by Ένας ομογενής δίσκος μάζας Μ=17kg και ακτίνας R=1m, μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές, σε οριζόντιο επίπεδο, γύρω από κατακόρυφο άξονα z. Στο μέσον Μ μιας ακτίνας του έχει στερεωθεί σε κατακόρυφη θέση, μέσω σφιχτής άρθρωσης, μια ομογενής ράβδος μήκους l=R.
Γύρω από τον δίσκο, έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα, στο άκρο του οποίου ασκούμε μια σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F=5Ν, τη στιγμή t0=0, μέχρι τη στιγμή t1, όπου ο δίσκος έχει διαγράψει γωνία θ=9rad.
i) Πόση είναι η κινητική ενέργεια του συστήματος τη στιγμή t1, που παύει να ασκείται η δύναμη F;
Δίνεται η μάζα της ράβδου m=6kg, ενώ κάποια στιγμή μετά την t1 «λασκάρει η άρθρωση» με αποτέλεσμα η ράβδος να πέσει, στην διεύθυνση της ακτίνας όπως στο δεύτερο σχήμα, οπότε περιστρέφεται μαζί με τον δίσκο, οριζόντια.
ii) Ποια η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου τη στιγμή t1 που σταματά η άσκηση της δύναμης F;
iii) Για τη χρονική στιγμή t2=5s να υπολογιστούν:
α) Η ισχύς της δύναμης F.
β) Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του συστήματος και ο αντίστοιχος ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του δίσκου, ως προς τον άξονα z.
iv) Ποια η ταχύτητα του άκρου Α της ράβδου, κατά την οριζόντια περιστροφής της;
Δίνονται η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα z, Ιδ= ½ ΜR2, καθώς και η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς κάθετο άξονα ο οποίος περνά από το μέσον της Ιρ=ml2/12.
ή
Καλημέρα Διονύση. Ωραία η άσκησή σου!
Ξαφνιάζει με μια πρώτη ματιά, το γεγονός ότι αλλάζει η γωνιακή ταχύτητα του συστήματος κατά τη διάρκεια της πτώσης της ράβδου, και παραμένει σταθερή κατόπιν!
Η ράβδος πέφτει σε ακτινικό επίπεδο που περιέχει την ΟΜ, το βάρος της δεν ασκεί ροπή ως προς τον άξονα περιστροφής του δίσκου, πως γίνεται και αλλάζει η γωνιακή ταχύτητα;
Η αλληλεπίδραση μεταξύ ράβδου και δίσκου γίνεται μέσω των δυνάμεων που αναπτύσσονται στην άρθρωση.
Αυτές μεταβάλλουν μέσω των ροπών τους ως προς τον άξονα περιστροφής τη στροφορμή του κάθε Στερεού , μέχρι αυτά να αποκτήσουν κοινή γωνιακή ταχύτητα.
Είναι δύσκολο να δοθεί εξήγηση από έναν υποψήφιο!
Επίσης θα είχε ενδιαφέρον να έπεφτε η ράβδος σε επίπεδο κάθετο στην ΟΜ, θα είχαμε διαφορετική ροπή αδράνειας του συστήματος, Α Δ.Στρ., άρα και διαφορετική τελική γωνιακή ταχύτητα.
Να είσαι καλά.
Καλημέρα Πρόδρομε και σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
“Η αλληλεπίδραση μεταξύ ράβδου και δίσκου γίνεται μέσω των δυνάμεων που αναπτύσσονται στην άρθρωση.”
Ακριβώς, δεν είναι το βάρος της ράβδου (εξωτερική δύναμη) που μεταβάλλει την στροφορμή του δίσκου.
Τα δυο βάρη και η δύναμη από τον άξονα είναι οι μοναδικές εξωτερικές δυνάμεις, οι οποίες δεν έχουν ροπή ως προς τον άξονα περιστροφής.
Άρα οι όποιες επιμέρους μεταβολές στροφορμής οφείλονται σε εσωτερικές δυνάμεις-ροπές και αυτές δεν μπορεί να είναι άλλες από τις δυνάμεις στην άρθρωση.
Διονύση καλησπέρα.
Εντυπωσιακή!
Νομίζω οι μεγαλύτερες δυκολίες είναι στον υπολογισμό της ροπής αδράνειας του συστήματος. Όσο για τη διατήρηση της στροφορμής παρόλο που η αναλυτική εξήγηση όπως αναφέρει ο Πρόδρομος είναι δύκολη νομίζω θα το έκαναν πολλοί έστω και μηχανικά.
Όταν η ράβδος είναι πεσμένη βρίσκω Fαξ=Mω^2R=24N
Επιπλέον η απώλεια ενέργειας ισούται με Q=Eμηχ,αρχ-Εμηχ,τελ=K1+Uβαρ,ρ -Κ2=45J
Καλησπέρα Χρήστο και σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Συμφωνώ για την “μηχανική” επίλυση εκ μέρους πολλών μαθητών.
Αν θέλαμε να εστιάσουμε στον βαθμό κατανόησης, δεν έχουμε παρά να βάλουμε ένα θεωρητικό ερώτημα, όπως:
-Στη διάρκεια της πτώσης της ράβδου η στροφορμή το δίσκου μειώνεται. Να εξηγήσετε πού οφείλεται η μείωση αυτή.
Ή κάτι αντίστοιχο για την ράβδο.
Διονύση αυτό που μου αρέσει είναι ότι τα θέματα σου έχουν πάντα κάτι φρέσκο, κάτι πρωτότυπο (και άλλων συναδέλφων τα θέματα είναι πρωτότυπα για να μην παρεξηγηθώ, ενώ για παράδειγμα το θέμα της στροφικής ταλάντωσης στο οποίο αναφέρθηκε ο Θοδωρής δεν ήταν πρωτότυπο, εγώ τουλάχιστον είχα ξαναδεί σχετικό.)
Νομίζω ότι το αρνητικό έργο που ελαττώνει την στροφορμή και την ενέργεια περιστροφής το παράγουν οι δυνάμεις (συνοχής) που πρέπει να δρουν ως κεντρομόλες καθώς το κέντρο μάζας της ράβδου απομακρύνεται από τον άξονα περιστροφής και οι οποίες αναπτύσσονται επειδή υπάρχει η άρθρωση.
Καλησπέρα Στέφανε και σε ευχαριστώ για το σχολιασμό και τον καλό σου λόγο.
Γιατί τις ονομάζεις δυνάμεις συνοχής; Εννοείς Στέφανε, τις δυνάμεις που κάθε στοιχειώδης μάζα της ράβδου, ασκεί στις διπλανές της;
Γεια σας κύριε Διονύση .Η ελάττωση της μηχανικής ενέργεια του συστήματος συμβαίνει λόγω της μεταβολής της ροπής αδράνειας του συστήματος ή μπορεί να θεωρηθεί ως θερμότητα που εκλύεται ως προς το περιβάλλον .Τι συμβαίνει με αυτό το ποσό ενέργειας ;Τείνω προς το 1ο ενδεχόμενο αφού δεν μπορώ να σκεφτώ δυνάμεις που μέσω του έργου τους <<αφαιρούν>> ενέργεια από το σύστημα , π.χ. τριβές που αναπτύσονται στην άρθρωση;
Καλησπέρα Παύλο.
Αν η ελάττωση της μηχανικής ενέργειας συνέβαινε λόγω μεταβολής της ροπής αδράνειας, πάλι μηχανική ενέργεια θα ήταν!
Προφανώς για να υπάρχει απώλεια, θα πρέπει να μετατραπεί σε κάποια ενέργεια, άλλης μορφής. Και η απάντηση που συνήθως δίνουμε είναι, ότι εκλύεται στο περιβάλλον ως θερμότητα.
Η απάντηση αυτή, μπορεί να μην είναι και πολύ σωστή ή και καθόλου διαφωτιστική, αλλά “περνάει” στις εξετάσεις 🙂
Έτσι στο παραπάνω θέμα, κατά την κρούση της ράβδου με τον δίσκο, κάποια μηχανική ενέργεια μπορεί να αποθηκευτεί σε ράβδο και δίσκο ως ενέργεια παραμόρφωσης (τα σώματα παραμορφώνονται, έστω και λίγο…), κάποια γίνεται άτακτη κινητική ενέργεια των δομικών λίθων (μόρια άτομα, ιόντα, ελεύθερα ηλεκτρόνια), αυξάνοντας έτσι την “θερμική ενέργεια” των σωμάτων ή αν προτιμάς αυξάνοντας την εσωτερική τους ενέργεια. Αυτό έχει σαν συνέπεια την αύξηση της θερμοκρασίας, οπότε αν υπάρχει διαφορά θερμοκρασίας με το περιβάλλον θα ακολουθήσει και μια πολύ αργή! μεταφορά ενέργειας, προς το περιβάλλον, με την μορφή θερμότητας, μέχρι να αποκατασταθεί θερμική ισορροπία.
Ίδια μετατροπή έχουμε και στην άρθρωση, αν υπάρχουν τριβές.
Αλλά μήπως ακούσουμε και ένα κτύπο κατά την πτώση; Μήπως δηλαδή δεν παράγεται ήχος, μέσω του οποίου μεταφέρεται ενέργεια κύματος, στο περιβάλλον; Και αυτό γίνεται…
Όλα αυτά!
Οπότε λέμε ένα “παράγεται θερμότητα” και … ησυχάζουμε…
Ευχαριστώ πολύ για την απάντηση.
Διονύση καλό απόγευμα.
Ναι αυτές εννοώ. Αν π.χ. θεωρήσουμε την ράβδο αβαρή, μήκους R/2 και στο ελεύθερο άκρο της σημειακή μάζα τότε όπως θα πέφτει στη σημειακή μάζα ασκείται το βάρος της και μια δύναμη επαφής που καθώς θα πρέπει να έχει κεντρομόλο συνιστώσα και εξ αιτίας της τροχιάς, θα παράγει αρνητικό έργο, ακριβώς όπως οι δυνάμεις που ασκεί ο άνθρωπος με το στρεφόμενο κάθισμα στα βαράκια όταν ανοίγει τα χέρια του.
Όμως Διονύση δεν θα σταματήσω να λέω ότι το πιο σημαντικό είναι αυτές οι ανταλλαγές ιδεών, προτάσεων, σκέψεων,… , αυτή η επικοινωνία.
Να είστε καλά όσοι δημιουργήσατε αυτόν τον ιστότοπο.
Γεια σου Διονύση μια «μαθητοκεντρική», νομίζω, εξήγηση για την μείωση της ενέργειας.
1. Το βιβλίο στην παράγραφο 4.8 λέει «Αν, λόγω ανακατανομής της μάζας (εξαιτίας εσωτερικών δυνάμεων), μεταβληθεί η ροπή αδράνειας ενός σώματος ως προς τον άξονα περιστροφής του, μεταβάλλεται και…»
2. Σχέση κινητικής στροφορμής στην περιστροφή.
K=(Iω^2)/2=(I^2ω^2)/2Ι=(L^2)/2I
Για τις δυο καταστάσεις του συστήματος
K1=(L1^2)/2I1 K2=(L2^2)/2I2
αλλά L1=L2 και με δεδομένο ότι I2 > I1
K1> K2
Καλησπέρα Άρη.
Αυτή είναι μια “μαθητοκεντρική-μαθηματική” εξήγηση, αλλά δεν ξέρω αν είναι ερμηνεία ή δικαιολόγηση, στο ερώτημα γιατί μείωση και πού πήγε η ενέργεια.
Στέφανε συμφωνώ για το έργο των δυνάμεων, να προσθέσω μόνο ότι αυτό το έργο της δύναμης, μετράει τελικά μια ποσότητα ενέργειας που υποβαθμίζεται…
Πολύ καλή, με ποιοτικά ερωτήματα που εξετάζουν την κατανόηση όλων όσων
οφείλει να ξέρει ο μαθητής…
Ο Αποστόλης έκοψε τη ράβδο στη μέση για να “χωράει”, εσύ Διονύση την άφησες
να εξέχει και ό,τι θέλει ας γίνει…
Νομίζω δύσκολα οι μαθητές θα υπολογίσουν τη ροπή αδράνειας του συστήματος,
όταν η ράβδος είναι κατακόρυφη….
Και το δικό μου δίλλημα ….
Στα τελευταία μαθήματα, τι κάνω;;;;
Ποιοτικά θέματα σαν αυτό ή ασκήσεις με συστήματα σωμάτων που οδηγούν
σε συστήματα εξισώσεων 5*5 ;;;;;
Την απάντησή σου την ξέρω Διονύση…
Καλημέρα Θοδωρή και σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Την απάντησή μου βέβαια την ξέρεις, αλλά την δίνω έμπρακτα καθημερινά με τις αναρτήσεις που δίνω, άσχετα πόσοι ενδιαφέρονται για το περιεχόμενο…