by 
Κύλιση: Επαλληλία κινήσεων έναντι στιγμιαίου άξονα περιστροφής
Δίσκος κυλίεται (χωρίς να ολισθαίνει) με γωνιακή ταχύτητα 1 rad/s. Το σημείο Α βρίσκεται στην περίμετρο του δίσκου ενώ το σημείο Β βρίσκεται στο εσωτερικό του. Η απόσταση μεταξύ των δύο σημείων είναι 20 cm. Όταν το σημείο A περνά από την κατώτατη θέση, πόση είναι η ταχύτητα του σημείου B;
Το πρόβλημα να λυθεί (α) με επαλληλία κινήσεων και (β) με στιγμιαίο άξονα περιστροφής.
Να συγκρίνετε τους δύο τρόπους λύσης μεταξύ τους.
Πολύ στημένο ερώτημα Ανδρέα, όπου είναι εξόφθαλμη η προτιμότερη λύση.
Αυτό δεν σημαίνει ότι το συμπέρασμα που προκύπτει έχει γενική εφαρμογή.
Αν δε, μιλάμε για μαθητές, θα υποστήριζα την αντίθετή θέση…
Σκοπός του ερωτήματος δεν ήταν να δειχθεί ότι η επαλληλία κινήσεων υστερεί γενικά έναντι του στιγμιαίου άξονα περιστροφής. Σκοπός ήταν να δειχθεί ότι σε ορισμένες περιπτώσεις ο στιγμιαίος άξονας είναι πολύ πιο αποτελεσματικός. Είναι κι αυτός εργαλείο. Αναρωτιέμαι αν θα τολμούσε κάποιος να λύσει αυτό το πρόβλημα με επαλληλία κινήσεων!
Για ένα τέτοιο θέμα στις Πανελλήνιες, θα λέγαμε ότι ήταν στημένο;(!)
Καλησπέρα Ανδρέα.
Μια σύντομη λύση και για τις δύο μεθόδους:
Αρτέμη καθόλου πρόχειρη η λύση σου! Ο γραφικός σου χαρακτήρας αποπνέει φιλικότητα!
Συναδελφε Ανδρεα.Ζητω συγνωμη για το προχειρο της λυσης.Νασαι καλα.Το μυαλο μου ειναι αλλου.Τα εγγονακια μου ειναι και τα δυο θετικα.Εγω οχι ακομα .Κακο σκυλι ,δεν εχει ψοφο….
Αρτέμη εύχομαι σύντομα περαστικά κι εσύ να μην αρωστήσεις!
Αντρέα, καλησπέρα.
Θα έλεγα ότι και οι δύο διακριτοί τρόποι υπολογισμού είναι με επαλληλία κινήσεων. Στην περιγραφή της μεταφοράς χρησιμοποιούμε στην α περίπτωση ως σημείο αναφοράς (υπονοείται) το κέντρο (και περιστροφή γύρω από αυτό), ενώ στη β περίπτωση ως σημείο αναφοράς το σημείο επαφής (και σε περιστροφή γύρω από αυτό). Απλά στη β περίπτωση το σημείο επαφής έχει μηδενική ταχύτητα, όποτε η κίνηση «εκφυλίζεται» σε γνήσια περιστροφή γύρω από αυτό.
Στη β χρησιμοποιείται ως δεδομένο ότι η ταχύτητα του σημείου επαφής είναι μηδενική, που εξάγεται, είτε από την α, είτε, λόγω της μη ολίσθησης, έχει την ταχύτητα του αντίστοιχου σημείου του εδάφους.
Έτσι η β πλεονεκτεί στο συγκεκριμένο παράδειγμα.
Στις επιταχύνσεις που εμπλέκεται και η κεντρομόλος επιτάχυνση δεν πλεονεκτεί.
καλησπέρα σε όλους
Ανδρέα, δεν βλέπω ούτε τα σημεία στο σχήμα, ούτε τα δεδομένα
να κατεβάσω τη βαριοπούλα από την ταράτσα;
Αρτέμη και ο δικός μου εγγονός βγήκε θετικός, ο ίδιος το αρνείται, διότι ισχυρίζεται ότι είναι κάποιος Σπάϊντερμαν που νικάει τον κορωνοϊό…
Βαγγέλη καλημέρα!
Συγνώμη για την ασάφεια: Το σχήμα στη ανάρτηση είναι διακοσμητικό! Το ακριβές σχήμα είναι αυτό που έχει σχεδιάσει ο Αρτέμης Σαράντης στο σχόλιό του με τις δύο λύσεις.
Με εκανες και γελασα Βαγγελη μου.Νασαι καλα.
Καλησπέρα παιδιά.
Πλεονεκτεί ο δεύτερος τρόπος.
Προσπαθώ να βρω παράδειγμα στο οποίο να πλεονεκτεί ο πρώτος τρόπος και ακόμα δεν τα έχω καταφέρει.
Πιστεύω πως και με εμπλοκή επιταχύνσεων πλεονεκτεί.
Γενικά η Γεωμετρία υπερισχύει των αδελφών της όταν αυτές μπαίνουν στα χωράφια της.
Γιάννη νομίζω ότι πρέπει να γίνει μια εννοιολογική διόρθωση.
Όλοι οι άξονες δια των σημείων που επιλέγουμε για την περιγραφή της μεταφορικής κίνησης είναι στιγμιαίοι («ισότιμοι» στην περιγραφή), κινούμενοι ή ακίνητοι. Αυτός που έχει καθιερωθεί ως «στιγμιαίος» (και σε πολλά βιβλία) είναι ο ακίνητος (με τα γνωστά πλεονεκτήματά του).
Καλημέρα Ντίνο.
Εννοώ αυτόν τον μηδενικής ταχύτητας που είπες.
Έπειτα δεν καταλαβαίνω γιατί ο στιγμιαίος άξονας δεν είναι επαλληλία κινήσεων.
Είναι αυτονόητο το ότι:
Η ταχύτητα ενός σημείου Β είναι ίση με το διανυσματικό άθροισμα της ταχύτητας οιουδήποτε σημείου Α και της σχετικής ταχύτητας του Β ως προς το Α.
Το παραπάνω ισχύει και τη στιγμή που το Α έχει μηδενική ταχύτητα.
Οπότε πρόκειται πάλι για επαλληλία κινήσεων, ιδιαίτερα βολική.
Το με μπολντ αναγραφέν δεν θα ήταν προσιτό και σε μαθητές να δεν κάναμε πλάκα όπως τώρα που κόψαμε την σχετική ταχύτητα από τη Φυσική;
Την κόψαμε μεν, υπάρχει σε απόδειξη Ντόπλερ δε!!
Καλημέρα σε όλους!
Γιάννη να προσθέσω απλώς ότι (μπορεί και να το υπαίνιχθηκες):
Η σχετική ταχύτητα του Β ως προς το Α είναι πάντοτε κάθετη στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ.
Αυτό προκύπτει εύκολα μαθηματικά αλλά και με τον εξής συλλογισμό: Επειδή το σώμα είναι στερεό, η απόσταση ΑΒ δεν μεταβάλλεται, Άρα η σχετική ταχύτητα το Β ως προς το Α δεν μπορεί να έχει συνιστώσα κατά μήκος του ΑΒ.
Με βάση την πρόταση που σωστά διατυπώνεις, για τον προσδιορισμό της ταχύτητας του σημείου Β, αρκεί να γνωρίζουμε:
Στο ρόλο του σημείου αναφοράς λοιπόν το κέντρο μάζας πλεονεκτεί, όταν γνωρίζουμε τη συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται σε ολόκληρο το σώμα και τη μάζα του σώματος, διότι η επιτάχυνση του κέντρου μάζας προσδιορίζεται και αυτό είναι το πρώτο βήμα για τον προσδιορισμό της ταχύτητάς του. Στην κύλιση (χωρίς ολίσθηση) το κατώτατο σημείο πλεονεκτεί ως σημείο αναφοράς, διότι η ταχύτητά του είναι εξ αρχής γνωστή, δηλαδή εξ ορισμού μηδενική.
Νομίζω ότι αυτά προκύπτουν και από τα σχόλια των συνομιλητών.
Βέβαια στο πλαίσιο της διδακτέας ύλης οι μαθητές δεν απαιτείται να γνωρίζουν όλα αυτά. Ο διδάσκων ωστόσο πρέπει να γνωρίζει πολύ περισσότερα γι’ αυτά που πρόκειται να διδάξει, από αυτά που τελικά θα διδάξει (παλιά, ινδιάνικη παροιμία!).
Καλημέρα Ανδρέα.
Δεν το υπαινίχθηκα θεωρώντας το γνωστό αλλά και βασικό για τον προσδιορισμό του στιγμιαίου κέντρου.
Το βρίσκουμε φέρνωντας δύο καθετες σε δύο ταχύτητες. Το σημείο τομής τους πρέπει να έχει ταχύτητα παράλληλη και στις δύο ταχύτητες, δηλαδή μηδενική ταχύτητα.
Δεν θα την ελεγα επαλληλια κινησεων Γιάννη.Επαλληλια ταχυτητων σκετο.Επαλληλια κινησεων σημαινει η στοιχειωδης μετατοπιση να ειναι αθροισμα στοιχειωδων μετατοπισεων των επιμερους κινησεων κατι που δεν ισχυει οταν εχουμε απλως μια στιγμιαια επαλληλια ταχυτητων οπως στον στιγμιαιο αξονα.
Δεν καταλαβαίνω Κωνσταντίνε.
Γιατί να μιλάμε για επαλληλία ως προς το Κ αλλά όχι ως προς το Α;
Στροφική κίνηση του δίσκου μέχρι το Α να βρεθεί στην θέση που θέλουμε και μεταφορική του δίσκου στη συνέχεια για ίδιο χρόνο.
Αυτό ισχύει και για στοιχειώδεις μετατοπίσεις και για μη στοιχειώδεις.
Την επαλληλία την αντιλαμβάνομαι σε κάθε περίπτωση μέσω παρατηρητών.
Να σου πω τι εννοουσα.Οταν παρουμε μια φωτογραφια ενα τροχο που κυλιεται τοτε λεμε οτι στιγμιαια ο τροχος στρεφεται ως προς αξονα που περναει απο το σημειο επαφης.Η προταση αυτη ειναι ισοδυναμη με την προταση που λεει οτι οτι η ταχυτητα καθε σημειου του τροχου που προκυπτει απο αυτην την κινηση,ειναι το αθροισμα των ταχυτητων που προκυπτουν απο τις δυο αλλες κινησεις που κανει ο τροχος.Μια μεταφορικη παραλληλα με το πατωμα και μια στροφικη ως προς αξονα που περναει απο το κεντρο του.Η προταση ομως οτι η στροφη ως προς τον στιγμιαιο αξονα ειναι επαλληλια των δυο αλλων κινησεων,δεν ειναι σωστη διοτι μια στοιχειωδης στροφη ως προς τον στιγμιαιο αξονα,θα φερει τον τροχο σε θεση που δεν θα ερθει ποτε λογω της πραγματικης του κινησης και αρα η στοιχειωδης μετατοπιση ενος σημειου του τροχου,αποκλειεται να μπορει να ειναι αθροισμα μετατοπισεων των αλλων δυο κινησεων.Αυτο εννοω.Αλλο στιγμιαια επαλληλια ταχυτητων και αλλο επαλληλια κινησεων.
Το σημείο Α μονο μια στιγμή είναι στιγμιαίος άξονας.
Πάρε το Α σε τυχαία θέση.
Περιστρέφουμε τον δίσκο ώσπου να έρθει στο δάπεδο το Α.
Έπειτα εκτελούμε μεταφορική κίνση για ίδιο χρόνο.
Το θεώρημα του Chasles ισχύει και για το Α.
Η επαλληλία κινήσεων δεν διαφέρει ουσιαστικά από αυτήν των ταχυτήτων. Παρατηρητές εξηγούν την μεν, παρατηρητές και την δε.
Ακόμα και μια κυκλική κίνηση μπορεί να θεωρηθεί ως επαλληλία μιας ευθύγραμμης και μιας κυκλοειδούς.
Αυτό ισχύει και για την στοιχειώδη περιστροφή που λες.
Όμως δεν είναι αυτό το θέμα της συζήτησης.
Υπάρχουν δύο λύσεις του προβλήματος που έθεσε ο Ανδρέας. Και οι δύο είναι υπερθέσεις ταχυτήτων, ήτοι πρόσθεση διανυσμάτων. Η δεύτερη είναι βολικότερη διότι το ένα διάνυσμα είναι μηδενικό.
Ναι δεν διαφωνω.Μαλλον μιλαμε για διαφορετικο πραγμα.Αυτο που λες εσυ επαλληλια εγω το ονομαζω σχετικοτητα θεσεων η μετασχηματισμο θεσεων και κατα συνεπεια ταχυτητων.Οχι επαλληλια κινησεων.
Ειναι αυτο που γραφω στην σελιδα 5 αυτου του pdf https://dmarg01.files.wordpress.com/2021/04/20210428.pdf
Eγω μιλαγα για αλλο πραγμα λεγοντας επαλληλια.Αναφερομαι σε δυο διαφορετικες κινησεις που βλεπει ο ιδιοε πσρατηρητης.Αυτο εννοουμε στο στερεο οταν λεμε οτι η τυχαια κινηση του στερεου ειναι επαλληλια μιας μεταφορας και μιας περιστροφης γυρω απο το κεντρο μαζας.Δεν αναφερομαστε σε διαφορετικους παρατηρητες..Ετσι η επαλληλια κινησεων συνεπαγεται επαλληλια ταχυτητων,το αντιστροφο ομως οχι.
Με αυτην την εννοια η δευτερη λυση του Ανδρεα δεν ειναι υπερθεση ταχυτητων.Μια ταχυτητα υπαρχει.Αυτη γυρω απο τον στιγμιαιο αξονα
Καταλαβαίνω.
Απλως το αρχικο σου σχολιο το διαβασα καπως βιαστικα και δεν καταλαβα τι ακριβως εννοουσες.
Εκεί που ο στιγμιαίος άξονας πλεονεκτεί κάθε άλλης λύσης είναι στην άσκηση του Γιώργου Βουμβάκη:
Κινηματική Στερεών.
Φαίνεται χωρίς να πιάσει κανείς μολύβι και ότι η ταχύτητα έχει τη διεύθυνση της ράβδου και πόση είναι. Και χωρίς ημίτονοσυνημίτονα.
Καλημερα Γιάννη.Ναι τωρα το ειδα.Εχουμε ενα ορθογωνιο τριγωνο με γωνιες 30,60 η μια κορυφη του οποιου ειναι στιγμιαιος αξονας και την διαμεσο του ως προς την υποτεινουσα που το χωριζει σε δυο αλλα τριγωνα το ενα εκτων οποιων ειναι ισοπλευρο κλπ…
Καλές Αποκριές Ανδρέα και συνάδελφοι ! Συμφωνώ καταρχήν με την άποψη ότι η Αρχή ανεξαρτησίας των κινήσεων είναι το γενικό και ο στιγμιαίος άξονας περιστροφής το ειδικό, καθώς και ότι ο εν λόγω άξονας δίνει συντομότερες λύσεις σε επιμέρους θέματα. Το κριτήριο επιλογής του στιγμιαίου άξονα είναι ότι ως προς αυτόν και μόνο η κίνηση ενός στερεού δεν είναι σύνθετη, αλλά στροφική. Δεν υπάρχει μεταφορά. Για την περίπτωση της κύλισης είναι πιο απλή υπόθεση – όχι όμως αυτονόητη – και για αυτό, εδώ στο υλικό, έχουν γίνει συζητήσεις επί συζητήσεων . Θα με ενδιέφερε ο συλλογισμός βάσει του οποίου τεκμηριώνει ο καθένας μας ότι στην περίπτωση της άσκησης του Αρτέμιου Σαράντη -στη τελευταία ανάρτηση του- η κίνηση της ράβδου ΒΓ ως προς τον άξονα z είναι ισοδύναμα στροφική… Τούτο το κείμενο σκέφτηκα να το ανεβάσω σαν άρθρο αλλά δεν θα θελα να υπερβάλλω σε αναρτήσεις νέος ων στη ομάδα, όχι στην ηλικία.
Καλημέρα Γιώργο και καλό ΣΚ
Βάλτο στο φόρουμ σαν νέο ερώτημα.
Μην φοβάσαι ότι …υπερβάλλεις!
Ευχαριστώ θα το κάνω.
Καλημέρα σε όλους.Αν η κύλιση χωρίς ολίσθηση του στερεού γινόταν σε επίπεδο-βάση που επιταχυνόταν ,ο βαθμός δυσκολίας επίλυσης δεν θα ήταν παρόμοιος και με τους δύο τρόπους;
Καλημέρα Παύλο.
Μιλάς για άσκηση Κινηματικής ή Δυναμικής;
Γειά σας κύριε Γιάννη και συγνώμη για την καθυστερημένη μου απάντηση. Πολύ καλά καταλάβατε ότι εννοούσα από δυναμική μελέτη να ξεκινήσουμε και να καταλήξουμε σε κινηματική. Λάθος μου που δε το διευκρίνησα.
Τότε Παύλο ίσως αρκεί η συνθήκη μη ολίσθησης.
Δηλαδή ότι αcm+αγ.R=α(υποβάθρου).
Ίσως και πιο γρηγορα, με διατήρηση στροφορμής ως προς σημείο επαφής. Έχω γράψει:
Ότι και να κάνεις φίλε θα ακινητοποιηθεί.
Εκεί ουδεμία συνθήκη γράφω και δεν χρησιμοποιώ στιγμιαίο άξονα.
Ναι συμφωνώ, ο στιγμιαίος άξονας περιστροφής μπορεί να << βολεύει >> σε ασκήσεις κίνησης στερεού σε ακίνητο υπόβαθρο αλλά δεν είναι κανόνας.Ευχαριστώ για τις απαντήσεις σας,καλή καθαρά Δευτέρα να έχετε.
Τίποτα δεν είναι κανόνας.
Με κάνεις να σκέφτομαι εφαρμογές του σε κινούμενο υποβαθρο, κάτι που ομολογώ δεν έχω ξανακάνει.
Καλή Καθαρή Δευτέρα.