by Στο σχήμα φαίνεται μία ομογενής ράβδος μήκους L = 3m και μάζας M = 2kg, στην οποία έχουμε ενσωματώσει ένα σώμα Σ1 αμελητέων διαστάσεων. Το σώμα Σ1 έχει μάζα m1 = 1,6kg και απέχει από το άκρο Α της ράβδου απόσταση d1 = L/4. Πάνω στη ράβδο είναι τοποθετημένο ένα δεύτερο σώμα Σ2 αμελητέων διαστάσεων και μάζας m2 = 0,6kg. Το σώμα Σ2 έρχεται σε επαφή με το σημείο Γ της ράβδου, το οποίο απέχει από το άλλο άκρο Β της ράβδου απόσταση d2 = L/6. Η ράβδος στηρίζεται με το άκρο της Α σε κατακόρυφο τοίχο μέσω άρθρωσης. Η ράβδος συγκρατείται με νήμα το οποίο είναι συνδεδεμένο στον τοίχο και το μέσο (Κ) της ράβδου και σχηματίζει γωνία θ με αυτή, τέτοια ώστε ημθ = 0,8 και συνθ = 0,6.
Η ράβδος μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές, σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Α.
Α. Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας του συστήματος ράβδου – σώματος Σ1 ως προς τον άξονα περιστροφής του.
Β. Να υπολογίσετε την τάση του νήματος.
Κάποια στιγμή, κόβουμε το νήμα που ενώνει τον τοίχο με το σημείο Κ.
Γ. Να αποδείξετε ότι το σώμα Σ2 αμέσως μετά το κόψιμο του νήματος θα εκτελέσει ελεύθερη πτώση (χάνεται αμέσως η επαφή του με τη ράβδο).
Δ. Να υπολογίσετε για τη στιγμή που κόβεται το νήμα,
- το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής του συστήματος ράβδος – Σ1.
- το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής της ράβδου.
- το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής του σώματος Σ1.
Στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο με το παραπάνω σύστημα, ισορροπεί ένα σώμα Σ3 αμελητέων διαστάσεων δεμένο στο ελεύθερο άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο στο έδαφος. Η μάζα του σώματος Σ3 είναι ίση με m3 = 1,4kg, η σταθερά του ελατηρίου k = 100N/m και ο άξονας του ελατηρίου ταυτίζεται με την κατακόρυφο που διέρχεται από το σώμα Σ2.
Αν το σώμα Σ3 ισορροπεί κατά h = 5m χαμηλότερα από την αρχική θέση ισορροπίας του σώματος Σ2,
Ε. να υπολογίσετε μετά από πόσο χρόνο από τη στιγμή που κόψαμε το νήμα, το σώμα Σ2 θα συγκρουστεί με το Σ3 και την ταχύτητα του Σ2 ακριβώς πριν από την κρούση.
Η κρούση που ακολουθεί μεταξύ των σωμάτων Σ2 και Σ3 είναι κεντρική και πλαστική.
ΣΤ. Να υπολογίσετε το πλάτος της απλής αρμονικής ταλάντωσης που θα εκτελέσει το συσσωμάτωμα μετά την κρούση.
Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής IA = ML2/3 και το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας g = 10m/s2. Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα, όπως και η χρονική διάρκεια της κρούσης.
Χάσιμο επαφής σώματος με ράβδο
Πολύ καλή επαναληπτική Μίλτο. Στο τελευταίο μάθημα έκανα κάτι ανάλογο,
ζητώντας τη δύναμη από τη ράβδο στο κολλημένο σφαιρίδιο όταν το σύστημα
ισορροπεί και ακριβώς τη στιγμή που κόβουμε το νήμα……
Έτσι νομίζω γίνεται κατανοητό γιατί στο ρυθμό μεταβολής της στροφορμής
της ράβδου, δουλεύουμε όπως προτείνεις…
Ίσως στο ρυθμό μεταβολής της στροφορμής του σφαιριδίου να ξεκινούσαμε
dL/dt=d(mυr)/dt=mrdυ/dt=mrd(ωr)/dt=mrrdω/dt=mr^2α(γων),
χωρίς αυτό να σημαίνει ότι η δική σου λύση μειονεκτεί
Καλησπέρα Θοδωρή. Ευχαριστώ για το σχόλιο και το επιπλέον ερώτημα με τη δύναμη από τη ράβδο στο σώμα, το οποίο είναι αρκετά ουσιαστικό και διδακτικό.
Να παρατηρήσω εδώ ότι δεν μπορεί να ζητηθεί η δύναμη από την άρθρωση μετά το κόψιμο του νήματος, καθώς χρειάζεται εύρεση κέντρου μάζας.
Έχεις δίκαιο αναφορικά με την πιο αυστηρή αντιμετώπιση του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του υλικού σημείου, το οποίο εδώ θα μπορούσε να υπολογισθεί και ως:
dL_Σ1/dt = dL_συστ/dt – dL_ρ/dt
Χρονια Πολλα και Καλη ΑΝΑΣΤΑΣΗ !
Μιλτο ανεβαζω μια αντιμετώπιση το χασιμο επαφης.
Καλή Ανάσταση, με υγεία σε όλους Κώστα!
Ευχαριστώ για τη γενική σου μελέτη, η οποία συμπληρώνει το ουσιαστικό σημείο της άσκησης.