Ταλάντωση Στερεού Σώματος

Γ’ Λυκείου, Σχολικό Βιβλίο, Γ’ Τεύχος
Πρόβλημα 4.70

Οι άξονες δύο ομοίων κυλίνδρων Κ1 και Κ2 είναι παράλληλοι, βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο και σε απόσταση d. Αφήνουμε μία ισοπαχή ομογενή σανίδα Σ πάνω στους κυλίνδρους έτσι ώστε το μέσον της να βρίσκεται πάνω από το μέσον της απόστασης Κ1Κ2, και με κατάλληλο μηχανισμό βάζουμε τους κυλίνδρους σε περιστροφή, όπως δείχνει το σχήμα 4-74. Μετατοπίζουμε λίγο τη σανίδα από τη θέση ισορροπίας της και την αφήνουμε ελεύθερη. Να βρείτε την περίοδο της ταλάντωσης που θα εκτελέσει. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης της σανίδας με τους κυλίνδρους είναι μκ, και η επιτάχυνση της βαρύτητας g.
Αντιγράφω από το Σχολικό Βιβλίο: Λύσεις των Ασκήσεων του Γ’ Τεύχους:

Εάν η σανίδα κάνει απλή αρμονική ταλάντωση θα ισχύουν
ΣFx = -Dx
ΣFy = 0
Στ = 0 (ως προς οποιοδήποτε σημείο)
Για μια τυχαία θέση στην οποία η σανίδα είναι μετατοπισμένη κατά x σε σχέση με την αρχική της θέση θα έχουμε
ΣFx = T1 – T2 = μκ n1 – μκ n2
Το Πρόβλημα δεν ζητά να αποδείξουμε ότι η σανίδα θα κάνει απλή αρμονική ταλάντωση. Θεωρεί ως δεδομένο ότι αυτό συμβαίνει και ζητά τη περίοδο και γι’ αυτό στη λύση διατυπώνεται η υπόθεση: “Εάν η σανίδα κάνει απλή αρμονική ταλάντωση…”
Προκύπτει λοιπόν το ερώτημα: Η σανίδα θα κάνει πράγματι ΑΑΤ;
Με άλλα λόγια:
(α) Πώς ξέρουμε ότι: Στ = 0 (ως προς οποιοδήποτε σημείο);
Αρχικά το μόνο που γνωρίζουμε είναι ότι: Στ = Ι αγων (ως προς το κέντρο μάζας της σανίδας).
(β) Παρατήρηση του μαθητή μου Π. Χ.: Πώς ξέρουμε ότι οι δυνάμεις τριβής έχουν συνεχώς την κατεύθυνση που φαίνεται στο Σχήμα της Λύσης; Για παράδειγμα αν κάποια στιγμή η ταχύτητα της σανίδας προς τα δεξιά είναι μεγαλύτερη από τη γραμμική ταχύτητα των σημείων της περιμέτρου του αριστερού κυλίνδρου, ο αριστερός κύλινδρος θα εμποδίζει τη σανίδα να κινείται προς τα δεξιά. Σ’ αυτή την περίπτωση λοιπόν η τριβή από τον αριστερό κύλινδρο θα κατευθύνεται προς τα αριστερά
Προσοχή: Στο Σχήμα της Λύσης η φορά περιστροφής των κυλίνδρων έχει σχεδιαστεί λανθασμένα. Η σωστή φορά φαίνεται στο Σχήμα της εκφώνησης.
(Visited 1.181 times, 1 visits today)
Subscribe
Ειδοποίηση για
45 Σχόλια
Inline Feedbacks
Όλα τα σχόλια
Ιωάννης Ράπτης
3 μήνες πριν

Συγγνώμη, αν κάνω κάποιο τρομερό λάθος, αλλά οι οδηγίες δεν λένε να μην διδαχθεί αυτή η άσκηση;

Ιωάννης Ράπτης
3 μήνες πριν
Απάντηση σε  Ανδρέας Βαλαδάκης

Καλημέρα. Προφανώς και κάθε πρόβλημα έχει κάποια διδακτική αξία και προφανώς δεν “απαγορεύεται” να διδάξουμε ότι θέλουμε. Η απορία μου είναι γιατί να διδάξουμε κάτι που δεν υπάρχει περίπτωση να ζητηθεί στις εξετάσεις των μαθητών. Σκοπός μας δεν είναι να προετοιμάσουμε τους μαθητές μας για αυτά που θα τους ζητήσουν στις εξετάσεις;

Ιωάννης Ράπτης
3 μήνες πριν
Απάντηση σε  Ανδρέας Βαλαδάκης

Από που προκύπτει ότι δεν ζητούνται θέματα από το σχολικό; Πρόχειρα θυμάμαι τουλάχιστον 10 (σχετικά πρόσφατα) θέματα που είναι από το σχολικό. Τότε για ποιό λόγο υπάρχουν ασκήσεις στο σχολικό; Για ποιό λόγο δίνονται οδηγίες διδασκαλίας για το σχολικό;

Μαρκαντωνάτος Αριστείδης

Καλημέρα. Η συνθήκη Στ=0 ισχύει για όλα τα σημεία του φορέα της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας. Στην άσκηση του σχολικού η σανίδα θεωρείται αμελητέου πάχους -ύψους (θεωρείται απλή ευθεια) επομένως η σανιδα ταυτίζεται με τον φορέα της επιτάχυνσης του κ.μ και ισχύει για οποιοδήποτε σημείο της σανίδας. Αν η σανίδα έχει ύψος τότε ισχύει μόνο ως προς κ.μ ή για κάθε σημείο του φορέα της ακμ.

Διονύσης Μάργαρης
Διαχειριστής
3 μήνες πριν

Καλημέρα Ανδρέα.
Η εκφώνηση θεωρεί ως δεδομένο ότι η κίνηση είναι ταλάντωση. Άρα δεν απαιτείται απόδειξη.
Η σανίδα θα κάνει ΑΑΤ; Το ερώτημα των 1.000€! Η κίνηση είναι μια αρμονική ταλάντωση, αλλά δεν είναι ΑΑΤ! Δεν υπάρχει μια ποσότητα ενέργειας η οποία μετατρέπεται από δυναμική σε κινητική και αντίστροφα. Υπάρχει εξωτερική διέγερση μέσω της οποίας μεταφέρεται διαρκώς ενέργεια στην σανίδα και συνεχώς κάποια ενέργεια υποβαθμίζεται μέσω του έργου των τριβών σε εσωτερική (θερμική) ενέργεια και τελικά μεταφέρεται στο περιβάλλον μέσω θερμότητας.
Η σανίδα δεν περιστρέφεται, άρα μπορούμε να πάρουμε Στ=0, αλλά μόνο ως προς το κέντρο μάζας της σανίδας. Όχι ως προς οποιοδήποτε σημείο, αφού έχουμε επιταχυνόμενο στερεό σώμα. Και αυτό ανεξάρτητα αν εδώ, θεωρώντας λεπτή τη σανίδα, βγαίνει το Στ=0, ως προς οποιοδήποτε σημείο.
Όσον αφορά το ερώτημα του μαθητή σου, ποτέ η σανίδα δεν έχει μεγαλύτερη ταχύτητα από την γραμμική ταχύτητα των σημείων των δύο κυλίνδρων.

Μαρκαντωνάτος Αριστείδης

Ανδρέα για την συγκεκριμένη άσκηση το πάχος της ράβδου είναι αμελητέο και οι τριβες διέρχονται από το κ.μ., δεν υπάρχει περίπτωση περιστροφής. Αν έχει πάχος φυσικά υπάρχει δυνατότητα περιστροφής λόγω των ροπων των τριβων ολίσθησης ως προς το κ.μ

Μαρκαντωνάτος Αριστείδης
Απάντηση σε  Ανδρέας Βαλαδάκης

Αν οι ροπές των τριβων είναι μηδέν στη ράβδο αμελητεου πάχους τότε η ράβδος ισορροπεί στροφικα ως προς κ.μ. οι ροπές των Ν1 και Ν2 δεν περιστρέφουν την ραβδο όσο το κ.μ κινείται μεταξύ των σημείων επαφής.

Αποστόλης Παπάζογλου
Αρχισυντάκτης

Καλημέρα σε όλους. Μια ανάρτηση του αείμνηστου Βαγγέλη Κορφιάτη, που άπτεται του θέματος Ένας αρμονικός ταλαντωτής χωρίς ελατήριο

Αποστόλης Παπάζογλου
Αρχισυντάκτης
Διονύσης Μάργαρης
Διαχειριστής
3 μήνες πριν

Καλημέρα Αποστόλη.
Τελικά είχες και το αρχείο!!!
Το βρήκα και γω και διόρθωσα και τον σύνδεσμο στην ανάρτηση του Βαγγέλη…

Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος

Καλημερα Ανδρέα.καλημερα σε ολους.
1.Η ασκηση ειναι εκτος υλης.Τι σημαινει αυτο? Ειναι προφανες τι σημαινει.
Ισοδυναμει με μια δηλωση οτι η συγκεκριμενη ασκηση δεν προκειται να μπει ως θεμα στις εξετασεις.Τα επιμερους βηματα που περιεχει ομως ,οπως ας πουμε η ισορροπια μιας ραβδου που παταει πανω σε δυο στηριγματα δεν ειναι εκτος υλης.Νομιζω οτι ενας καθηγητης δεν λυνει ασκησεις προσπαθωντας να προβλεψει ποια ασκηση θα πεσει,αλλα για να καλυψει καποιες μεθοδους και να ακονιζει και το μυαλο.Η προβλεψη χρειαζεται χαρτοριχτρα η καφετζου και οχι καθηγητη.Επομενως ειναι πολυ λογικο ενας καθηγητης να λυσει αυτην την ασκηση μαζι με τους μαθητες του και ας ειναι εκτος υλης.
2.Νομιζω οτι για να βρει κανεις την περιοδο πρεπει να βρει πρωτα την σταθερα ταλαντωσης αρα ειναι σαν να εχει αποδειξει οτι κανει ΑΑΤ.
3.Διονυση παλι τα ιδια.Αφου επιμενεις θα επιμενω και εγω.Το σχολικο στην σελιδα 10 πρωτη ,δευτερη και τριτη σειρα,γραφει οτι αν η απομακρυνση ενος σωματος δινεται απο την εξισωση x=Αημωt τοτε η κίνηση του σώματος ονομάζεται απλή αρμονική ταλάντωση (ΑΑΤ).Ενεργειες που υποβαθμιζονται και τριβες και θερμοτητες που παραγονται και ο αερας που ζεσταινεται κλπ δεν παιζουν κανενα ρολο.Ο ορισμος της ΑΑΤ ειναι σαφης και ειναι καθαρα κινηματικος.

Τελευταία διόρθωση3 μήνες πριν από Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος
Βαγγέλης Κουντούρης

για τον ορισμό της ΑΑΤ ή ΓΑΤ, Κωνσταντίνε, οι “παλιοί” έχουμε “χιλιοσκοτωθεί” εδώ μέσα, από το 2009 νομίζω, αλλά και πάλι συνάδελφοι και φίλοι παραμένουμε,
άντε να τελειώνουμε με αυτόν τον κορωνοτέτοιο να ξαναμαζευτούμε κάπου, ψησταριά, μαγέρικο, ωραίες τοποθεσίες…
η, πολλές φορές, κατατεθειμένη θέση μου είναι πάγια και καθαρή σε σχέση για τον ορισμό φυσικού μεγέθους ή φαινομένου ή κατάστασης
ο ορισμός
είναι πρωταρχική έννοια και δεν αποδεικνύεται
είναι ένας και μοναδικός, και άρα κυρίαρχος
φυσικά και προηγείται της όποιας ερμηνείας, των όποιων αιτιών προκαλούν κάποιο φαινόμενο, τις οποίες και θα μάθουμε, αν τις μάθουμε κιόλας, αργότερα
εν ολίγοις η δική μου τοποθέτηση είναι ότι ο ορισμός της ταλάντωσης γίνεται επί τη βάσει αυτού που εγώ ως παρατηρητής αντιλαμβάνομαι και όχι επί τη βάσει αυτού που το προκαλεί, διότι αυτό μπορεί και να μην το μάθω ποτέ
και για την ιστορία:
στο σχολικό βιβλίο της Β Λυκείου Γενικής, υπήρχε ένα κεφάλαιο με τίτλο “Ταλαντώσεις”, που, ίσως, δεν το πρόλαβες, διότι κάποιος “φωτισμένος” στο υπουργείο παιδείας το αφαίρεσε ολόκληρο (!) και μαζί του και την αναλυτική μελέτη του συστήματος “κατακόρυφο ελατήριο-σώμα”, όταν στο σχολικό βιβλίο της Γ Κατεύθυνσης υπάρχει σαν άσκηση το εύκολο “οριζόντιο ελατήριο-σώμα”, καλά το “φουκαριάρικο” το απλό εκκρεμές, ο τρόπος υλοποίησης της μονάδας χρόνου 1s, στα μπάζα, φάουλ, κίτρινη κάρτα, αμαρτία…
και επειδή συμβαίνει να γνωρίζω “προσωπικά” αυτόν που έγραψε το καρατομηθέν κεφάλαιο των Ταλαντώσεων στο σχολικό βιβλίο Φυσικής της Β Λυκείου, διδάσκεται από το έτος 2000, δεν πρόκειται για απλή συνωνυμία, εφτά φορές, αριθμός7, ξαναγραμμένο με διορθώσεις στο χέρι, διότι δεν γνώριζε από υπολογιστή τότε, 1997, ίσως ούτε και τώρα, κατανοώ και συμπαραστέκομαι στη διαμαρτυρία του, καλά ρε συ “φωτισμένε” γιατί δεν τον ενημέρωσες, δεν ζήτησες καν τη γνώμη του, δεν σεβάστηκες τον μόχθο του, θα μπορούσε να σου προτείνει κάποια τμήματα να ενσωματωθούν στο βιβλίο της Γ Λυκείου, χωρίς καμία αμοιβή, καμία, διότι τέτοιος παλιοχαραχτήρας είναι…
.comment image

Τελευταία διόρθωση3 μήνες πριν από Διονύσης Μάργαρης
Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος

Για να μπορουνε να συνεννοουνται οι ανθρωποι μεταξυ τους στα Μαθηματικα και την Φυσικη πρεπει να χρησιμοποιουν τους ιδιους ορισμους.αλλοιως γινεται Βαβελ και Μπαχαλο.
Η κοινη βασις της Φυσικης του Λυκειου ειναι τα Σχολικα Βιβλια και οταν διδασκουμε μαθητες χρησιμοποιουμε τους ορισμους των σχολικων βιβλιων..Κατι διαφορετικο δημιουργει τεραστια ανωμαλια και ειναι αδικαιολογητο.Ο ορισμος της ΓΑΤ η της ΑΑΤ ειναι κινηματικος .Και εσυ οταν μετο καλο πηγες στο Πανεπιστημιο ακολουθουσες τους ορισμους του Καισαρος δεν εβγαζες δικα σου.Ειναι σαν να διαφωνω εγω για τι οτι σε λενε Βαγγέλη.Τα υπολοιπα ειναι Αλλα λογια ν αγαπιομαστε.

Τελευταία διόρθωση3 μήνες πριν από Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος
Διονύσης Μάργαρης
Διαχειριστής
3 μήνες πριν

Καλημέρα Κωνσταντίνε
Προτιμώ να τονίσω μια συμφωνία μας, παρά την μόνιμη διαφωνία μας.
Νομιζω οτι ενας καθηγητης δεν λυνει ασκησεις προσπαθωντας να προβλεψει ποια ασκηση θα πεσει,αλλα για να καλυψει καποιες μεθοδους και να ακονιζει και το μυαλο.”
Συμφωνώ!

Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος
Απάντηση σε  Διονύσης Μάργαρης

Καλημέρα Διονύση 🙂

Διονύσης Μάργαρης
Διαχειριστής
3 μήνες πριν

Καλημέρα και πάλι Ανδρέα.
Έστω ότι έχουμε την ράβδο του σχήματος, η οποία πέφτει ελεύθερα. Χωρίς να στρέφεται, εκτελώντας μεταφορική επιταχυνόμενη κίνηση.
comment image

Πόση είναι η συνολική ροπή ως προς το άκρο Α; Προφανώς διάφορη του μηδενός! Αυτό σημαίνει ότι αποκτά γωνιακή επιτάχυνση και θα αρχίσει να περιστρέφεται; Προφανώς όχι. Άρα Στ =0 ως προς το κέντρο μάζας Κ (για την ακρίβεια έχει δίκιο ο Αριστείδης. Ο 2ος νόμος εφαρμόζεται για το κέντρο μάζας και για όλα τα σημεία του φορέα της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας, γι΄ αυτό προηγούμενα μίλησα για λεπτή σανίδα, οπότε κάθε σημείο της μπορεί να θεωρηθεί ότι βρίσκεται στον φορέα της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας…).

 Όσον αφορά την ταχύτητα, έστω μια θέση όπως στο σχήμα όπου η γραμμική ταχύτητα του 1ου κυλίνδρου είναι προς τα δεξιά και η σανίδα κινείται επίσης προς τα δεξιά. Τότε η τριβή Τ1 είναι τριβή ολίσθησης με φορά προς τα δεξιά.
.comment image
.

Αν αυξηθεί η ταχύτητα της σανίδας και κάποια στιγμή γίνει ίση με την υγρ θα μηδενιστεί η τριβή. Πώς θα αυξηθεί παραπέρα τη ταχύτητα της σανίδας; Δεν μπορεί να συμβεί…
(δεν ασχολούμαστε στη φάση αυτή με τον Κ2, αφού η αντίστοιχη τριβή τείνει να μειώσει την ταχύτητα της σανίδας.)

Διονύσης Μάργαρης
Διαχειριστής
3 μήνες πριν
Απάντηση σε  Ανδρέας Βαλαδάκης

Ανδρέα δανείζομαι μια εξίσωση από το αρχείο του Βαγγέλη Κορφιάτη, που παρέπεμψε παραπάνω ο Αποστόλης, για την περίπτωση που η σανίδα δεν είναι λεπτή.
.comment image
.
Από την στιγμή που παρουσιάζουν ροπές και οι δύο τριβές ολίσθησης (διαφορετικού μέτρου σε όλες τις θέσεις πλην της Θ.Ι.) οι ροπές των δύο Ν δεν μπορεί να δίνουν μηδενική συνισταμένη.
Αν οι ροπές των δύο τριβών θεωρηθούν αμελητέες (περίπτωση λεπτής ράβδου) τότε η συνισταμένη των ροπών των Ν1 και Ν2, θα είναι μηδενική.
Γιατί; Γιατί το πείραμα δείχνει ότι η λεπτή σανίδα δεν θα αποκτήσει γωνιακή επιτάχυνση και δεν θα περιστραφεί…

Πάνος Μουρούζης
3 μήνες πριν
Απάντηση σε  Διονύσης Μάργαρης

Την καλημέρα μου από Κέρκυρα
Η παραπάνω άσκηση έγινε μελετήθηκε εκτενώς και παρουσιάστηκε στο Physics on Stage πριν από αρκετά χρόνια.
http://dide.ker.sch.gr/ekfe/epiloges/3_prot_peiramata/talantosi/12_armoniki_talantosi.htm

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Γεια σας παιδιά.
Μια προσομοίωση και από μένα.
Ας το δούμε:
Βάλτε ω= 1 και ω=2. Όλα μάλλον όμορφα.
Βάλτε μετά ω=0,1 και ω=0,2. Κάτι “περίεργο” θα δούμε.
Η ακρίβεια είναι πολύ καλή.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Το πρόβλημα υπάρχει μέχρι το ω= 0,6. Μετά εξαφανίζεται.
Γιατί το πείραμα του Πάνου αλλά και του ΕΚΦΕ Καλλίπολης δεν δείχνουν το πρόβλημα αυτό;
Φυσικά διότι γυρίζουν γρήγορα οι τροχοί.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Για όσους δεν έχουν το i.p. ας πω ότι η ράβδος έχει εκτραπεί κατά μισό μέτρο.
Με γρήγορη περιστροφή το πλάτος είναι μισό μέτρο.
Με πολύ αργή περιστροφή το πλάτος γίνεται 7 πόντοι. Η αρχική κίνηση είναι σχεδόν ευθύγραμμη και ομαλή!
Η άσκηση δεν έχει διερευνηθεί καλά. Και στο κομμάτι που πριν χρόνια εντόπισε ο Βαγγέλης και στο σημείο της αργής περιστροφής.

Η ερώτηση του μαθητή:
-Και που ξέρουμε ότι…..
έχει βάση.

Τελευταία διόρθωση3 μήνες πριν από Γιάννης Κυριακόπουλος
Αντρέας Οικονόμου
3 μήνες πριν

Η τριβή ολίσθησης, ως δύναμη επαναναφοράς, θα συνδεθεί με τη δυναμική της ταλάντωσης. Μη συντηρητική δύναμη δηλαδή θα συνδεθεί με δυναμική ενέργεια. Εδώ πιθανώς θα δυσκολευτεί κάποιος να το αιτιολογήσει στον επίμονο 17χρονο που έχει αρχίσει να «παίρνει μυρωδιά»….

Διονύσης Μάργαρης
Διαχειριστής
3 μήνες πριν
Απάντηση σε  Αντρέας Οικονόμου

Καλησπέρα Αντρέα.
Γι΄ αυτό παραπάνω μίλησα για αρμονική ταλάντωση και όχι για ΑΑΤ…

Κώστας Ψυλάκος
Αρχισυντάκτης
3 μήνες πριν

Ειναι ενα θεμα που μας εχει απασχολησει και στο παρελενθον. Ηθελα να βρω μια μελετη του θεματος που ειχε κανει ο Πανος Μουστακας και την ειχε ανεβασει στο ylikonet παλια .

Τελικα την βρηκα και δινω το link

εχει και την μελετη του Β. Κορφιατη εκει .

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης
Απάντηση σε  Κώστας Ψυλάκος

Ο Πάνος Μουστάκας δίνει τελικά την απάντηση.
Αύξησα τους συντελεστές τριβής από 0,3 σε 1.
Το πλάτος αντί μισό μέτρο έγινε 5 πόντοι.

Κώστας Ψυλάκος
Αρχισυντάκτης
3 μήνες πριν

Γιαννη απο το πρωι που το ειδα εψαξα στα χαρτια μου για να το βρω γιατι το ειχα εκτυπωσει . Ειχα δουλεια ομως και το αφησα να το κανω μολις τελειωσω . Ετσι το βρηκα και εδωσα το λινκ και το μελετω εκ νεου …..επαναληψη .

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης
Απάντηση σε  Κώστας Ψυλάκος

Κώστα τότε (2013) δεν είχαμε προσέξει τον περιορισμό που ο Πάνος Μουστάκας είχε γράψει.
Ο Ανδρέας σήμερα έθεσε το θέμα του αν η μία τριβή μπορεί να είναι στατική. Έτσι εξηγείται η ευθύγραμμη και ομαλή κίνηση που αρχικά παρατηρείται με τα μικρά ω. Έτσι εξηγείται και η μέιωση του πλάτους (αν το πούμε πλάτος).
Οι σχέσεις του Πάνου Μουστάκα το υπολογίζουν.

Η παρατήρηση του μαθητή του Ανδρέα καίρια!

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Στην προσομοίωση τότε δεν είχα βάλει μικρές ω μη προσέχοντας την συνθήκη του Πάνου Μουστάκα.