Κρούση και ισορροπία

Λεπτή
οριζόντια ομογενής ράβδος (ΟΑ) με μάζα Μ και μήκος L = 0,8 m είναι αρθρωμένη στο άκρο της (Ο), ενώ στο άλλο της άκρο (Α) είναι δεμένη σε κατακόρυφο αβαρές και μη εκτατό νήμα, το άλλο του οποίου έχει στερεωθεί σε οροφή. Ένα δυναμόμετρο (Δ), παρεμβάλλεται στο νήμα ώστε να μας παρέχει το μέτρο της τάσης του νήματος. Η λεία ράβδος δεν δέχεται τριβές από την άρθρωση και έχει ροπή αδράνειας ως προς τον οριζόντιο σταθερό άξονα που διέρχεται από το
(Ο), Ι_Ο = ML²/3. Πάνω στη ράβδο υπάρχει αρμονικός ταλαντωτής με ιδανικό οριζόντιο ελατήριο σταθερός k = 50 Ν/m και φυσικού μήκους L/2 που στο δεξιό του άκρο έχει δεμένη μικρή ελαστική σφαίρα μάζας m₁ = 0,5 kg που ισορροπεί πάνω από το κέντρο μάζας της ράβδου. Το αριστερό άκρο του ελατηρίου είναι δεμένο σταθερά στον κατακόρυφο τοίχο. Τη χρονική στιγμή t₀ = 0 η σφαίρα μάζας m₁, εκτοξεύεται με οριζόντια ταχύτητα υ₀ προς τα δεξιά, φορά που θεωρούμε θετική. Η σφαίρα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με σταθερά επαναφοράς D = k και χρονική εξίσωση απομάκρυνσης
x = Αημ(ωt + φ₀) με A < L/2, ενώ η ράβδος παραμένει οριζόντια και ακίνητη.

Δίνεται g = 10 m/s². Να βρεθούν:

Δ1. Η αρχική φάση φ₀ και το πλήθος Ν των ταλαντώσεων που το σώμα εκτελεί σε χρόνο Δt = π s.

Δ2. Η ροπή αδράνειας Ι_ο και η ταχύτητα υ₀ αν για την ένδειξη Τ του δυναμόμετρου (Δ) καθώς η σφαίρα εκτελεί ταλαντώσεις ισχύει 2,75 Ν < Τ < 5,25 Ν.

Δ3. To μέγιστο πλάτος της απλής αρμονικής ταλάντωσης της σφαίρας αν ξέρουμε ότι το νήμα κόβεται όταν το
μέτρο της τάσης του νήματος υπερβεί τα 6,25 Ν.

Δ4. Το μέτρο της δύναμης που δέχεται η ράβδος από την άρθρωση όταν η κινητική ενέργεια της σφαίρας είναι τριπλάσια της δυναμικής ενέργειας της ταλάντωσης.

Κάποια στιγμή που η σφαίρα κινείται στον αρνητικό ημιάξονα αφήνουμε στη θέση ισορροπίας της δεύτερη μικρή ελαστική σφαίρα μάζας m₂. Φτάνοντας η σφαίρα μάζας m₁ στη θέση ισορροπίας συγκρούεται ακαριαία, κεντρικά και ελαστικά με την ακίνητη σφαίρα μάζας m₂, με αποτέλεσμα η ενέργεια της ταλάντωσης της σφαίρας μάζας m₁ να μειωθεί κατά 75%.

Δ5. Να βρεθεί η μάζα m₂.

Η συνέχεια εδώ.