by 
Ο κώνος του σχήματος κυλίεται. Η γωνία της κορυφής του είναι 2α. Το ύψος του είναι h. Αξονας του ειναι η ευθεια που διερχεται εκ της κορυφης του και του κεντρου της βασεως.Η ταχυτητα του κεντρου της βασεως P ειναι υ.Η γωνιακη ταχυτητα περιστροφης του κωνου γυρω απο τον αξονα του, ειναι ω. Να γραψετε την εξισωση που δινει την ταχυτητα υ του σημειου Ρ, συναρτησει των ω,α,h.
(Visited 964 times, 1 visits today)
Κωνσταντίνε αν δεν κάνω λάθος βλέπω δύο σχέσεις:
υ=Ω.h.συνα και Ω.h/συνα=ω.h.εφα
Την δευτερη σχεση πως την βγαζεις?
Ένα λεπτό να γράψω σε word.
To ω ειναι ηγωνιακη ταχυτητα περιστροφης του κωνου γυρω απο τον αξονα του και το Ω ειναι η γωνιακη ταχυτητα που ειναι καθετη στο επιπεδο πανω στο οποιο κυλιεται ο κωνος?
Ναι αυτές εννοώ.
Με την προϋπόθεση πως δεν κάνω λάθος:
Η τελευταια σχεση σημαινει πως η σχεση υ=ωR ειναι λαθος, οπου R η ακτινα της βασεως Αφου υ=ωR=ωhεφα
Κωνσταντίνε δεν ξέρω αν έκανα κάποιο λάθος.
Νομίζω πως αν η βάση ήταν σε κατακόρυφο επίπεδο θα ίσχυε ότι υ=ω.R.
Τότε θα είχαμε ταύτιση των h, ΚΡ και ΟΕ.
Όλα αυτά αν δεν έχω κάνει λάθος.
θα σου πω.Δεν λεω ακομα μηπως γραψει και καποιος αλλος συναδελφος κατι.Παντως δεν λεω οτι εχεις κανει λαθος.Αυτο που θελω να μου πεις ειναι αν σου φαινεται προφανες οτι η σχεση υ=ωR δεν ισχυει επειδη η βαση δεν ειναι σε κατακορυφο επιπεδο.Γεωμετρικα δεν μοιαζει να ισχυει?
Φυσικά και δεν μου φαίνεται προφανές.
Αν δεν έβαζες έτσι το πρόβλημα είναι πιθανό να εφάρμοζα μηχανικά τη σχέση υ=ω.R.
Τώρα έτσι που το έβαλες με έκανες να το σκεφτώ και να ψάξω να βρω μια επαλληλία κινήσεων που θα φέρει τον κώνο στην κατάσταση που περιγράφεις.
Πάντως, αν δεν έχω φυσικά κάνει λάθος, ξαφνιάζει αρκετά το όλο θέμα.
Αν έχω κάνει λάθος…..
Θα βαλω στο φορουμ να βρεθει που υπαρχει λαθος? Στον υπολογισμο του Κυριακοπουλου η στην σχεση υ=ωR?
Εκτός αν είναι και τα δύο λάθος.
Να το γραψω τωρα η θα βγεις?
Θα αποσυρθώ σε κανά μισάωρο, αλλά δεν έχει σημασία αυτό.
Θα τοποθετηθούν οι φίλοι και εγώ έχω τοποθετηθεί.
Καλημέρα
Aρη Καλημερα.Ζηταω ως τελικο αποτελεσμα να γραψεις μια εκφραση που δινει το μετρο της ταχυτητας του σημειου Ρ σαν συναρτηση των ω,h,α.
“βλέπω” ότι αν το σημείο επαφής της βάσης του κώνου, έστω Α, γράψει ένα κύκλο, σε χρόνο Τ=2π/ω, το σημείο Κ, της κάθετης ΡΚ προς το επίπεδο θα γράψει κύκλο, αυτός “ενδιαφέρει” το Ρ, με ακτίνα hημα, οπότε θα έχει μετακινηθεί κατά 2πhημα, τόσο θα έχει μετακινηθεί και το Ρ, επομένως η ταχύτητά του είναι υ= 2πhημα/2π/ω=ωhημα
Βαγγελη αν καταλαβα καλα στην πρωτη σειρα εννοεις τον κυκλο ακτινας οσο το μηκος του ευθυγραμμου τμηματος επαφης κωνου οριζοντιου επιπεδου αρα στο
Τ=2π/ω το ω δεν ειναι αυτο γυρω απο τον αξονα του κωνου αλλα το αλλο που ο Κυριακοπουλος το συμβολιζει Ω.Αυτο ειναι το Ω περιστροφης ολου του κωνου γυρω απο ενα φυτεμενο πασσαλο καθετα στο οριζοντιο επιπεδο στο σημειο που βρισκεται η κορυφη του κωνου.Επισης στην τριτη σειρα μαλλον θελει 2πhσυνα.οποτε το τελικο σου αποτελεσμα ειναι υ=Ωhσυνα,που ειναι σωστο αλλα δεν ειναι αυτο που ζηταω εγω διοτι εγω θελω την ω μεσα οχι την Ω.
Καλημέρα σε όλους
Κωνσταντίνε, ενδιαφέρον πρόβλημα.
Μια λύση ακόμη.
Φιλικά,
Θ.Π.
Μπραβο Θρασυβουλε.Brilliant.Eισαι πολυ δυνατος στους αναλυτικους υπολογισμους!
Καλημερα σε ολους.Επειδη φευγω για το σχολειο θα διαβασω τις απαντησεις σας το μεσημερι. 🙂
Συμφωνώντας με τον Θρασύβουλο για το Λ, συμπληρώνω:
Καλησπερα Συναδελφοι.Η εξισωση που ζηταω δεν ειναι καθολου προφανης.Ομως μοιαζει προφανες οτι αν R η ακτινα της βασεως του κωνου,τοτε υ=ωR=ωhεφα και τελος.Για αυτο εδωσα και αυτον τον τιτλο και οχι διοτι η ασκηση ειναι ευκολη.Καθε αλλο! Το υ=ωR βεβαια δεν ειναι σωστο λογω της μη καθετοτητας της βασεως του κωνου με το επιπεδο επαφης,αλλα μπορει ευκολα κανεις να το γραψει ετσι και σε ξεγελαει οπως συζητησα και με τον Γιάννη χτες. Εγω το ελυσα ως εξης.
Ο κωνος κανει δυο κινησεις με δυο γωνιακες ταχυτητες. Μια περιστροφη γυρω απο τον αξονα του με γωνιακη ταχυτητα ω,και μια περιστροφη γυρω απο εναν αξονα που περναει απο την κορυφη του και ειναι καθετος στο επιπεδο πανω στο οποιο γινεται η κυλιση,με γωνιακη ταχυτητα Ω. .Ομως η ευθεια επαφης του κωνου με το οριζοντιο επιπεδο ειναι στιγμιαιος αξονας περιστροφης.Αρα το Ω+ω ειναι κατα μηκος της ευθειας επαφης και επισης υ=(Ω+ω)hsinα.
Επισης υ=Ωhcosα. Ομως απο την καθετοτητα μεταξυ Ω+ω και Ω πρεπει να να ισχυει το πυθαγορειο θεωρημα: ω^2 =Ω^2+(Ω+ω)^2 αρα ω^2= (υ/hcosα)^2+(υ/hsinα)^2.
Αρα υ=ωhsinαcosα. που ειναι και το τελικο αποτελεσμα.Αν θελουμε την εκφραση της ταχυτητας,οχι μονο του μετρου της,χρησιμοποιουμε το μοναδιαιο διανυσμα φ των πολικων συντεταγμενων οπως εκανε ο Θρασυβουλος. Ερωτηση.Πως μπορουμε με απλη γεωμετρια να εξηγησουμε οτι η σχεση υ=ωR ειναι λαθος? Δεν εχω γραψει κατι ικανοποιητικο σε αυτο αλλα νομιζω οτι εχει σχεση με τις 6,75 στροφες!
Eυχαριστω πολυ που ασχοληθηκατε με το προβλημα.
Δες την τεράστια διαφορά του υ από το ω.R.
Έχουν λόγο ίσο με (ΗΡ)/(ΟΑ) που εδώ είναι 1/5,5.
Φυσικά σχετίζεται με τις 6,75 στροφές.
Νομίζω ότι βγαίνει και με απλή Γεωμετρία το άτοπον αν το h είναι πολύ μικρότερο από την ακτίνα.
Θα το δώ καλύτερα.
Οχι μονο να δειξουμε το ατοπον αλλα να βρουμε και την ακριβη σχεση μεταξυ υ και ω. Δηλαδη την σχεση υ=ωhsinαcosα.να την βρουμε με παραγωγιση μιας σχεσης μεταξυ χ και θ η οποια ειναι σκετη γεωμετρια.Εγω σκεφτηκα οτι καθως αρχιζουμε να γερνουμε τον κυκλο η κατασταση ειναι ισοδυναμη με κυλιση οχι πανω σε ευθεια αλλα σε καμπυλη οπως στις 6,75 στροφες.Οταν ο κυκλος ειναι κατακορυφος ακομα και αν κυλιεται πανω σε καμπυλη οπως στο Όχι επιπεδη κύλιση τροχού.τοτε ισχυει το υ=ωR διοτι δεν υπαρχει καμπυλοτητα στην διευθυνση που μας ενδιαφερει,αρα ειναι σαν να εχουμε ευθεια..Οσο ομως ο κυκλος αρχιζει να γερνει αρχιζει να υπαρχει καμπυλοτητα η οποια γινεται μεγιστη οταν ο κυκλος ξαπλωσει τελειως στο οριζοντιο επιπεδο,οποτε τοτε ενας κυκλος κυλιεται μεσα σε αλλο κυκλο.. Αρα αν βρουμε την ακτινα καμπυλοτητας που δημιουργειται συναρτησει της γωνιας κλισης και το εχουμε λυσει για μια τυχαια ακτινα καμπυλοτητας οπως πχ στις 6,75 στροφες,τοτε το λυσαμε.Ελπιζω να με καταλαβαινεις.
Καλησπέρα σε όλους.
Κωνσταντίνε πολύ αξιόλογο θέμα.
Eυχαριστώ πολύ Βασίλειε.
Το πρόβλημα αυτό είναι πολύ όμορφο και μάλλον δύσκολο (υπάρχει στο βιβλίο του Landau – αν και δεν είμαι σίγουρος αν είναι δατυπωμένο έτσι). Επειδή είναι δύσκολο να δουλέψει κανείς με τα διανύσματα των γωνιακών ταχυτήτων, θα πρότεινα ως τρόπο αντιμετώπισης απειροστές στροφές και εύρεση όλων των αντίστοιχων μετακινήσεων. Για παράδειγμα αν υποθέσουμε ότι η βάση του κώνου περιστραφεί κατά dφ, οπότε το σημείο της βάσης που ακουμπά στο έδαφος προχωρήσει κατά ds=dφ R (R η ακτίνα της βάσης),…κλπ.