Όταν ένα σώμα επιπλέει, το βάρος δεν είναι ίσο με τη άνωση.

Κυλινδρικό σώμα μάζας m =1kg επιπλέει κατακόρυφα σε νερό. Το εμβαδόν της βάσης του κυλίνδρου είναι S =100 cm^2 και το σώμα είναι βυθισμένο κατά h =10 cm. Πόσο είναι το βάρος του σώματος και πόση είναι η άνωση;

Απάντηση:

Το βάρος του σώματος είναι: w = mg, δηλαδή w = 10 N

Για τη άνωση γνωρίζουμε ότι: “Τα υγρά ασκούν δύναμη σε κάθε σώμα που βυθίζεται μέσα σ’ αυτά. Η δύναμη αυτή ονομάζεται άνωση.” (Σχολικό βιβλίο Β’ Γυμνασίου). Έχουμε λοιπόν:

Στη βάση του κυλίνδρου υπάρχει πίεση: P = Pατμ + ρ g h, δηλαδή: P = 10^5 + (10^3) (10) (0,1) = 101000 Pa.  Άρα το νερό ασκεί δύναμη στο σώμα: Α = Ρ S δηλαδή Α =101000 1/100 = 1010 N. Με βάση αυτό που αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο της Β’  Γυμνασίο, αυτή είναι η άνωση.

Συμπέρασμα: Όταν ένα σώμα επιπλέει, η άνωση δεν είναι ίση με το βάρος του σώματος..

(Visited 1.252 times, 3 visits today)
Subscribe
Ειδοποίηση για
49 Σχόλια
Inline Feedbacks
Όλα τα σχόλια
Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Καλημέρα Ανδρέα.
Ποιον ορισμό θα έδινες για την άνωση;

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης
Απάντηση σε  Ανδρέας Βαλαδάκης

Ανδρέα βλέπω ένα πρόβλημα:
Όπως και αν ονομαστεί η δύναμη από το νερό είναι ίση με το βάρος του εκτοπιζομενου νερού όσο είναι πλήρως βυθισμένο.
Μόλις όμως αναδύεται έστω κατά dy η δύναμη από το νερό γίνεται τεράστια.
Αυτή η “ασυνέχεια” αν και λογική εννοιολογικά δεν βολεύει τα καθημερινά μας.
-Η βάρκα μαζί με μένα ζυγίζει 400 κιλά. Άρα εκτοπίζει 400 περίπου λίτρα νερό.

Αντί:

-Η συνισταμένη της δύναμης του νερού και της δύναμης από την ατμόσφαιρα είναι αντίθετη του βάρους ήτοι 400 κιλά. Επειδή το βάρος του εκτοπιζόμενου αέρα είναι ασήμαντο, το εκτοπιζόμενο νερό έχει βάρος περίπου 400 κιλά, οπότε όγκο κάπου 400 λίτρα.

Η δεύτερη φράση εκτός από μακροσκελής έχει μια ακροβασία. Η δύναμη που δέχεται η βάρκα από την ατμόσφαιρα είναι πολύ μεγαλύτερη από το βάρος του εκτοπιζόμενου αέρα, οπότε πάλι περί ισολογισμού πρόκειται.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης
Απάντηση σε  Ανδρέας Βαλαδάκης

Εννοούσα Ανδρέα τις δύο ανώσεις.
Καταλαβαίνω ότι έχουμε μία άνωση και μία κάτωση από τον αέρα, όμως λογιστικά βολεύει να πούμε ότι το βάρος του σώματος είναι ίσο με το βάρος του νερού που εκτοπίζει συν το βάρος του αέρα που εκτοπίζει.

Με απλά λόγια σε ρωτούν πόσο νερό εκτοπίζει ένα τεράστιο μπαλόνι με αέρα που πλέει στο νερό. Γνωστά βάρη, όγκος και σχήμα.
Τι θα κάνουμε; Θα μιλάμε για κατώσεις και δυνάμεις από πιέσεις, ολοκληρώματα και θεώρημα Γκάους;
Δεν βολεύει να αφήσουμε τον Φυσικό στη γωνία και να σκεφτούμε απλά;

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης
Απάντηση σε  Ανδρέας Βαλαδάκης

Τα είδα Ανδρέα.
Έγραψα και στον Χρήστο.
Θα στείλω και το πρόβλημα που του υποσχέθηκα.

Χαράλαμπος Κασωτάκης
Απάντηση σε  Ανδρέας Βαλαδάκης

Στο συγκεκριμένο παράδειγμα επειδή το σώμα είναι σχετικά ελαφρύ δεν μπορεί να αγνοηθεί η άνωση του άερα (στην πραγματικότητα πρόκειται για αρνητική άνωση ή κάτωση). Δηλαδή έχουμε δύο ανώσεις μια από το υγρό και μιά από το αέριο , η συνισταμένη των οποίων είναι ίση με το βάρος το σώματος. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα δηλαδή αγνοήσαμε την άνωση που ανεβάζει τα μπαλόνια που βεβαίως είναι άνωση και αυτή. Μήπως θα πρεπε να πούμε για.. συνισταμένη άνωση;

Χαράλαμπος Κασωτάκης
Απάντηση σε  Ανδρέας Βαλαδάκης

Όχι. Απλά να τονιστούν στα παιδιά ότι α) Η άνωση μπορεί να είναι προς τα κάτω(τα αγγλικά βιβλία χρησιμποοιούν τον όρο αρνητική άνωση). Στα ελληνικά έχουμε πρόβλημα με τη λέξη άνωση που σημαίνει γραμματικά “κάτι προς τα πάνω”. Θα μπορούσαμε να τους πουμε ότι μπορεί αν είναι και κάτωση (προς τα κάτω). Αν βυθίσουμε ενα κύλινδρο που να προεξέχει από το κάτω μέρος ενός δοχείου με υγρό (εννοείται ότι η επαφή του κυλίνδρου με το κάτω μέρος του δοχείου δοχείο θα είναι υδατοστεγής) ενώ το πάνω μέρος του κυλίδρου είναι βυθισμένο στο υγρό η άνωση παέι προς τα κάτω.
β) Άνωση έχουν και τα αέρια όχι μόνο τα υγρά.

Τελευταία διόρθωση4 μήνες πριν από Χαράλαμπος Κασωτάκης
Διονύσης Μάργαρης
Διαχειριστής
4 μήνες πριν

Καλημέρα Ανδρέα.
Τα δεδομένα αυτά είναι από άσκηση του βιβλίου της Β΄ Γυμνασίου;
Το ότι η υπολογιζόμενη με βάση αυτά άνωση, είναι διαφορετική του βάρους, απλά αποδεικνύει ότι έχουν δοθεί λάθος δεδομένα,

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης
Απάντηση σε  Διονύσης Μάργαρης

Γεια σου Διονύση.
Δεν κατάλαβα τι εννοείς.
Το σώμα δεν είναι ημιβυθισμένο;

Μαλάμης Γρηγόρης
4 μήνες πριν

Το μέγεθος της άνωσης προκύπτει από την Αρχή του Αρχιμήδη κατά την οποία: «Κάθε σώμα βυθισμένο σε ρευστό δέχεται δύναμη ίση και αντίθετη με το βάρος του ρευστού που εκτοπίζει». Η αντίστοιχη μαθηματική έκφραση είναι Α=ρgV, όπου:

( Από τη wikipedia )
Μήπως δεν τα λέει καλά το σχολικό βιβλίο;

Μαλάμης Γρηγόρης
4 μήνες πριν
Απάντηση σε  Ανδρέας Βαλαδάκης

Για διευκρινίσεις και ορισμό δες στη σελίδα 78. Φαίνεται καθαρότατα τι αναφέρεται ως συνισταμένη δύναμη στο σώμα από το υγρό.
Για την περίπτωση που επιπλέει το σώμα αν Α>w το σώμα θα αποκτήσει επιτάχυνση προς τα πάνω;;

Χρήστος Αγριόδημας
Αρχισυντάκτης
4 μήνες πριν

Καλησπέρα σε όλους.
Το συγκεκριμένο το έχω αναφέρει κατά καιρούς σε σχόλια.
Θεωρώ ως άνωση τη συνολική δύναμη που δέχεται ένα σώμα από το περιβάλλον του. Αν είναι πλήρως βυθισμένο σε υγρό τότε είναι η δύναμη του υγρού. Αν το σώμα είναι μερικώς ο γνωστός τύπος της άνωσης προκύπτει και από τον συνυπολογισμο της δύναμης της ατμόσφαιρας.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Ένα λάθος που με φοβίζει Χρήστο:

comment image

Ο μαθητής του Λυκείου είναι πιθανό να την πατήσει σε κάτι που δεν θα την πατούσε όταν ήταν στο Γυμνάσιο.
Έχει μάθει “μεθοδικά” να υπολογίζει έτσι τις δυνάμεις, ως διαφορές πιέσεων.
Άντα να εξηγήσεις που βρίσκεται το λάθος στη λύση που έγραψα.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Το πρόβλημα που υποσχεθηκα Χρήστο με τη λύση του (ελπίζω σωστή):

comment image

Είμαι περίεργος να το δω να λύνεται με πιέσεις!!

Χριστόπουλος Γιώργος

Γιάννη καλησπέρα . Στην παραπάνω σχέση γράφεις για την άνωση του αέρα (1-χ)1,2. Δεν πρέπει να είναι (1-χ) επι το ειδικό βαρος αέρα;

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Γιώργο η σχέση περιέχει μάζες, εκτός αν θέλουμε να περιέχει βάρη στο τεχνικό συστημα.
1,4 είναι η μάζα μπαλονιού και αέρα, εκτός αν θέλουμε να είναι το βάρος.
Για παράδειγμα μπορώ να πώ ότι ζυγίζω 105 κιλά αντί 1050 N.

Χριστόπουλος Γιώργος

Στην “άνωση” του αέρα δεν πρέπει να βάλουμε την αντίστοιχη μάζα του αέρα της ατμόσφαιρας και όχι το 1,2 Kg

Χριστόπουλος Γιώργος

Δηλαδή τη μάζα του εκτοπιζόμενου αέρα;

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Αφού είναι 1 κυβικό μέτρο δεν εκτοπίζει αέρα μαζας 1,2 κιλών όταν είναι στον αέρα;
Όταν στον αέρα είναι 1-x κυβικά μέτρα δεν εκτοπίζει αέρα μάζας (1-x) επί την πυκνότητα του αέρα;

Χριστόπουλος Γιώργος

Ναι έχεις δικιο , είναι περίπου 1,138Kg, “χοντρικά” 1,2 Kg

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Γιώργο δεν θυμάμαι. Έτσι βρήκα στη Βικιπαίδεια ότι είναι 1,2 στους 20 Κελσίου και 1,3 στους 0 Κελσίου. Μετά έγραψα την άσκηση.

Με φοβίζει η κακή συνήθεια που οδηγεί σε λάθη όπως αυτό που παρουσίασα πριν λίγο με το κυλινδρικό μπαλόνι.

Χριστόπουλος Γιώργος

Την είδα εδώ:http://jupiter.chem.uoa.gr › labs › density-humidity
Συμφωνώ με την παρατήρησή σου για ακριβέστερους υπολογισμούς.
στους δικούς μου υπολογισμούς για την άνωση λείπει παντελώς η ατμοσφαιρική πίεση.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Χρήστο ουδέποτε συμπάθησα υπολογισμό της άνωσης ως δύναμης οφειλόμενης σε πιέσεις. Σκέφτομαι να παραθέσω πρόβλημα στο οποίο να ζητήσω να υπολογισθεί η άνωση ως διαφορά πιέσεων και φαντάζομαι την ταλαιπωρία όποιου κάτσει να το λύσει έτσι.
Ο Αρχιμήδης χρησιμοποιούσε την έννοια της πίεσης;

Χρήστος Αγριόδημας
Αρχισυντάκτης
4 μήνες πριν

Γιάννη καλησπέρα.
Δεν ανέφερα την άνωση ως διάφορα πίεσης. Το αρχικό σου σχόλιο συμφωνεί με το δίκιο μου. Ανέφερα ότι ως άνωση είναι η συνολικγ δύναμη που δέχεται το σώμα από όλο το περιβάλλον του γύρω του. Τώρα πως θα υπολογιστεί είναι άλλο θέμα. Στο παράδειγμα σου προφανώς η λύση σου είναι για μένα η πιο κομψή και αποδεκτή.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Δεν κατάλαβα Χρήστο.
Στη λύση μου παραθέτω ένα άθροισμα δύο ανώσεων. Η μια ίση με το βαρος του νερού που εκτοπίζει και η άλλη με το βάρος του αέρα που εκτοπίζει.

Χρήστος Αγριόδημας
Αρχισυντάκτης
4 μήνες πριν
Απάντηση σε  Ανδρέας Βαλαδάκης

Ανδρέα καλησπέρα.
Νομίζω πως αυτό εννοεί.
Αποφευγω γενικά να αναφέρω την άνωση όπως το σχολικό της β γυμνασίου και να παίρνω απευθείας τη σχέση στα παιδιά του λυκείου.
Αυτό που λες το έχω εντοπίσει και δεδομένου ότι κάνω μαθημα σε μαθητές και γυμνάσιου και λυκείου υπάρχει κάποια σύγχυση.

Αντιγράφω ένα σχόλιο που είχα κάνει πριν λίγες μέρες σε μια άσκηση που είχα αναρτήσει και υπολόγιζα αναλυτικά τις δυνάμεις.

Είμαι υπερ της χρήσης της Άνωσης. Διδάσκεται στο Γυμνάσιο.
Αλλά να ξεκαθαρίσουμε ποια δύναμη είναι.
Είναι η δύναμη μόνο απο το υγρό ή η συνολική δύναμη από το περιβάλλον του; Λέγεται συνήθως η δύναμη που ασκεί το υγρό σε ένα σώμα που είναι βυθισμένο σε αυτό εξ ολοκλήρου ή κατά μέρος. Αλλά ο τύπος Α=ρυγ.·g·Vβυθ. είναι η συνισταμένη δύναμη του περιβάλλοντος ρευστού στο σώμα. Αν το σώμα είναι βυθισμένο εξ ολοκλήρου είναι η δύναμη από το υγρό αν δεν είναι, είναι και από την ατμόσφαιρα.
Αν παρόλα αυτά λέμε ότι η δράση της ατμόσφαιρας δρα παντού και δεν λαμβάνεται, οκ θα απαντήσω αλλά τότε όταν ρωτάμε ποια η δύναμη του υγρού στον πυθμένα γιατί γκρινιάζουμε όταν βλέπουμε κατά καιρούς λύσεις pυδρ. Α;
Επιπλέον θα ήθελα να αποφύγω την ερώτηση κύριε εκτός από την Άνωση γιατί δεν σχεδιάσατε και την δύναμη της ατμόσφαιρας;

Διονύσης Μάργαρης
Διαχειριστής
4 μήνες πριν

Γεια σας συνάδελφοι.
Ανδρέα δίκιο έχεις, δεν “είδα” το ημιβυθισμένο…
Αν λάβουμε υπόψη και την δύναμη από την ατμόσφαιρα στην επιφάνεια που είναι εκτός του υγρού, τότε η ισορροπία επιβάλει Α>w…

Διονύσης Μάργαρης
Διαχειριστής
4 μήνες πριν
Απάντηση σε  Διονύσης Μάργαρης

Εκτός και αν δεχτούμε αμελητέα την συνολική επίδραση της ατμόσφαιρας και αγνοήσουμε την παρουσία της, οπότε τότε:
“Όταν ένα σώμα επιπλέει, η άνωση είναι ίση με το βάρος του σώματος.”

Χριστόπουλος Γιώργος
Απάντηση σε  Διονύσης Μάργαρης

Διονύση Καλησπερα! Η ατμόσφαιρα περιβάλλει όλη τη Γη. Έτσι η ατμοσφαιρική πιέση αγνοείται(διαφορετικά θα βύθιζε όλα τα σώματα στη θάλασσα. Ας σκεφτούμε ότι βάζουμε μικρή δύναμη σε ένα σώμα που επιπλέι και το βυθίζουμε) Εδώ διαφωνώ και με τον Γιάννη που λέει ότι στην περίπτωση που έχουμε ένα δοχείο με νερό διαφέρει αν είναι κολημένο στο έδαφος ή όχι

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης
Απάντηση σε  Διονύσης Μάργαρης

Διονύση εξαρτάται από το πρόβλημα το “αμελητέα”.
Δες το μπαλόνι που εστειλα σε φωτογραφία.
Περίπτωση αμελητέας άνωσης αέρα:

comment image

Ποσο να ζυγίζει ο αέρας που εκτοπίζει το κεφάλι της πολιστρίας;

Έπειτα εμείς οι Φυσικοί έχουμε μεγάλη πλάκα. Είμαστε ικανοί να πούμε ότι η ατμόσφαιρα δεν ασκεί δύναμη στο κορίτσι διότι είναι βρεγμένη. Έτσι ο αέρας ασκεί δύναμη στο λεπτό στρώμα νερού που περιβάλλει την κοπέλα και το νερό αυτό την πιέζει προς τα κάτω.

Με την λογική αυτήν άλλα θα λέμε για ένα βρεγμένο σώμα που επιπλέει και άλλα για ένα στεγνό.

Τελευταία διόρθωση4 μήνες πριν από Γιάννης Κυριακόπουλος
Κώστας Μυσίρης
4 μήνες πριν

Καλημέρα και από εμένα. Δεν έχω διαβάσει όλα τα σχόλια αλλά θα έδινα ως ορισμό Άνωσης τη δύναμη που προκαλείται από την υδροστατική πίεση και μόνον και όχι από άλλες πιέσεις που προστίθεται στην υδροστατική λόγω αρχής Pascal. Με αυτή τη λογική στην πλεύση άνωση και βάρος έχουν συνισταμένη μηδέν
comment image

Τελευταία διόρθωση4 μήνες πριν από Διονύσης Μάργαρης
Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης
Απάντηση σε  Κώστας Μυσίρης

Κώστα υπάρχει και η άνωση του αέρα.
Αμελητέα σε μια βάρκα που πλέει, όχι αμελητέα σε ένα μπαλόνι που έπεσε στο νερό:

comment image

Κώστας Μυσίρης
4 μήνες πριν

Αμε!

Κώστας Μυσίρης
4 μήνες πριν

Επίσης όπως έχουμε συζητήσει και σε προηγούμενη ανάρτηση ελλιπής είναι και ο ορισμός της άνωσης ως “δύναμη ισου μέτρου με το βάρος του εκτοπιζομένου υγρου” .. γιατί όπως πολύ εύστοχα είχε αναφέρει και ο Βαγγέλης ο Κουντούρης στο εκμαγείο ενός Τάνκερ το εκτοπιζόμενο υγρό μπορεί να είναι μερικά κιλά μόνο και η Ανωση εκατομμύρια newton… η άνωση ισούται με το βάρος του εκτοπισμενου υγρού υπό την προϋπόθεση ότι δεν ανεβαίνει η στάθμη!!!!
Και όμως σε κανένα βιβλίο δεν επισημαίνεται!!!!
Η Επίσης όπως έχει πει ο Βαγγέλης ο Κουντούρης μπορεί η Άνωση να είναι “Πλαγιωση ή Κατωση” αν το αντικείμενο εφάπτεται εφαρμοστά σε ένα τοίχωμα του δοχείου
Γεια σου δάσκαλε Βαγγέλη Κουντούρη καλημέρα!!!!

Τελευταία διόρθωση4 μήνες πριν από Κώστας Μυσίρης
Βαγγέλης Κουντούρης
Απάντηση σε  Κώστας Μυσίρης

σε ευχαριστώ πολύ και από εδώ, Κώστα
πράγματι η Άνωση κάνει, μερικές φορές, “άγαρμπα αστεία”
(υπάρχει, και η “τιποτάνωση”, δηλαδή τίποτα, καθόλου, μηδέν, θα την προσθέσω αν “προκάνω”, ως Χαρίλαος έφα…
καλά πώς υπάρχει αφού δεν υπάρχει;)
απρόβλεπτο θηλυκό η Άνωση, ρε, φίλε… 

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Ο Ανδρέας έχει και ένα δίκιο.
Αν το νερό ασκούσε μικρή δύναμη σε επιπλέον μπαλόνι (όση το βάρος του εκτοπιζόμενου νερού) τότε το μπαλόνι θα έσκαγε διότι εσωτερικά δέχεται μεγάλες δυνάμεις από τον αέρα που περιέχει σε πίεση μεγαλύτερη κάπως της ατμοσφαιρικής.

Κώστας Μυσίρης
4 μήνες πριν

Ναι θεωρώ ότι έχει δίκιο εάν στον ορισμό πούμε μονο “η δύναμη από το υγρό“ τότε προφανώς η άνωση είναι μία μεταβαλλόμενη δύναμη που Εξαρτάται και από όλες τις άλλες δυνάμεις που δέχεται το υγρό.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης
Απάντηση σε  Κώστας Μυσίρης

Κώστα το θέμα είναι μάλλον ιστορικό. Ο αείμνηστος έλυσε έτσι το πρόβλημα του στέμματος.
Ταυτόχρονα είναι και μια απλή υπόδειξη σε παιδιά περί του πως να κάνουν υπολογισμούς.
Ένας καλός μαθητής όταν είναι στο Γυμνάσιο μπορεί να τους κάνει αλλά στο Λύκειο δεν μπορεί γιατί ζαλίστηκε από τα πολλά ρ.g.h και τις πιέσεις.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Όπως ήταν κάποτε απαγορευμένα τα τραγούδια του Θεοδωράκη, έτσι σήμερα είναι ημιαπαγορευμένη η άνωση.
Το σχολικό βιβλίο χρησιμοποιεί την πίεση μόνο για να παρουσιάσει το νόμο Μπερνούλι. Βάζει και κάτι με υδροστατικά παράδοξα και δυνάμεις από πιέσεις. Στη διδασκαλία μπαίνουν μη αναμιγνυόμενα υγρά και συγκοινωνούντα δοχεία και άλλα.
Όπως τότε βρίσκαμε τρόπο να ακούμε τα τραγούδια του Μίκη στο λαθραίο, έτσι και σήμερα υπάρχουν ηρωικοί συνάδελφοι που παρουσιάζουν την άνωση με νομιμοφανή τρόπο. Ως διαφορά δυνάμεων από πιέσεις. Έτσι εμπλουτίζεται μια συλλογή ασκήσεων.
Τα σώματα των ασκήσεων είναι κυλινδρικά ή έστω πρισματικά. Η απόδειξη της άνωσης γίνεται μόνο γι’ αυτά. Αν δεν βάλουν τα αγαπημένο τους ρ.g.h θα σκάσουν.
Ένας κύλινδρος κατάλληλης πυκνότητας επιπλέει εν μέρει βυθισμένος σε λάδι και εν μέρει σε νερό. Βρείτε τον λόγο των δύο όγκων.

comment image

Τότε …. ρ.g.h και άγιος ο Θεός.
Αν τώρα το σώμα γίνει αυγό…..
-Εκτός ύλης!!
Έτσι ένας σημερινός μαθητής που είναι καλός και θα μπει στο Πολυτεχνείο δεν μπορεί να βρει πόσο όγκο πρέπει να έχει ένα αερόστατο Ηλίου ώστε να με σηκώσει.

Σε ευθυμογράφημα του Σαπρανίδη μαθήτριες ανέφεραν ότι ο Καραϊσκάκης σκοτώθηκε από Πέρσες.
-Πέρσες στη μάχη του Φαλήρου;
-Εμείς έχουμε φτάσει μέχρι τους Μηδικούς πολέμους.
Ο Σαπρανίδης καταλήγει ότι ίσως του χρόνου μάθουν ότι ο ήρως φονεύθηκε από Βησιγότθους.

Τελευταία διόρθωση4 μήνες πριν από Γιάννης Κυριακόπουλος