Ουκ αν λάβοις παρά του μη έχοντος

Πριν κάποια χρόνια διάβασα σε ανάρτηση του Ανδρέα Κασσέτα πως είναι δυνατόν ένα σώμα να προσφέρει σε ένα άλλο περισσότερη ορμή από αυτή που έχει….π.χ σε μετωπική κρούση κινούμενου με ακίνητο, όταν μετά την κρούση το αρχικά κινούμενο αλλάζει φορά κίνησης.
Εντυπωσιάστηκα, αφού μέχρι τότε δεν το είχα συνειδητοποιήσει ….

Από τότε λοιπόν, έλεγα στους μαθητές πως αυτό οφείλεται στο διανυσματικό χαρακτήρα της ορμής…και κάτι ανάλογο δεν μπορεί να συμβεί με την ενέργεια.
Σήμερα ξαφνικά συνειδητοποίησα πως με την ενέργεια συμβαίνει ένα άλλο «παράδοξο»…

Μπορεί ένα σύστημα δύο σωμάτων να έχει μηδενική ενέργεια αρχικά, αλλά στην πορεία τα σώματα που αποτελούν το σύστημα να «κερδίζουν» ενέργεια και να εμφανίζουν κινητική που διαρκώς αυξάνει…..ενώ η ολική ενέργεια του συστήματος διατηρείται μηδέν…..

Αυτό ακριβώς συμβαίνει στο παράδειγμα 5.13 που αναφέρει το σχολικό…
Δύο ακίνητες μάζες σε άπειρη αρχικά απόσταση…..ολική ενέργεια συστήματος μηδέν.
Αν παραβλέψουμε το αδύνατο της έναρξης κίνησης αφού σε άπειρη απόσταση δεν αλληλεπιδρούν, στη συνέχεια επιταχύνονται έχοντας κάθε στιγμή αντίθετες ορμές και κινητική ενέργεια που διαρκώς αυξάνει….σε βάρος της δυναμικής του συστήματος που ξεκινώντας από μηδέν μειώνεται συνεχώς σε αρνητικές τιμές….

Φοβάμαι πως δεν είναι και το καλύτερο διδακτικά παράδειγμα, αφού υπάρχει ο κίνδυνος να θεωρηθεί πως ενέργεια παράγεται από το μηδέν, αλλά είναι σε αυτά που οφείλουμε να παρουσιάσουμε στους μαθητές.
Κάποια γνώμη;

(Visited 665 times, 1 visits today)
Subscribe
Ειδοποίηση για
21 Σχόλια
Inline Feedbacks
Όλα τα σχόλια
Πρόδρομος Κορκίζογλου

Καλημέρα Θοδωρή. Πολύ καλές οι παρατηρήσεις σου!
Ως προς την ορμή δεν γεννάται θέμα, το κάνω από πολύ παλιά.
Ως προς την ενέργεια νομίζω ότι όταν λέμε ότι δύο σώματα που μπορούν να αλληλεπιδρούν με δυνάμεις βαρυτικές ή ηλεκτροστατικές, και βρίσκονται σε “άπειρη” απόσταση, θεωρούμε ότι η δυναμική ενέργειά τους τείνει στο μηδέν, είναι πολύ μικρή .
Φυσικά πρέπει να είναι πολύ μικρή και η δύναμη που έλκονται, που τείνει στο μηδέν, αλλά μπορεί να κινήσει τα σώματα και σε ..άπειρο χρόνο, δηλαδή σε πολύ μεγάλο χρονικό διάστημα, εφόσον δεν υπάρχει άλλη δύναμη εκτός της αλληλεπίδρασης τους.
Είναι ένα θεωρητικό σχήμα που
το δεχόμαστε, κι ας έχει μέσα του αυτή την αντίφαση.
Και είναι “άπειρη αρχικά απόσταση” κάτι σχετικό.
Όταν ένα ηλεκτρόνιο βρίσκεται σε απόσταση 0,00001m=10^(-5) m από ένα πρωτόνιο, μπορεί να θεωρηθεί ως “άπειρη απόσταση”, αφού η δύναμη μεταξύ τους σε σχέση με τη δύναμη όταν βρίσκονται σε απόσταση ατομικής κλίμακας 10^(-10)m , είναι 10^(10) φορές μικρότερη, δηλ. 10 δισεκατομμύρια φορές μικρότερη.
Πρακτικά μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η δυναμική τους ενέργεια είναι μηδενική, αφού θα είναι 100.000 φορές μικρότερη.
Για μένα το “άπειρη απόσταση” είναι κάτι σχετικό, δεν είναι μαθηματική έννοια όπου στο άπειρο δίνουμε χαρακτήρα οσοδήποτε μεγάλου, δηλ. μια αόριστη έννοια.
Στους νόμους της φυσικής όπου εφαρμόζεται η έννοια του απείρου, νομίζω ότι στο μυαλό μας αλλά και υπολογιστικά, γίνεται μια σύγκριση με κάτι που οι φυσικές ποσότητες μπορούν να πάρουν τιμές όπου παρατηρούνται και μπορούν να μετρηθούν .
Καλή Κυριακή.

Ανδρέας Βαλαδάκης
4 μήνες πριν

Θοδωρή καλημέρα!

Στην περίπτωση που αναφέρεις, για τις μάζες και τις ταχύτητες των σωμάτων, ισχύει συνεχώς η εξίσωση: 12 m1υ1^2 + 12 m2υ2^2 – G m1m2 / r^2 =0.

Βλέπεις κάποιο παράδοξο;

Τελευταία διόρθωση4 μήνες πριν από Ανδρέας Βαλαδάκης
Ανδρέας Βαλαδάκης
4 μήνες πριν
Απάντηση σε  Ανδρέας Βαλαδάκης

Επειδή όλες οι απόψεις για τη Φύση (ανα)κρίνονται στα εργαστήρια, εκεί τα λόγια δε μετράνε. Μετράνε μόνο οι μετρήσεις και κρίνονται μόνο τα αριθμητικά αποτελέσματα!

Τελευταία διόρθωση4 μήνες πριν από Ανδρέας Βαλαδάκης
Ανδρέας Βαλαδάκης
4 μήνες πριν
Απάντηση σε  Ανδρέας Βαλαδάκης

Επειδή νομίζω ότι η πρώτη απάντησή μου πολλούς συναδέλφους δεν τους ικανοποιεί, ιδού μια άλλη απάντηση:

Όταν δεν έχεις καθόλου χρήματα και δανειστείς 100 ευρώ, πόσα χρήματα έχεις; Μηδέν ευρώ διότι χρωστάς τα 100 ευρώ που δανείστηκες. Αν δανειστείς επιπλέον 200 ευρώ, πόσα χρήματα έχεις; Πάλι μηδέν ευρώ. Τα χρήματα που δανείζεσαι είναι η κινητική ενέργεια και τα χρήματα που χρωστάς είναι δυναμική.

Τα παράδοξα αρχίζουν όταν προσπαθούμε να ντύσουμε με λόγια μαθηματικές εκφράσεις. Χρήσιμο παιδαγωγικά αλλά μην ξεχνάμε: “Οι λέξεις είναι εντελώς ασαφές υποκατάστατο των μαθηματικών εκφράσεων.” Ισαάκ Ασίμωφ, μέγας εκλαϊκευτής της Φυσικής!

Ανδρέας Βαλαδάκης
4 μήνες πριν
Απάντηση σε  Ανδρέας Βαλαδάκης

Νομίζω επίσης ότι, αντί να ισχυριστούμε πως “ένα σώμα μπορεί να προσφέρει σε ένα άλλο περισσότερη ορμή από αυτή που έχει” πρέπει να συμπεράνουμε ότι ο ισχυρισμός “ένα σώμα μπορεί να προσφέρει ορμή” δεν είναι λανθασμένος. Και όχι να αλλάξουμε τον νόημα της λέξης “προσφέρω”, επικαλούμενοι το διανυσματικό χαρακτήρα της ορμής.

Αυτό είναι ένα επιπλέον παράδειγμα για το ότι “Οι λέξεις είναι εντελώς ασαφές υποκατάστατο των μαθηματικών εκφράσεων.”, διότι: “Η γλώσσα κόκαλα δεν έχει και κόκαλα τσακίζει.”! Ή όπως μου είχε πει ένας μαθητής: “Πρέπει να προσέχουμε τα λόγια μας για να μην μαζεύουμε τα δόντια μας!”

Τελευταία διόρθωση4 μήνες πριν από Ανδρέας Βαλαδάκης
Διονύσης Μάργαρης
Διαχειριστής
4 μήνες πριν
Απάντηση σε  Ανδρέας Βαλαδάκης

Καλημέρα Ανδρέα και καλή Κυριακή.
Ποια έκφραση θα διάλεγες εσύ για να αποδόσεις το νόημα της φράσης:
“ένα σώμα μπορεί να προσφέρει ορμή.” 

Ανδρέας Βαλαδάκης
4 μήνες πριν
Απάντηση σε  Διονύσης Μάργαρης

Διονύση καλημέρα.

Δεν θα διατύπωνα καθόλου τον ισχυρισμό: “ένα σώμα μπορεί να προσφέρει ορμή”, διότι θα με οδηγούσε στο συμπέρασμα ότι, όπως στην περίπτωση που αναφέρει ο Θοδωρής, “ένα σώμα μπορεί να προσφέρει σε ένα άλλο περισσότερη ορμή από αυτή που έχει”. Και αυτό βεβαίως συγκρούεται με τη κοινή αντίληψη ότι “ουκ αν λάβεις από του μη έχοντος”. Αλήθεια, χρειαζόμαστε κάτι περισσότερο από την αρχή διατήρησης της ορμής;

Θυμάμε που κάποτε έγραψες ότι αντιπαθείς τις ερωτήσεις “Σωστό-Λάθος”. Νομίζω ότι έχεις δίκιο, διότι “Οι λέξεις είναι εντελώς ασαφές υποκατάστατο των μαθηματικών εκφράσεων.” (Αφαίρεσα το εντελώς για να μην είμαστε υπερβολικοί!)

Διονύσης Μάργαρης
Διαχειριστής
4 μήνες πριν
Απάντηση σε  Ανδρέας Βαλαδάκης

Ανδρέα δεν διαφωνώ για “την μαθηματική γλώσσα της φύσης” αλλά υπάρχει ένα αντικειμενικό πρόβλημα.
Δεν μπορεί η γλώσσα να αποκλειστεί από τον τρόπο που μαθαίνει ο άνθρωπος και είναι ο βασικός τρόπος, που επικοινωνεί ένας μαθητής και με τη γλώσσα πρέπει και να εκφραστεί.
Να το τραβήξω λίγο ακόμη;
Την μαθηματική γλώσσα, πολύ γρήγορα ακόμη και να μάθει να την χρησιμοποιεί ένας μαθητής, πολύ γρήγορα, τελειώνοντας τα χρόνια σπουδών του, θα την ξεχάσει.
Την γλώσσα όμως θα συνεχίσει να την χρησιμοποιεί και θα πρέπει να έχει κατακτήσει ένα επίπεδο, που θα του επιτρέπει να εκφράζεται σε ανώτερο επίπεδο, πέρα από το επίπεδο συνεννόησης, όπως μαθαίνει μια ξένη γλώσσα συνήθως…
Άρα;
άρα ένας καθηγητής Φ.Ε. διδάσκοντας στην τάξη του, έχει και αυτό τον (δευτερεύοντα;) ρόλο. Να εξασκήσει τους μαθητές του, όχι μόνο να μπορούν να περιγράφουν φαινόμενα, αλλά και να μπορούν να κάνουν ανώτερους συλλογισμούς, ακόμη και αποδεικτικούς, χρησιμοποιώντας την ελληνική γλώσσα…

Τελευταία διόρθωση4 μήνες πριν από Διονύσης Μάργαρης
Ανδρέας Βαλαδάκης
4 μήνες πριν
Απάντηση σε  Διονύσης Μάργαρης

Διονύση συμφωνώ απολύτως μαζί σου. Αρκεί να μην το παρακάνουμε.

Για παράδειγμα βλέπουμε ότι η έκφραση “ένα σώμα μπορεί να προσφέρει ορμή” οδηγεί στο συμπέρασμα ότι: “ένα σώμα μπορεί να προσφέρει σε ένα άλλο περισσότερη ορμή από αυτή που έχει” και αυτό συγκρούεται με την κοινή αντίληψη ότι “ουκ αν λάβεις παρά του μη έχοντος”. Αυτή η έκφραση λοιπόν νομίζω ότι δεν συνεισφέρει στην εξάσκηση των μαθητών “να μπορούν να κάνουν ανώτερους συλλογισμούς, ακόμη και αποδεικτικούς, χρησιμοποιώντας την ελληνική γλώσσα”.
Πρέπει να εξετάζουμε κάθε περίπτωση ξεχωριστά για να μην πέφτουμε σε αντιφάσεις ούτε να καταλήγουμε σε παράδοξα συμπεράσματα.
Με τον Ανδρέα είχαμε συχνά αυτή τη συζήτηση αλλά πώς να πείσεις τον “Παπαδιαμάντη” να μιλήσει άλλη γλώσσα από τη δικιά του! Και τη μιλούσε υπέροχα!

Διονύσης Μάργαρης
Διαχειριστής
4 μήνες πριν
Απάντηση σε  Ανδρέας Βαλαδάκης

Δεν λέω Ανδρέα ότι δεν υπάρχουν γλωσσικές δυσκολίες ή και αντιφάσεις ακόμη και δυσκολίες που βάζει η ίδια η γλώσσα μας (για παράδειγμα τι καταλαβαίνει κάποιος όταν ακούει ότι ένα σώμα επιταχύνεται…)
Απλά το παράδειγμα της ορμής είναι μια ευκαιρία να επιμείνουμε στη διαφορετική συμπεριφορά της (σε σχέση με την ενέργεια), η οποία οφείλεται στη διανυσματικότητά της. Μόνο εδώ;
Αν διδάσκουμε για μεταβολή της ταχύτητας σε ομαλή κυκλική κίνηση;
Δεν ακούγεται παράδοξο και δεν πρέπει να επιμείνουμε στην διαφορετικότητα των διανυσματικών μεγεθών;

Τελευταία διόρθωση4 μήνες πριν από Διονύσης Μάργαρης
Ανδρέας Βαλαδάκης
4 μήνες πριν
Απάντηση σε  Διονύσης Μάργαρης

Νομίζω ότι πού, πότε και πώς θα επιλέξουμε να μιλήσουμε για τη διανυσματικότητα της ορμής, της ταχύτητας κλπ εξαρτάται από το πού το πώς και σε ποιους απευθυνόμαστε.
Έθεσες ωστόσο τα ζητήματα με σαφήνεια. Ας τα αφήσουμε λοιπόν να “κάνουν καριέρα μέσα μας”, όπως έλεγε ο Ανδρέας.

Διονύσης Μάργαρης
Διαχειριστής
4 μήνες πριν

Καλημέρα Θοδωρή.
Και όμως λαμβάνεις από κάποιον που έχει!
Έχουμε δύο ζητήματα, στο πρόβλημα που θέτεις.
Το ένα έχει να κάνει με το άπειρο. Νομίζω ότι το κάλυψε ο Πρόδρομος. Μια ανάλογη ανάλυση πρέπει να γίνεται σε κάθε ευκαιρία στους μαθητές, γιατί αν εγκλωβιστούν στη “κατά λέξη” ερμηνεία του όρου, θα έχουν πρόβλημα. Όσον αφορά το πώς θα ξεκινήσουν τα σώματα, συνήθιζα να αναφέρω ότι ασκούμε μια ελάχιστη δύναμη στο ένα σώμα για ελάχιστο χρονικό διάστημα, (δίνοντάς του απειροελάχιστη ενέργεια), οπότε ξεκινά και τότε απλά περιμένουμε…
Όσον αφορά το ουσιαστικό πρόβλημα, από πού προέκυψε η ενέργεια, θα πρότεινα το εξής παράδειγμα, που επίσης χρησιμοποιούσα στο παρελθόν.
Βρισκόμαστε στο έδαφος, πάνω από ένα βαθύ πηγάδι και κρατάμε στο χέρι μας μια πέτρα.
Πόση ενέργεια έχει;
Την αφήνουμε να πέσει. Πού βρήκε την ενέργεια;
Οπότε δίνεται η δυνατότητα να τονίσουμε ότι ορίζουμε αυθαίρετα, τη θέση όπου U=0.
Αν μετά από όλα αυτά, συνεχίσουμε να έχουμε πρόβλημα, τότε τους δίνουμε μια άσκηση, όπως αυτή:

Δυναμική ενέργεια στο βαρυτικό πεδίο. Θετική ή αρνητική;

Ανδρέας Βαλαδάκης
4 μήνες πριν

Όμως τα σωματιδία επιταχυνόμενα κεντρικά, κάποια στιγμή θα συγκρουστούν…..Αν η κρούση είναι πλαστική θα ακινητοποιηθούν…..και αναπόφευκτα η “δανεική”
κινητική ενέργεια θα φύγει από το σύστημα….και θα περάσει στο περιβάλλον…
Ποια είναι αυτή η ενέργεια που θα θερμάνει τον αέρα;;;;;;;

Με παγίδευσες! Ήθελες μια παρομοίωση για να περιγράψεις λεκτικά τις εξισώσεις και σου πρότεινα τη “δανεική ενέργεια”. Και τώρα ρωτάς: Πώς μια δανεική ενέργεια θα θερμάνει τον αέρα;

Απάντηση:

Όταν χρησιμοποιούμε ένα σχήμα λόγου, όπως είναι η παρομοίωση, η μεταφορά ή η αναλογία, δεν πρέπει να ταυτίζουμε τις έννοιες που συγκρίνουμε μεταξύ τους. Π.χ. τραγουδάει ο Πουλόπουλος:

Απόψε κλαίει ο ουρανός
για σένα και για μένα.

Το ακούει ο μικρός και ρωτάει: Μπαμπά ο ουρανός έχει μάτια;
Κόκαλο ο μπαμπάς!

Είναι όμως αργά και πρέπει να πάω για ύπνο. Τα υπόλοιπα από κοντά!

Τελευταία διόρθωση4 μήνες πριν από Ανδρέας Βαλαδάκης
Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Καλημέρα παιδιά.
Έχουμε δει και αλλού το πρόβλημα που αναφέρεται ο Θοδωρής:

comment image

Σφαίρα αφήνεται να πέσει από την κορυφή ημισφαιρίου. Βρείτε……
Για να πέσει η σφαίρα από τη θέση ασταθούς ισορροπίας πρέπει ή να εκτραπεί κατ’ ελάχιστον, ή να της ασκηθεί αμελητέα ώθηση.
Αν θεωρήσουμε μηδενική την δυναμική ενέργεια στην εστιγμένη γραμμή, τότε με αμελητέα την ώθηση θεωρούμε ότι έχει συνεχώς μηδενικό μηχανική ενέργεια.
Έτσι βρίσκουμε την ταχύτητά της.
Κάτι ανάλογο ισχύει και με τις ελκόμενες μάζες. Ή αμελητέα ταχύτητα ώστε να πλησιάσει ή δυναμική ενέργεια όχι μηδενική αλλά αρνητική, κοντά στο μηδέν.

Βαγγέλης Κουντούρης

καλημέρα σε όλους
(δεν είδα τις τοποθετήσεις)
το παράδειγμα 5.13 που γράφει ο Θοδωρής υπήρξε θέμα Πανελληνίων εξετάσεων, δεν θυμάμαι ακριβώς, πιθανόν στα μέσα της δεκαετίας του 80, αλλά με παραλλαγή “σωτηρίας”, χωρίς τον σκόπελο του απείρου δηλαδή
εκεί δινόταν ότι τα σώματα M και m αφήνονταν αρχικά σε απόσταση R και ζητούντο διάφορα, όταν είχαν πλησιάσει σε απόσταση r, δεν θυμάμαι τα σύμβολα
αναστέναξε η Ελλάς, αποτυχία άνω του 95%!
εύκολο, σχετικά, φάνηκε το θέμα: ολική ορμή μηδέν στην αρχή και μετά, αλλά και
δυναμική ενέργεια του Μ και δυναμική ενέργεια του m στην αρχή ίσον ολική κινητική ενέργεια συν δυναμική ενέργεια του Μ και δυναμική ενέργεια του m μετά
λαθάρα!
αλλά πουθενά, σε κανένα βιβλίο, που εγώ, τουλάχιστον, είχα διαβάσει, δεν αναφερόταν ότι η δυναμική ενέργεια βαρύτητας ήταν του συστήματος των δύο σωμάτων και όχι και του ενός και του άλλου, δηλαδή διπλάσια της πραγματικής
(είχα μια “φλασιά”, διότι τότε δεν προβλεπόταν, αλλά την είχα λύσει δυο φορές σε μαθητή μου σε ιδιαίτερο, κάτι με “έτρωγε”, σήμερα επιτυχημένος οδοντίατρος είναι…)
μια προσέγγιση, Θοδωρή
και η ολική ενέργεια και η ολική ορμή του συστήματος που μελετάς είναι μηδέν, στρογγυλό μηδέν “εκ γενετής” και ες αεί, διότι η ολική κινητική ενέργεια των σωμάτων και η ολική τους δυναμική είναι ίσες μεν, αλλά με διαφορετική ποιότητα δε, συμβολικά να δεχθώ ότι η δεύτερη είναι “-”, έτσι κάπως Μαθηματικοποιημένα, νερό στο κρασί μου βάζω, εγώ ο αρνητής του “-”
ούτε ορμή γεννιέται ούτε ενέργεια γεννιέται και δυστυχώς και ευτυχώς
απλά το μηδέν κάποιες φορές μας μπερδεύει πολύ, διότι μπορεί να κάνει άγαρμπα αστεία, να συναποτελείται π. χ. από δύο ίσες, αλλά διαφορετικής ποιότητας, ποσότητες, και να επιμένει να είναι μηδέν, όπως π.χ. το ολικό φορτίο του Σύμπαντος…
το μηδέν, ποιος το περίμενε από ένα απλό μηδέν;

Βασίλειος Μπάφας
4 μήνες πριν

Καλησπέρα σε όλους.
Θοδωρή πολύ καλή η παρατήρησή σου. Ενώ ένα ένα τα είχα στο μυαλό μου όλα αυτά, δεν τα είχα συνδυάσει. Αμέσως μου ήρθε κι εμένα στο μυαλό η έννοια του δανείου, γιατί παραγωγή ενέργειας από το μηδέν, όπως γνωρίζουμε δεν ευσταθεί. Ο Ανδρέας με πρόλαβε, καλησπέρα Ανδρέα, συμφωνώ μαζί του για τα ευρώ και το χρέος που δημιουργείται.
Είναι και μια ωραία ευκαιρία, αφού η δυναμική ενέργεια πρέπει να είναι αρνητική για να είναι μηδέν η ολική (βλέπε χρέος) να τονίσουμε ότι το mgh είναι μεταβολή δυναμικής ενέργειας και όχι η ίδια η δυναμική ενέργεια.
Να είσαι καλά!

Χριστοφιλόπουλος Αθανάσιος

Καλησπέρα σε όλους τους συναδέλφους,
Θοδωρή καλησπέρα.

Σχετικά με τα ερωτήματα που έχεις θέσει, στο πρώτο έχει απαντήσει ο Πρόδρομος διεξοδικά.
Στο δε δεύτερο, οι συνάδελφοι: Ανδρέας, Διονύσης, Βαγγέλης, Γιάννης και Βασίλης έχουν δώσει την απάντηση. Δηλαδή, για να ορίσουμε την δυναμική ενέργεια συστήματος επιλέγουμε αυθαίρετα μια κατάσταση μηδενικής δυναμικής ενέργειας. Και τα υπόλοιπα είναι ισολογισμοί.

Θα ήθελα να αναφέρω κάτι ακόμη. Οι ηλεκτροστατικές δυνάμεις είναι ελκτικές ή απωστικές. Ένας τρόπος για να γίνεται αυτό φανερό είναι μέσω της δυναμικής ενέργειας του συστήματος.
Αν η δύναμη μεταξύ δύο φορτίων είναι ελκτική τότε η δυναμική ενέργεια είναι αρνητική (χρειάζεται να προσφέρουμε ενέργεια στο σύστημα για να το αποσυνθέσουμε). Ενώ, αν η δύναμη είναι απωστική τότε η δυναμική ενέργεια είναι θετική. Παλαιότερα, Γ’ Λυκείου Φυσική Γενικής Παιδείας, διδάσκαμε το άτομο του Υδρογόνου κατά Bohr. Η ενέργεια της θεμελιώδους κατάστασης (-13,6 eV) υποδήλωνε τη σταθερότητα του ατόμου, λόγω ελκτικής δύναμης. Μόνο με ενέργεια μεγαλύτερη των 13,6 eV (ενέργεια ιονισμού) μπορεί να χωριστεί ο πυρήνας από το ηλεκτρόνιο.
Ανάλογη είναι και η κατάσταση στις βαρυτικές δυνάμεις. Ουράνιο σώμα πλησιάζει πλανήτη, τι ταχύτητα έχει; Αν η ενέργεια του συστήματος (κινητική +δυναμική) είναι αρνητική, το σώμα θα μείνει για πάντα δέσμιο και θα περιφέρεται γύρω από τον πλανήτη.
Τελικά, η χρήση θετικής και αρνητικής ενέργειας έχει φυσική σημασία.