by 
Η ομογενής σφαίρα του σχήματος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο δάπεδο και στην πορεία της συναντά ένα εμπόδιο (σκαλοπάτι).
Προσπαθώ να βρω την ελάχιστη ταχύτητα του κέντρου μάζας της σφαίρας ώστε αυτή να υπερπηδήσει το εμπόδιο (θεωρώντας ότι δεν παρατηρείται ολίσθηση κατά την κρούση), αλλά δεν είμαι σίγουρος για κάτι.
Χρειάζεται να αναζητήσουμε κάποια ροπή που θα “νικήσει” τη ροπή του βάρους, ή το γεγονός ότι η σφαίρα έχει στροφορμή (τροχιακή + σπιν) ως προς τη γωνία του εμποδίου αρκεί; Και εάν αρκεί, η (συνολική) στροφορμή αυτή διατηρείται κατά το ανέβασμα;
Φυσικά, αίτιο περιστροφής είναι η γωνιακή ταχύτητα και όχι η ροπή δύναμης, αλλά προβληματίζομαι…
Κάθε απάντηση ή βοήθεια, ευπρόσδεκτη!
Καλημέρα παιδιά.
Μια γενική λύση μαζί με διερεύνηση.
Ελπίζω να είναι σωστή.
Γεια σου Γιάννη. Η Αναλυση που κανεις οταν ο συντελεστης τριβης ειναι μικρος, μου θυμιζει την αναλυση στην αναρτηση του Αρη Ελαστικός κύβος ανακλάται σε μη λείο τοίχο.Ερωτησεις: 1)To Βαρος δεν εχει ωθηση? 2) Μετα την κρουση εχουμε και συνιστωσα ταχυτητας κατα μηκος της ακτινας. Πως θα συνεχισουμε την ασκηση?
ps Μου αρεσει πολυ που δεν εγραψες τις ωθησεις με την μορφη ολοκληρωματων αφου η μονη πληροφορια που μας χρειαζεται ειναι οτι ειναι μεταξυ τους αναλογες και στο τελος απλοποιουνται.
Καλημέρα Γιάννη.
Δεν ξέρω αν υπάρχει κάποιο αριθμητικό λάθος, αλλά η απόδειξη έχει πολύ γερή βάση!
Συγχαρητήρια.
Μια σκέψη.
Παίρνεις σαν “σίγουρο” ότι το στερεό μετά την κρούση, θα έχει ταχύτητα κάθετη στην ακτίνα. Μήπως θα μπορούσε η τελική ταχύτητα να έχει και συνιστώσα στην διεύθυνση της ακτίνας (ανάκλαση);
Το γράφω γιατί στην περίπτωση αυτή, είναι διαφορετική η ώθηση της Ν.
Ευχαριστώ Διονύση.
Φυσικά θα έχει στην πράξη και μια τέτοια ταχύτητα.
Βάλε ελαστικότητα 0,4 ή 0,3 και όχι μηδέν Θα φανεί.
Υπέθεσα συντελεστή κρούσης μηδέν.
Λύνεται και με άλλον συντελεστή κρούσης με λίγο μεγαλύτερη φασαρία.
Γιάννη, δεν είναι μόνο θέμα συντελεστή κρούσης.
Δες, με μια μικρή αλλαγή του εμποδίου, το i.p.
Και όμως ανεβαίνει!!!
Δες Διονύση αυτό που έστειλες:
Πάνω με ακρίβεια 200. Κάτω με 2.000.
Η ταχύτητα είναι κάθετη ακριβώς στην ακτίνα (απολύτως κάθετες οι εστιγμένες).
Είναι πράγματι κάθετες Γιάννη;
Εγώ βγάζω αυτές τις κάθετες:
Διονύση έκανα κόπυ-πέηστ και είπα να στρίψει 90 μοίρες.
Σε δύο διαφορετικές ακρίβειες.
Δεν ξέρω γιατί με ακρίβεια 1.000 που χρησιμοποίησες δεν βγαίνει.
Γιάννη, άλλαξα την ακρίβεια στα 2.000
Επιβεβαιώνεται το δικό σου σχήμα…
Μας κάνει πλάκα το πρόγραμμα.
Διονύση προσπαθώ να καταλάβω πως δουλεύει.
Μέχρι τώρα κατάλαβα ότι κάνει τους υπολογισμούς με προτεραιότητα στα σώματα με μικρότερο νούμερο.
Έτσι βλέπουμε αποκλίσεις που δεν είναι αναμενόμενες.
Όταν όμως επιβεβαιώσει ότι βγήκε με χαρτί και μολύβι, ξέρειες ότι τουλάχιστον δεν έκανες λανθασμένους υπολογισμούς.
κ. Γιάννη καλησπέρα,
Στην λύση σας παίρνετε διατήρηση της στροφορμής ως προς το άκρο, η οποία γενικά δεν ισχύει εφόσον υπάρχει το βάρος. Το να θεωρήσουμε το βάρος αμελητέο για να βρούμε τον οριακό συντελεστή, δεν είναι λάθος όταν μπορούμε να τον βρούμε συμπεριλαμβάνοντας το βάρος?
Δείτε την λύση που έδωσα στα προηγούμενα σχόλια χωρίς κάποια παραδοχή για μικρή ώθηση βάρους κτλ. Βγάζω αναλυτική λύση για τον συντελεστή τριβής που πρέπει να υπάρχει. Που κάνω λάθος?
Αν θέλουμε να βρούμε ταχύτητες, τότε ναι, το να θεωρήσουμε το βάρος αμελητέο είναι πρακτικά χρήσιμο – ωστόσο μπορεί να δοθεί και αναλυτική λύση.
Σπύρο καλημέρα.
Ας ξεκινήσω με το ότι το παράδειγμα επιβεβαιώνεται απόλυτα με ακρίβεια 2.000.
Στη συνέχεια ας πω ότι υπάρχουν 2 Ν. Η μία είναι αυτή του πατώματος που όσο διαρκεί η κρούση εξουδετερώνει το βάρος.
Δεν θεωρώ καθόλου αμελητέο το βάρος.
Θα δω τη λύση.
Θα στείλω επίσης την προσομοίωση σύντομα.
κ. Γιάννη εγώ αναφερόμουν σαν “τέλος κρούσης” όταν η σφαίρα ανέβει το σκαλοπάτι.
Κάποια στιγμή θα ανασηκωθεί από το δάπεδο. Θα πάψει να δρα η Ν του δαπέδου και θα έχουμε το βάρος. Στην λύση σας δεν εμπεριέχεται πουθενά το βάρος και προκύπτουν ταχύτητες ανεξάρτητες του g.
Για μια λογική αύξηση ύψους του κέντρου μάζας κατά R/5, θα είχαμε αύξηση δυναμικής ενέργειας (1/5).m.g.R. Η μάζα φεύγει οπότε δεν μας ενοχλεί. Εμείς δηλαδή θεωρούμε αμελητέα την ποσότητα (1/5).g.R όταν δεν λαμβάνουμε υπόψην το βάρος.
Αν είμαστε στην γη και έχουμε μια σφαίρα ακτίνας R=1m, η διαφορά θα είναι 2J.
Αν είμαστε σε έναν πλανήτη με g=50m/s^2 η διαφορά θα ήταν 10J.
Αυτές δεν είναι μικρές διαφορές. Η προσωπική μου γνώμη είναι ότι δεν μπορούμε να θεωρήσουμε το βάρος αμελητέο όταν θέλουμε να βρούμε τον συντελεστή τριβής απαραίτητο για κύλιση.
Εξ άλλου, υπάρχει απλή λύση για να βρούμε την οριακή τιμή του συντελεστή όπως την έγραψα παραπάνω, εμπεριέχοντας το βάρος. Ίσως κάτι δεν βλέπω.
Κατάλαβα που είναι το πρόβλημα. Εγώ αναφέρομαι στην ταχύτητα μόλις ανέβει η σφαίρα το σκαλοπάτι. Η προσομοίωση αναφέρεται στην ταχύτητα μετά την κρούση αν κατάλαβα καλά.
Είναι τελείως άλλες στιγμές, γι αυτό βγαίνουν διαφορετικά αποτελέσματα.
Σπύρο με απασχολεί το να βρω με ποια ταχύτητα αναχωρεί.
Η ταχύτητα αυτή δεν είναι ίδια για διαφορετικούς συντελεστές τριβής.
Για παράδειγμα αν ο συντελεστης τριβής είναι μηδέν αναχωρεί με μικρότερη ταχύτητα.
Η ταχύτητα με την οποία αναχωρεί καθορίζει το αν θα υπερπηδήσει το εμπόδιο. Πρέπει επομένως να υπολογιστεί η ταχύτητα αυτή για να λυθεί το πρόβλημα.
κ. Γιάννη κατάλαβα, εγώ αναφέρθηκα μόνο στο κομμάτι την κύλισης όταν η σφαίρα θα έχει ανέβει το σκαλοπάτι (το πήρα δεδομένο). Εξέτασα δηλαδή μαθηματικά μόνο αυτό το σημείο.
Η προσομοίωση.
Αργεί διότι παίζει με ακρίβεια 2.000.
Επιβεβαιώνει το γραπτό.
Εμενα η γνωμη μου ειναι οτι αν θελουμε να λυσουμε το αρχικο προβλημα στην γενικοτερη περιπτωση οπου εχουμε συντελεστη κρουσης και συντελεστη τριβης και ολισθηση και ωθησεις κλπ,και θελουμε να βρουμε αναλυτικη εκφραση της ελαχιστης αρχικης ταχυτητας ωστε η σφαιρα να υπερβει το εμποδιο,τοτε χανει η μανα το παιδι και το παιδι την μανα.Εγω δεν μπορω να το λυσω. Αν μπορει καποιος να το λυσει και να βρει (θεωρητικα οχι με ip) την αναλυτικη εκφραση της ελαχιστης αρχικης ταχυτητας ειναι οντως ενδιαφερον προβλημα.
Κωνσταντίνε λύνεται με μικρή τροποποίηση της λύσης που έστειλα.
Απλώς η ώθηση της Ν θα αλλάξει και οι πράξεις θα είναι πιο πολλές.
Kαι δεν καταλαβα Γιάννη πως συνδιαζεις την σχεση (1): u=υ(ημθ+μσυνθ) που βρηκες απο τις ωθησεις, με την αρχη διατηρησης της στροφορμης, αφου η τριβη ολισθησης που δρα για πεπερασμενο χρονικο διαστημα,εχει ροπη και μεταβαλει και την στροφορμη οχι μονο την ορμη.
Κωνσταντίνε μεταβάλλει την ιδιοστροφορμή και όχι την στροφορμή ως προς την γωνία. Η τριβή και η Ν διέρχονται από τη γωνία.
Δεν μπορω να πω οτι καταλαβα. Αφου την ιδιοστροφορμη την συμπεριλαμβανεις στην αρχη διατηρησης της στροφορμης που εχεις γραψει.Την ιδια εξισωση εχω γραψει και εγω σε προηγουμενο σχολιο μου
( mυ(R-h)+Iω=(Ι+mR^2)ω΄). Εδω ω΄ειναι το δικο σου ω.Αν λαβεις υποψιν την ροπη της τριβης η στροφορμη δεν διατηρειται οποτε η εξισωση αυτη δεν ισχυει. Η τριβη εχει και στροφικη ωθηση .Τελος παντων εχω καποιες αποριες.Μπορει να κανω και λαθος.
Κωνσταντίνε μια προσομοίωση:
Διατήρηση στροφορμής.
Αφαίρεσα βαρύτητα, εντούτοις στην αρχή υ=ω.R.
Με μηδενικό μ διατηρούνται και η τροχιακή στροφορμή και η ιδιοστροφορμή.
Όταν βάζεις κάποιο μ τότε αλλάζουν τροχιακή στροφορμή και ιδιοστροφορμή αλλά όχι το άθροισμά τους.
Για όσους δεν έχουν το i.p. :
Μπορώ να βάλω και βαρύτητα, όμως θα απαιτούσε δυσκολότερη ανάγνωση.
Η τροχιακή στροφορμή αναφέρεται στην μύτη του εμποδίου.
Στην περίπτωση αυτήν η Ν και η Τ διέρχονται από τη μύτη και έτσι διατηρείται η στροφορμή ως προς τη μύτη.
Η τριβή έχει ροπή ως προς το κέντρο μάζας, έτσι μεταβάλλει την ιδιοστροφορμή. Προκαλώντας όμως και μεταβολή της ταχύτητας, μεταβάλλει και την τροχιακή στροφορμή.
Η ολική ως προς τη μύτη στροφορμή διατηρείται.
Ομολογώ ότι δεν περίμενα πως η ερώτησή μου θα “σήκωνε τόση κουβέντα”! Αν και το θέμα μπορεί να φαντάζει ακόμη ανοικτό, προσωπικά καλύφθηκα και σας ευχαριστώ ακόμη μία φορά.
“Επειδή το να μοιράζεσαι πράγματα, είναι καλό για όλους…”
A cylinder of mass m and radius R is rolling without slipping on a horizontal surface with angular velocity ω0. The velocity of center of mass cylinder is ω0R. The cylinder comes across a step of height R/4. Then the angular velocity of cylinder just after the collision is (Assume cylinder remains in contact and no slipping occurs on the edge of the step) is : (Α) 5ω0/6 (B) ω0 (C) 2ω0 (D) 6ω0/5
American Universities Qualifying Questions (Buffalo NY)
Χρησιμοποιώ τον τύπο που έγραψα:
Η επιβεβαίωση από προσομοίωση.
Nαι συμφωνω εδω εχουμε γωνια αρθρωση και εγω αυτο βρισκω,
Όμως δεν το αντιμετώπισα σαν άρθρωση.
Το αντιμετώπισα σαν ειδική περίπτωση της γενικής λύσης, για μεγάλο συντελεστή τριβής.
Αφου σαν αρθρωση το αντιμετωπιζεις.Μονο διατηρηση στροφορμης γραφεις απο την οποια προκυπτει αυτο το αποτελεσμα, Αν συνεχισεις με διατηρηση ενεργειας προκυπτει αυτο που εχω βρει για την ελαχιστη ταχυτητα.
Δεν αντιμετωπίζω σαν άρθρωση την περίπτωση μικρού συντελεστή τριβής. Εκεί δεν επικαλούμαι ότι u=ω.R.
Και δεν ισχύει η σχέση.
Όμως πάλι η στροφορμή ως προς τη μύτη διατηρείται.
Φαίνεται και στην προσομοίωση για κάθε συντελεστή τριβής.
Nαι εννοω στην παραγραφο “Αν ο συντελεστης τριβης ειναι μεγαλος” απλως χρησιμοποιεις αυτουσια την εξισωση της προηγουμενης παραγραφου που ισχυει απολυτως αν ειναι αρθρωση.Ετσι βρισκεις και το αποτελεσμα 5ω0/6 που ισχυει για αρθρωση.
Γιάννη Μια ερωτηση: Δυο ομοιες σφαιρες κινουνται σε λειο οριζοντιο επιπεδο με ιδια ταχυτητα κεντρου μαζας πριν συναντησουν το σκαλοπατι.Η μια εχει και ιδιοστροφορμη δηλ.ας πουμε κυλιεται ενω η αλλη κανει μονο μεταφορικη κινηση σαν να ειναι τουβλο.Καποια στιγμη συναντανε το σκαλοπατι.Ας υποθεσουμε μεγαλο συντελεστη τριβης η και μικρο συντελεστη τριβης.Η γωνιακη ταχυτητα μετα την κρουση θα ειναι ιδια και για τις δυο?
Κωνσταντίνε βγάζω τον λόγο των δύο γωνιακών ταχυτήτων ίσο με ημθ/(λ+ημθ).
Μεγαλύτερη αυτή που έχει ιδιοστροφορμή.