by Ο τροχός του σχήματος έχει ακτίνα R. Είναι κατακόρυφος και από το κέντρο του περνάει ο οριζόντιος άξονας ΟΚ ο οποίος έχει επίσης μήκος R.
Ο άξονας ΟΚ περιστρέφεται αρθρωμένος στο Ο με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω, όπως στο σχήμα.
Ο τροχός κυλίεται.
Να υπολογστούν οι ταχύτητες των αντιδιαμετρικών σημείων Α και Β, αν το ΑΒ είναι την στιγμή εκείνη οριζόντιο.
(Visited 955 times, 1 visits today)
ωR √3.Στα πολύ γρήγορα(χωρις μολύβι) και με χρηση του θεωρήματος των τριών καθέτων.
Σύντομα η λύση: Αφ’ ενός έχουμε το ίδιο ω (κ.χ.ο τοτε υcm = υεπιτρόχιο και υ cm=ωR με το ω στην οριζόντια κινηση και υεπιτροχιο =ω’R στην κατακόρυφυ κίνηση .Αρα ω=ω’)
Αφ’ετερου το Α (και το Β) έχουν ακτίνα περιστροφής R√2. Λόγω του θεωρήματος των τριών καθέτων οι δύο συνιστώσες της ταχύτητας ρίναι κάθετες μεταξύ τους.Έτσι:
υΑ=✓(ωR✓2)2+ (ωR)2=ωR√3
Καλημέρα σε όλους
Γιάννη, ωραίο πρόβλημα.
Πάω αργά σχολείο σήμερα
οπότε . . .
πρόλαβα να γράψω μια λύση. 🙂
Φιλικά,
Θ.Π.
Καλημέρα Γιώργο και Θρασύβουλε.
Συμφωνώ με τα αποτελέσματά σας.
Μια λύση:
Καλημέρα Γιάννη.
Βλέπω το προχώρησες σε μη επίπεδη κίνηση.
Οι ταχύτητες που ζήτησες θα μπορούσαν (με λίγο καλή θέληση…) να βρεθούν και από έναν μαθητή, αν γνώριζε λίγη στερεομετρία.
Ελπίζω να μην το προχωρήσεις άλλο, ζητώντας για παράδειγμα την κινητική ενέργεια του τροχού 🙂
Διονύση βγαίνουν από έναν μαθητή χωρίς γνώσεις Στερομετρίας.
Με χρήση της αρχής της επαλληλίας.
Πρώτα στρίβεις τον άξονα και μετά περιστρέφεις τον τροχό.
Έχω κάνει παλιότερα αυτό με την κινητική ενέργεια αλλά και με τη στροφορμή.
Είχα γράψει δύο λύσεις, τη μία με τανυστή αδράνειας και την άλλη (πολύ εύκολη) με “δύο μοτεράκια” τα οποια δεν αλληλεπιδρούν.
Ίσως τις βρω στο υλικονέτ.
Μια λύση με τανυστή αδράνειας:
Πόση είναι η κινητική ενέργεια;
Και μια απλή που μπορεί να κατανοήσει μαθητής:
Καλησπέρα Γιάννη,
κοιτάω τις δύο λύσεις (αυτήν με τον τανυστή και την άλλη την “μαθητική”), αλλά δεν βλέπω ουσιαστική διαφορά. Αν στην λύση του αρχείου αναρωτηθεί ο λύτης ποια η φυσική σημασία των δύο όρων με τα Ixx και Iyy, θα καταλήξει στην μαθητική. Ο δε υπολογισμός των ροπών αδρανείας και στις δύο περιπτώσεις παραλείπεται και ο τύπος δίνεται έτοιμος.
Θεωρώ λίγο υπερβολικό το τελευταίο σου σχόλιο
“…Γιατί, για να είμαι ειλικρινής, έβγαλα κάτι χωρίς να καταλάβω τι έκανα. Έχασα την ουσία του φαινομένου, χάριν του υπολογισμού.”
Φυσικά δεν λέω ότι το πρόβλημα είναι απλό και ότι δεν μπορεί πολύ έυκολα να γίνει λάθος.
Στάθη οιοσδήποτε, ακόμα και αν έχει ξεχάσει τις αποδείξεις τις σχετικές με τον τανυστή αδράνειας, μπορεί να τον χρησιμοποιήσει και να υπολογίσει στροφορμή και κινητική ενέργεια.
Τα κάναμε αυτά όταν μαθαίναμε κάτι σαν φοιτητές.
Βαθιά κατανόηση αποκτάς όταν προσπαθείς να παρουσιάσεις κάτι σε ένα μαθητή.
Αν λοιπόν σκεφτώ ότι πρώτα περιστρέφω τον άξονα (με μη στρεφόμενο τον δίσκο) , μετά στρέφω τον δίσκο και μετά προσθέτω τα δύο έργα, έχεις κάνει ένα βήμα βαθύτερης κατανόησης. Έχεις καταλάβει αρχικά ότι η δεύτερη περιστροφή δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα της πρώτης, κάτι που θα συνέβαινε αν τροχός και άξονας ήταν στο ίδιο επίπεδο.
Τα ίδια συναντάμε και αλλού. Π.χ. γιατί σε κλειστό αγωγό η δύναμη Λαπλας είναι μηδέν;
Κάνεις ένα άθροισμα των i.dlxB και καθάρισες.
Γιατί η άνωση είναι τόση σε τυχαίο σχήμα;
Θεώρημα Γκάους και καθάρισες. Όμως κατάλαβες την ουσία της άνωσης ή απλά την υπολόγισες;
Τώρα που σου γράφω πατάω πλήκτρα και κάνω μια δουλειά.
Σημαίνει αυτό ότι έχω κατανοήσει τις διεργασίες που γίνονται στον υπολογιστή και στο διαδίκτυο μέχρι να διαβάσεις ότι έγραψα;
Καλό μεσημέρι Γιάννη (είδες …. έκοψα το καλησπέρα) 🙂
Είπα να μην το προχωρήσεις, αφού θα έβαζες στο παιχνίδι τον τανυστή αδράνειας!
Αλλά εσύ βρήκες και άλλο μονοπάτι…
Διονύση δεν έγραψα τίποτα. Αυτά υπάρχουν στο υλικονέτ από παλιά.
Νομίζω πριν την αλλαγή της πλατόρφμας.
Τι δεύτερο είναι σκρην σοτ από συζήτηση με εισήγηση το πρώτο.
Είχαν συμμετάσχει πολλοί τότε.
Καλό απόγεμα, Γιάννη.
Μ’άρεσε και με παρέπεμψε…
Κι αυτό υπάρχει στη δημοτική αγορά των Χανίων.
Παντελή από τον Χρήστο Ελευθερίου ξεκίνησε. Μάλλον τέτοια ήταν η έμπνευση.
Beautiful! Στο ίδιο αποτέλεσμα κατέληξα χωρίς θεώρημα των τριών κάθετων . Με Αρχή ανεξαρτησίας των κινήσεων . Κύλιση και περιστροφή του τροχού γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του, με ίδια γωνιακή ταχύτητα. Έτσι ίσως γίνεται ευκολότερα κατανοητή από μαθητές.Στηριζομενοι στη θεωρία του σχολικού και ως προέκταση της ” επίπεδης” κύλισης.
Ευχαριστώ Γιώργο.
Και εγώ την έλυσα χωρίς Στερεομετρία.
Ναι. Την είδα μετά. Ωραία σχήματα! Πολλές διαφορετικές λύσεις δόθηκαν τελικά στο θέμα σου!
Γιάννη η οα κάθετη στην υΑ2(στο σχημα σου) βγαίνει μόνο απο το θεώρημα των τριων καθέτων
Γιώργο δεν καταλαβαίνω τι εννοείς.
Το επίπεδο ΟΑΒ είναι οριζόντιο. Η υΑ2 είναι κάθετη σ΄αυτό.
Επομένως είναι κάθετη σε κάθε ευθεία του επιπέδου αυτού που περνάει από το Α.
Αυτό που λες ειναι η απόδειξη του θεωρήματος των τριών καθέτων.
Το θεώρημα των τριών καθέτων:
Και; Αυτό δεν αναιρεί οτι σε αυτά που λες δεν χρησιμοποιεις αφ’ ενός στερεομετρία αφ’ εταίρου προυοθέσεις στις οποίες στηρίζεται η αποδειξη ( μια τουλάχιστον) του θεωρήματος.
Γιώργο το μόνο από Στερεομετρία που επικαλέστηκα ήταν ότι ηυΑ2 ήταν κατακόρυφη και η υΑ1 οριζόντια, άρα κάθετες μεταξύ τους.
Γιάννη καλησπερα.Πιστευεις οτι δεν υπαρχει ολισθηση μεταξυ τροχου και οριζοντιου επιπεδου?Αν χτυπησεις με τον δεικτη του χεριου σου ενα νομισμα πανω στο τραπεζι και αυτο γυριζει σαν σβουρα με το επιπεδο του καθετο στο τραπεζι τοτε το νομισμα ολισθαινει η οχι?
Κωνσταντίνε δεν υπάρχει ολίσθηση με την έννοια ότι το Ε έχει κάθε στιγμή μηδενική ταχύτητα. Το σημείο επαφής του νομίσματος, η μύτη μιας σβούρας κ.λ.π. είναι μικρές επιφάνεις που τρίβονται. Αν η επαφή είναι ένα σημείο και το σώμα περιστρέφεται δεν εχουμε ολίσθηση.
Το σημείο που διευκρινίζει το “κυλίεται” είναι το ότι το Κ έχει ταχύτητα ω.R.
Φαντασου ενα κωνο που κυλιεται χωρις ολισθηση σε οριζοντιο επιπεδο..Η βαση του ειναι κυκλος που κυλιεται επισης αφου ανηκει στον κωνο.Ομως το επιπεδο της βασης δεν ειναι καθετο στο οριζοντιο επιπεδο που σημαινει οτι για να κυλιεται ενας τετοιος κυκλος και το σημειο επαφης του να διαγραφει κυκλο,δεν μπορει το επιπεδο του να ειναι καθετο στο οριζοντιο επιπεδο.Ετσι μου δημιουργηθηκε η εντυπωση οτι ο δικος σου τροχος μπορει και να ολισθαινει,η να μην κυλιεται.
Καταλαβαίνω τι λες.
Στο πρόβλημα που έθεσα η ταχύτητα του Κ δεν είναι ω.R;
Ναι ειναι. Ο προβληματισμος μου αφορα μονο το αν η κινηση λεγεται κυλιση. Ο κωνος με προβληματισε αφου κυλιση κανουν μονο οι κυκλοι των οποιων το επιπεδο ειναι καθετο στον αξονα του.
Καλημέρα συνάδελφοι.
Γιάννη αν ο τροχός θεωρηθεί πολύ λεπτός, δεν νομίζω ότι υπάρχει κάποιο πρόβλημα.
Αν το πάχος είναι σημαντικό, ίσως υπάρχει κάποιο πρόβλημα “διαφορικής” ταχύτητας των σημείων του τροχού, τα οποία έρχονται σε επαφή με το επίπεδο.
Όσον αφορά την κύλιση του κώνου, υπάρχει και αυτή η κίνηση, που είναι “κλασική” κύλιση:
όπου ο άξονας περιστροφής ΑΟ είναι ο άξονας του κώνου και η βάση είναι σε κατακόρυφο επίπεδο.
Καλημέρα παιδιά.
Διονύση όντως πρέπει να είναι λεπτός.
Καλημέρα Γιάννη και Διονύση
Το έβλεπα αλλά δεν το είπα, πως στην εικόνα που ανέβασα,
το πάχος της μυλόπετρας απέχει από τον λεπτό τροχό σου Γιάννη.
Παρακολουθώντας της μυλόπετρες στο μύλο του χωριού μια φορά κι έναν καιρό και στην αρχή κυρίως ,πριν πέσει ο καρπός μέσα στη χοάνη, το ους έπιανε τη γλίστρημα της μυλόπετρας κατά την περιστροφή της !
Δεν θεωρω οτι υπαρχει προβλημα στην διατυπωση της ασκησης.Η συγκεκριμενη ασκηση ειναι μαλιστα αρκετα απλη.Θετω προς προβληματισμο καποια γεωμετρικα θεματα μαλλον προχωρημενου επιπεδου.Η κυλιση πρεπει να ειναι μια εννοια που εχει αυστηρο ορισμο .Ποιος ειναι αυτος? Εχουμε ξεφυγει απο την μοναδικη περιπτωση του σχολικου βιβλιου οπου οι τροχοι κινουνται σε ευθεια.Και τι σημαινει κλασικη κυλιση κωνου?Διαισθητικοι ορισμοι δεν υπαρχουν.Ενας κυλινδρος οπως η μυλοπετρα του Παντελη δεν πραγματοποιει κυλιση και ας ισχυει υ=ωR.οπου ω ειναι η γωνιακη ταχυτητα ιδιοπεριστροφης του κυλινδρου και υ η ταχυτητα του γεωμετρικου κεντρου.Αν δηλαδη αρχισουμε τον κυλινδρο να τον λεπταινουμε τοτε οταν αυτος θα εκφυλιστει σε επιφανεια λεμε οτι η κινηση μετατρεπεται σε κυλιση?
Αντιλαμβάμομαι την κύλιση ως την κατάσταση κατά την οποία η ταχύτητα του σημείου επαφής είναι μηδέν.
Αυτο το υ=0 του σημειου επαφης ειναι πολυ υπουλο σαν υποθεση.Το σημειο αυτο πριν γινει σημειο επαφης ειχε συνιστωσα ταχυτητας που δεν ανηκε στο επιπεδο του τροχου.Σου τα γραφω ετσι διοτι εσυ ειδικα καταλαβαινεις απο Γεωμετρια.Φαντασου το σαν στιγμιαια πλαγια κρουση σωματος με τοιχο οπου η συνιστωσα ταχυτητας που ειναι παραλληλη στον τοιχο δεν μηδενιζεται ποτε.Στην γνωστη μας κυλιση του Λυκειου,το κυκλοειδες ειναι καθετο στην επιφανεια στην οποια συμβαινει η κυλιση οποτε τοτε οντως η ταχύτητα του σημείου επαφής είναι μηδέν.Στην περιπτωση μας η τροχια του σημειου ειναι ενα στρεβλωμενο κυκλοειδες.Αυτα βεβαια ειναι πολυ λεπτα και δυσκολα θεματα αλλα τι να συζηταμε? Ειναι τα παραπλευρα θεματα που οπως εχεις πει μπορει να εχουν ενδιαφερον.Γιαννη αυτο δεν λεγεται κυλιση αν βαλουμε κατω τα μαθηματικα.Εχω γραψει πολλα πανω σε αυτο το θεμα αλλα ειναι καπως βαρια για να τα ανεβασω.
Κωνσταντίνε πολυ σωστό αυτό.
Ανήκει σε διαρκώς διαφορετικό επίπεδο.
Το επίπεδο αυτό στρέφεται. Τη στιγμή της επαφής ταυτίζεται με το οριζόντιο.
Ακριβως!Εχω αποδειξει οτι αν παρουμε ταχυτητα σημειου επαφης μηδεν καταληγουμε σε ατοπο.Για μενα ειναι απο τα πιο ωραια παραπλευρα θεματα που εχουν προκυψει.Και οπως συνηθως η γεωμετρια θα μας δωσει την λυση…
“τι σημαινει κλασικη κυλιση κωνου”
Την ονόμασα κλασική αφού έχουμε μια κατακόρυφη τομή του στερεού (κώνου), το οποίο περιστρέφεται και το εκάστοτε σημείο επαφής με το έδαφος έχει μηδενική ταχύτητα, αφού ισχύει υο=ωR,
Δεν νομίζω να διαστρέβλωσα κανέναν ορισμό… ούτε έδωσα ορισμό από διαίσθηση…
Οχι Διονύση το εκαστοτε σημειο επαφης δεν εχει μηδενικη ταχυτητα κανεις λαθος.
Διονύση και εγώ θα το ονόμαζα έτσι.
Κωνσταντίνε ένας παρατηρητής στο Κ (που διατηρεί τον προσανατολισμό του όμως) βλέπει δύο περιστροφές για τον δίσκο.
Η μία γίνεται περί τον κατακόρυφο άξονα. Το σημείο επαφής Ε βρίσκεται πάνω στον κατακόρυφο άξονα και αυτή η κίνηση “δεν του προσδίδει” κάποια ταχύτητα.
Η άλλη περιστροφή περί τον οριζόντιο άξονα του προσδίδει ταχύτητα ίση με ω.R και ανήκει στο επιπεδο του δίσκου. Είναι προς τα αριστερά.
Η ταχύτητα του Ε είναι ίση με υΚ-ω.R.
Αν υΚ=ω.R τότε η ταχύτητα του Ε είναι μηδέν.
Θα δοκιμάσω να φτιάξω στο geogebra την όλη υπόθεση, έτσι ώστε να μετακινούμε ένα σημείο και να βρίσκουμε την ταχύτητά του.
Το αρχείο geogebra:
Μετακινήστε μόνο το σημείο Α και μόνο προς τα δεξιά.
Ναι Γιάννη μαλλον εχεις δικιο.
Καλησπερα σε ολους.Εδω εχουμε δυο γωνιακες ταχυτητες (Στην παρουσα ασκηση).
Μια γωνιακη ταχυτητα οφειλεται στην ιδιοπεριστροφη του τροχου και μια γωνιακη ταχυτητα καθετη στο οριζοντιο επιπεδο.Το αθροισμα τους δεν παραλληλο στο οριζοντιο επιπεδο.. Ομως στον κωνο που κυλιεται,η κυκλικη βαση παλι εχει δυο ω ομως τωρα αν κανει κανεις υπολογισμους(εγω τους εκανα),βρισκει οτι το αθροισμα των δυο γωνιακων ταχυτητων,ειναι παραλληλο στο οριζοντιο επιπεδο .Αυτο θα ονομαζα εγω κυλιση .Αυτο μπορει κανεις να το δει και αν παρατηρησει οτι ο αξονας επαφης του κωνου με το οριζοντιο επιπεδο ειναι στιγμιαιος αξονας περιστροφης και αρα η συνολικη γωνιακη ταχυτητα ω ειναι αναγκαστικα παραλληλη στο οριζοντιο επιπεδο και το μετρο της ικανοποιει τις εξισωσεις:υ=ωhsinα=ωRcosα.η υ=ωr οπου ω ειναι το αθροισμα των δυο γωνιακων ταχυτητων.Δηλαδη υ=ωΧr οπου ω ειναι η συνολικη γωνιακη ταχυτητα,και r ειναι ενα διανυσμα καθετo στο οριζοντιο επιπεδο με μετρο Rcosα.Αυτη ειναι η αναγκαια και ικανη συνθηκη για κυλιση.Αν θεωρησουμε ως συνθηκη για κυλιση την μηδενικη ταχυτητα του σημειου επαφης,τοτε αυτη η συνθηκη δεν ισχυει στην περιπτωση μας.Αυτο για τις περιπτωσεις του σχολικου συμπιπτει με το απλο υ=ωR που γραφουμε συνηθως..Αυτα τα ειχα διαβασει σε ενα βιβλιο engineering του Timoshenko οταν ημουνα φοιτητης.Ψαχνω να τα βρω.αλλα εχω και προσωπικες σημειωσειςΒεβαια αυτα ειναι αρκετα εξεζητημενα και δυσκολα θεματα,για οποιον εχει το ενδιαφερον τον χρονο και την διαθεση και να τα παρακολουθησει.Κατα την γνωμη μου η εννοια της κυλισης πρεπει να χρησιμοποιειται στο επιπεδο του Λυκειου,μονο για σωματα που κινουνται σε ευθεια.Εχουμε ξεφυγει απο το Λυκειακο επιπεδο αλλα δεν πειραζει καθολου συζηταμε στο φορουμ και την αφορμη την εδωσε ο Κυριακοπουλος.Το καφενειο μας οπως εχετε πει. (Ξαναβαζω την εικονα για να μην την ψαχνετε.)