ασκηση του Serway..Καταλαβα οτι η ερωτηση του Μιλτου ηταν με αυτες τις συνθηκες πως λυνεται και οχι να κανουμε μια γενικη διερευνηση περι των συνθηκων της κρουσεως πανω στο σκαλοπατι.

Τελευταία διόρθωση3 μήνες πριν από Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος
Σπύρος Τερλεμές
3 μήνες πριν

Ο λόγος που ρώτησα κ. Διονύση είναι γιατί στο χαρτί, αν δεν κάνω λάθος, βγάζω ότι θα αποκατασταθεί η κύλιση για οποιονδήποτε συντελεστή τριβής μ>0. Ίσως μου διαφεύγει κάτι.

Στο σχήμα η γωνία μπήκε ανάποδα εκ παραδρομής.
comment image

Τελευταία διόρθωση3 μήνες πριν από Διονύσης Μάργαρης
Διονύσης Μάργαρης
Διαχειριστής
3 μήνες πριν

Κωνσταντίνε, νομίζω ότι η συζήτηση άνοιξε, στο τι συμβαίνει με την κρούση στο σκαλοπάτι.
Αν πάρουμε ως δεδομένο ότι δεν υπάρχει ολίσθηση, πράγμα που σημαίνει ότι υπάρχει και τριβή, τότε προφανώς το σημείο της κόγχης μετατρέπεται σε στιγμιαίο άξονα περιστροφής και είναι “σαν να έχουμε” άρθρωση.
Σπύρο, νομίζω ότι κάνεις ένα λογικό σφάλμα.
Λες έστω ότι πριν το τέλος της κρούσης έχει αποκατασταθεί κύλιση.
Λύνεις το πρόβλημα και βρίσκεις ότι όταν φτάνει το στερεό πάνω, τότε Τ=0.
Μα, αυτό είναι αναμενόμενο. Αφού υποθέτω ότι κυλίεται, άρα κυλίεται!
Δεν μπορείς από αυτό να εξάγεις κανένα συμπέρασμα.
Ένα στερεό που φτάνει σε οριζόντιο επίπεδο κυλιόμενο, θα συνεχίσει να κυλίεται και δεν θα κάνει την εμφάνισή της η τριβή.

Τελευταία διόρθωση3 μήνες πριν από Διονύσης Μάργαρης
Σπύρος Τερλεμές
3 μήνες πριν
Απάντηση σε  Διονύσης Μάργαρης

κ. Διονύση αρχικά δεν υποθέτω ότι πριν το τέλος έχει αποκατασταθεί κύλιση. Παίρνω ένα τυχαίο διάστημα στο οποίο υποθέτω ότι έχουμε κύλιση. Η υπόθεση γίνεται ώστε να εξαχθεί η συνθήκη κύλισης μέσω της Τ<μΝ. Δηλαδή αν αντικαταστήσω την Ν από την κεντρομόλο (σχέση 1) θα προκύψει η σχέση που θα πρέπει να ικανοποιείται ώστε να έχουμε κύλιση.

Αυτή ακριβώς η σχέση θα μας δώσει συντελεστές τριβές για τους οποίους αν μ<Τ/Ν δεν θα μπορούμε να έχουμε κύλιση. Δηλαδή η υπόθεση δεν σημαίνει ότι συνεπάγεται την ορθότητα της. Είναι σωστή η υπόθεση, και το γεγονός ότι υποθέτω ότι κυλιέται δεν σημαίνει ότι κυλιέται – όπως φαίνεται και στην παρακάτω εικόνα.

Επίσης, άμα ένα στερεό φτάσει κυλιόμενο σε ένα οριζόντιο επίπεδο, θα ισχύει Τ=0, άρα Τ<μΝ, το οποίο φυσικά ισχύει. Άρα δεν υπάρχει κανένα πρόβλημα σε τέτοια περίπτωση.
comment image

Τελευταία διόρθωση3 μήνες πριν από Διονύσης Μάργαρης