by 
Eνας κυκλος ακτινας r κυλιεται πανω σε εναν αλλο ακινητο κυκλο ακτινας R και η ταχυτητα του κεντρου του εχει σταθερο μετρο υ. Να βρεθει το μετρο της γωνιακης του ταχυτητας.
Λυση 1.
Το σημειο επαφης του κυλιομενου κυκλου ειναι στιγμιαια ακινητο. Αρα οι ταχυτητες του λογω στροφης και λογω μεταφορας ειναι αντιθετες. Αρα υ=ωr ή ω=υ/r.
Λυση 2.
Εστω μια ολοκληρη βολτα του μικρου κυκλου γυρω απο τον μεγαλο κυκλο. Εχουμε : ω=φ/t
οπου φ=(2πR/2πr)2π+2π. Ο πρωτος ορος ειναι η γωνια στροφης που οφειλεται στην κυλιση και ο δευτερος ορος ειναι η γωνια στροφης που οφειλεται στην καμπυλοτητα του μεγαλου κυκλου.
Αρα φ=(R/r+1)2π=(R+r)2π/r .Oμως υ=2π(R+r)/t. Οποτε η ω=φ/t δινει ω=υ/r
Bλεπε και παρατηρησεις στα σχολια.
Αφιερωνεται στον Γιώργο Βουμβάκη και στον Γιάννη Κυριακόπουλο.
Για μια ωραια καθαρα γεωμετρικη αποδειξη του υ=ωR βλεπε
Κύλιση χωρίς ολίσθηση
Η γεωμετρια του προβληματος εχει συζητηθει αρκετες φορες.
Αρα δεν γραφω κατι καινουργιο.Απλως το περιγραφω λιγο διαφορετικα.
Επισης καποιες παρατηρησεις :
Aν πανω στον κυκλο ολισθαινει ενα ορθογωνιο με ταχυτητα κεντρου υ, τοτε η γωνιακη του ταχυτητα θα ηταν ω=2π/t t=2πx/υ οπου x η αποσταση του κεντρου του ορθογωνιου απο το κεντρο του κυκλου. Αρα ω=υ/x .
Αν το ορθογωνιο ειχε μαζα,η κινητικη του ενεργεια θα ηταν αθροισμα μεταφορικης και στροφικης κινητικης ενεργειας και αυτο θα επρεπε να ληφθει υπ οψιν στην εφαρμογη ας πουμε του θεωρηματος μεταβολης κινητικης ενεργειας.Φαινεται να ειναι σωστη η αποψη του Γιάννη Κυριακόπουλου οτι σε αυτη την περιπτωση,η κινηματικη,μαλλον πλεονεκτει σε σχεση με καθαρη γεωμετρια μεταξυ μηκων τοξων και γωνιων.
Ευχαριστώ Κωνσταντίνε.
Μια οπτικοποίηση, όχι προσομοίωση.
Βάζουμε όποιες ακτίνες θέλουμε (από 1 ως 4).
Το κέντρο του πάνω περιφέρεται περί το κέντρο του ακίνητου με γωγιακή ταχύτητα -0,5 rad/s
Καλημέρα Κωνσταντίνε! Ευχαριστώ πολύ!
Καλημέρα σε όλους.
Κωνσταντίνε πολύ καλό θέμα και ειδικά η πρώτη λύση εξαιρετική!
Kαλημέρα Βασίλειε.Ευχαριστω πολυ.
Το συμπερασμα ειναι οτι η εξισωση υ=ωr ισχυει ανεξαρτητως της καμπυλοτητας της γραμμης πανω στην οποια γινεται η κυλιση.
Και δεν χρειαζεται κανενας υπολογισμος για να το δουμε αυτο.
Ειναι τελειως προφανες.