by Γ’ Λυκείου, Σχολικό Βιβλίο, Γ’ Τεύχος
Πρόβλημα 4.70
Οι άξονες δύο ομοίων κυλίνδρων Κ1 και Κ2 είναι παράλληλοι, βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο και σε απόσταση d. Αφήνουμε μία ισοπαχή ομογενή σανίδα Σ πάνω στους κυλίνδρους έτσι ώστε το μέσον της να βρίσκεται πάνω από το μέσον της απόστασης Κ1Κ2, και με κατάλληλο μηχανισμό βάζουμε τους κυλίνδρους σε περιστροφή, όπως δείχνει το σχήμα 4-74. Μετατοπίζουμε λίγο τη σανίδα από τη θέση ισορροπίας της και την αφήνουμε ελεύθερη. Να βρείτε την περίοδο της ταλάντωσης που θα εκτελέσει. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης της σανίδας με τους κυλίνδρους είναι μκ, και η επιτάχυνση της βαρύτητας g.
Αντιγράφω από το Σχολικό Βιβλίο: Λύσεις των Ασκήσεων του Γ’ Τεύχους:
Εάν η σανίδα κάνει απλή αρμονική ταλάντωση θα ισχύουν
ΣFx = -Dx
ΣFy = 0
Στ = 0 (ως προς οποιοδήποτε σημείο)
Για μια τυχαία θέση στην οποία η σανίδα είναι μετατοπισμένη κατά x σε σχέση με την αρχική της θέση θα έχουμε
ΣFx = T1 – T2 = μκ n1 – μκ n2
Το Πρόβλημα δεν ζητά να αποδείξουμε ότι η σανίδα θα κάνει απλή αρμονική ταλάντωση. Θεωρεί ως δεδομένο ότι αυτό συμβαίνει και ζητά τη περίοδο και γι’ αυτό στη λύση διατυπώνεται η υπόθεση: “Εάν η σανίδα κάνει απλή αρμονική ταλάντωση…”
Προκύπτει λοιπόν το ερώτημα: Η σανίδα θα κάνει πράγματι ΑΑΤ;
Με άλλα λόγια:
(α) Πώς ξέρουμε ότι: Στ = 0 (ως προς οποιοδήποτε σημείο);
Αρχικά το μόνο που γνωρίζουμε είναι ότι: Στ = Ι αγων (ως προς το κέντρο μάζας της σανίδας).
(β) Παρατήρηση του μαθητή μου Π. Χ.: Πώς ξέρουμε ότι οι δυνάμεις τριβής έχουν συνεχώς την κατεύθυνση που φαίνεται στο Σχήμα της Λύσης; Για παράδειγμα αν κάποια στιγμή η ταχύτητα της σανίδας προς τα δεξιά είναι μεγαλύτερη από τη γραμμική ταχύτητα των σημείων της περιμέτρου του αριστερού κυλίνδρου, ο αριστερός κύλινδρος θα εμποδίζει τη σανίδα να κινείται προς τα δεξιά. Σ’ αυτή την περίπτωση λοιπόν η τριβή από τον αριστερό κύλινδρο θα κατευθύνεται προς τα αριστερά.
Προσοχή: Στο Σχήμα της Λύσης η φορά περιστροφής των κυλίνδρων έχει σχεδιαστεί λανθασμένα. Η σωστή φορά φαίνεται στο Σχήμα της εκφώνησης.
Συγγνώμη, αν κάνω κάποιο τρομερό λάθος, αλλά οι οδηγίες δεν λένε να μην διδαχθεί αυτή η άσκηση;
Καλημέρα. Η συνθήκη Στ=0 ισχύει για όλα τα σημεία του φορέα της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας. Στην άσκηση του σχολικού η σανίδα θεωρείται αμελητέου πάχους -ύψους (θεωρείται απλή ευθεια) επομένως η σανιδα ταυτίζεται με τον φορέα της επιτάχυνσης του κ.μ και ισχύει για οποιοδήποτε σημείο της σανίδας. Αν η σανίδα έχει ύψος τότε ισχύει μόνο ως προς κ.μ ή για κάθε σημείο του φορέα της ακμ.
Καλημέρα Γιάννη.
Θεωρώ ότι το συγκεκριμένο πρόβλημα έχει διδακτική αξία, διότι αναδεικνύεται ότι σε μια αμιγώς μεταφορική κίνηση υπάρχουν ροπές. Απλώς η ολική ροπή είναι μηδενική. Εξυπηρετεί λοιπόν τη διδασκαλία μας. Μήπως κάπου έχουν αναφερθεί οι λόγοι για τους οποίους απαγορεύεται να διδαχθεί;
Καλημέρα Αριστείδη (Άρη;)
Για να ισχύει η συνθήκη Στ=0 πρέπει η σανίδα να μην στρέφεται. Αλλά πώς ξέρουμε ότι δεν θα στραφεί;
Καλημέρα. Προφανώς και κάθε πρόβλημα έχει κάποια διδακτική αξία και προφανώς δεν “απαγορεύεται” να διδάξουμε ότι θέλουμε. Η απορία μου είναι γιατί να διδάξουμε κάτι που δεν υπάρχει περίπτωση να ζητηθεί στις εξετάσεις των μαθητών. Σκοπός μας δεν είναι να προετοιμάσουμε τους μαθητές μας για αυτά που θα τους ζητήσουν στις εξετάσεις;
Καλημέρα Ανδρέα.
Η εκφώνηση θεωρεί ως δεδομένο ότι η κίνηση είναι ταλάντωση. Άρα δεν απαιτείται απόδειξη.
Η σανίδα θα κάνει ΑΑΤ; Το ερώτημα των 1.000€! Η κίνηση είναι μια αρμονική ταλάντωση, αλλά δεν είναι ΑΑΤ! Δεν υπάρχει μια ποσότητα ενέργειας η οποία μετατρέπεται από δυναμική σε κινητική και αντίστροφα. Υπάρχει εξωτερική διέγερση μέσω της οποίας μεταφέρεται διαρκώς ενέργεια στην σανίδα και συνεχώς κάποια ενέργεια υποβαθμίζεται μέσω του έργου των τριβών σε εσωτερική (θερμική) ενέργεια και τελικά μεταφέρεται στο περιβάλλον μέσω θερμότητας.
Η σανίδα δεν περιστρέφεται, άρα μπορούμε να πάρουμε Στ=0, αλλά μόνο ως προς το κέντρο μάζας της σανίδας. Όχι ως προς οποιοδήποτε σημείο, αφού έχουμε επιταχυνόμενο στερεό σώμα. Και αυτό ανεξάρτητα αν εδώ, θεωρώντας λεπτή τη σανίδα, βγαίνει το Στ=0, ως προς οποιοδήποτε σημείο.
Όσον αφορά το ερώτημα του μαθητή σου, ποτέ η σανίδα δεν έχει μεγαλύτερη ταχύτητα από την γραμμική ταχύτητα των σημείων των δύο κυλίνδρων.
Ανδρέα για την συγκεκριμένη άσκηση το πάχος της ράβδου είναι αμελητέο και οι τριβες διέρχονται από το κ.μ., δεν υπάρχει περίπτωση περιστροφής. Αν έχει πάχος φυσικά υπάρχει δυνατότητα περιστροφής λόγω των ροπων των τριβων ολίσθησης ως προς το κ.μ
Εύλογη ερώτηση. Ωστόσο στις εξετάσεις δεν ζητιούνται ερωτήσεις, ασκήσεις και προβλήματα του βιβλίου. Εξετάζεται πόσο οι μαθητές έχουν αφομοιώσει τη διδακτέα ύλη. Νομίζω λοιπόν ότι οτιδήποτε βοηθά τους μαθητές προς αυτή την κατεύθυνση θα πρέπει να αξιοποιείται. Και το συγκριμένο πρόβλημα έχει αυτή την αξία: πρόκειται αμιγώς για θέμα φυσικής, χωρίς περίεργη γεωμετρία, άλγεβρα κλπ. Αναρωτιέμαι λοιπόν αν κάπου έχουν αναφερθεί ή καταγραφεί οι λόγοι απαγόρευσης της διδασκαλίας του.
Από που προκύπτει ότι δεν ζητούνται θέματα από το σχολικό; Πρόχειρα θυμάμαι τουλάχιστον 10 (σχετικά πρόσφατα) θέματα που είναι από το σχολικό. Τότε για ποιό λόγο υπάρχουν ασκήσεις στο σχολικό; Για ποιό λόγο δίνονται οδηγίες διδασκαλίας για το σχολικό;
Ακόμα και όταν η ροπή των τριβών είναι μηδενική (σε σανίδα χωρίς πάχος), νομίζω ότι θα πρέπει να λάβουμε υπόψη μας τις ροπές των δυνάμεων Ν1 και Ν2 ως προς το ΚΜ.
Διονύση καλημέρα.
Ανάφερα στην ανάρτησή μου ότι αν θεωρήσουμε δεδομένο ότι η σανίδα εκτελεί ταλάντωση, η προτεινόμενη λύση είναι αποδεκτή.
Αν ωστόσο δεν στηριχτούμε σ’ αυτό το δεδομένο, τότε: Γιατί Στ = 0, ως προς το ΚΜ; Γιατί “ποτέ η σανίδα δεν έχει μεγαλύτερη ταχύτητα από την γραμμική ταχύτητα των σημείων των δύο κυλίνδρων”;
Καλημέρα σε όλους. Μια ανάρτηση του αείμνηστου Βαγγέλη Κορφιάτη, που άπτεται του θέματος Ένας αρμονικός ταλαντωτής χωρίς ελατήριο
Καλημερα Ανδρέα.καλημερα σε ολους.
1.Η ασκηση ειναι εκτος υλης.Τι σημαινει αυτο? Ειναι προφανες τι σημαινει.
Ισοδυναμει με μια δηλωση οτι η συγκεκριμενη ασκηση δεν προκειται να μπει ως θεμα στις εξετασεις.Τα επιμερους βηματα που περιεχει ομως ,οπως ας πουμε η ισορροπια μιας ραβδου που παταει πανω σε δυο στηριγματα δεν ειναι εκτος υλης.Νομιζω οτι ενας καθηγητης δεν λυνει ασκησεις προσπαθωντας να προβλεψει ποια ασκηση θα πεσει,αλλα για να καλυψει καποιες μεθοδους και να ακονιζει και το μυαλο.Η προβλεψη χρειαζεται χαρτοριχτρα η καφετζου και οχι καθηγητη.Επομενως ειναι πολυ λογικο ενας καθηγητης να λυσει αυτην την ασκηση μαζι με τους μαθητες του και ας ειναι εκτος υλης.
2.Νομιζω οτι για να βρει κανεις την περιοδο πρεπει να βρει πρωτα την σταθερα ταλαντωσης αρα ειναι σαν να εχει αποδειξει οτι κανει ΑΑΤ.
3.Διονυση παλι τα ιδια.Αφου επιμενεις θα επιμενω και εγω.Το σχολικο στην σελιδα 10 πρωτη ,δευτερη και τριτη σειρα,γραφει οτι αν η απομακρυνση ενος σωματος δινεται απο την εξισωση x=Αημωt τοτε η κίνηση του σώματος ονομάζεται απλή αρμονική ταλάντωση (ΑΑΤ).Ενεργειες που υποβαθμιζονται και τριβες και θερμοτητες που παραγονται και ο αερας που ζεσταινεται κλπ δεν παιζουν κανενα ρολο.Ο ορισμος της ΑΑΤ ειναι σαφης και ειναι καθαρα κινηματικος.
Γιάννη έχεις δίκιο. Πράγματι ζητούνται θέματα και από το σχολικό. Ωστόσο ο στόχος της Εξέτασης δεν είναι αυτός, αλλά ο έλεγχος αφομοίωσης της ύλης. Κι αυτό το σκοπό εξυπηρετούν οι ερωτήσεις, οι ασκήσεις και τα προβλήματα του σχολικού βιβλίου. Γνωρίζεις για ποιο λόγο έχει εξαιρεθεί το συγκεκριμένο θέμα;
Αν οι ροπές των τριβων είναι μηδέν στη ράβδο αμελητεου πάχους τότε η ράβδος ισορροπεί στροφικα ως προς κ.μ. οι ροπές των Ν1 και Ν2 δεν περιστρέφουν την ραβδο όσο το κ.μ κινείται μεταξύ των σημείων επαφής.