by 
Το επίπεδο είναι λείο και οριζόντιο. Το μπαλάκι είναι δεμένο με ιδανικό νήμα το οποίο έχει περάσει από τρύπα του επιπέδου.
Έχει μάζα 0,1 kg.
Το οριζόντιο τμήμα έχει αρχικά μήκος 2 m και το μπαλάκι ταχύτητα 1 m/s, κάθετη στο νήμα.
Κάποια χρονική στιγμή που την εκλαμβάνουμε ως στιγμή μηδέν αρχίζουμε να τραβάμε το νήμα με σταθερή ταχύτητα 0,5 m/s.
Να υπολογιστεί η ταχύτητα του μπαλακιού συναρτήσει του χρόνου, η τάση του νήματος συναρτήσει του χρόνου και το έργο της από την στιγμή μηδέν ως την στιγμή 2 s.
Όμορφη Γιάννη! Στο διάγραμμα μήπως οι ταχύτητες της υ έχουν άλλες τιμές σύμφωνα με τον ατιστοιχο τύπο;
Ευχαριστώ Γιώργο.
Έκανα διόρθωση. Είχα πληκτρολογήσει άλλη σχέση.
Καλησπέρα Γιάννη, κάτι που με προβληματίζει και δεν κατανοώ
Σύμφωνα με τη σχέση που βγάζεις για την τάση, τη στιγμή t=0
η τάση έχει μέτρο Τ=0,05Ν
Αυτή όμως είναι η απαραίτητη κεντρομόλος δύναμη για l=2m και υο=1m/s
Με αρχικές συνθήκες Τ=0,05Ν και ταχύτητα κάθετη στο νήμα, δεν καταλαβαίνω
γιατί η τροχιά δεν παραμένει κυκλική….
Στη δική μου λογική για να αρχίσει να μειώνεται το μήκος του νήματος στο τραπέζι,
εφόσον η αρχική ταχύτητα είναι κάθετη στο νήμα, πρέπει η τάση να είναι μεγαλύτερη
από την απαιτούμενη κεντρομόλο
Μάλλον βλέπεις κάτι, που εγώ δεν βλέπω….
Καλησπέρα Θοδωρή, μόλις διάβασα το σχόλιό σου, αυτό με προβληματίζει και εμένα.
Σωστο Θοδωρη συμφωνω η ταση πρεπει να ειναι μεγαλυτερη απο την απαιτουμενη κεντρομολο και στην περιπτωση αυτη η ταση δεν λεγεται κεντρομολος διοτι δεν κατευθυνεται προς το στιγμιαιο κεντρο καμπυλοτητας της τροχιας.
Γεια σου Θοδωρή.
Σκέφτομαι ότι η τροχιά δεν παραμένει κυκλική διοτι κάθε στιγμή το κέντρο είναι άλλο.
Προβληματισμό στον υπολογισμό είχε και ο Χρήστος.
Δεν αποκλείω να έχω κάνει λάθος.
Μάλλον είναι σωστό:
Με μάζα 0,1 kg και την εικονιζόμενη επιτάχυνση, η δύναμη είναι 0,05 Ν.
Καλημέρα σε όλους.
Γιάννη, όμορφη άσκηση.
Μία ακόμη λύση,
στον σύνδεσμο εδώ.
Καλό Σαββατοκύριακο!
Καλημέρα Θρασύβουλε.
Ευχαριστώ.
Πολυ κομψή λύση:
Καλημέρα Γιάννη, καλημέρα σε όλους και καλό ΣΚ.
Γιάννη, μια άσκηση (ουσιαστικά) μας έμεινε στην ύλη στην ΑΔΣ, ας την μελετήσουμε!!! Ωραία η παραπάνω μελέτη, έχω και γω μια έτοιμη, σε λίγες μέρες…
Θοδωρή, η άσκηση ξεκινά με την υπόθεση ότι το σώμα έχει μια σταθερή ταχύτητα στην διεύθυνση της ακτίνας. Και για αυτή την σταθερή ταχύτητα, δεν χρειάζεται κάποια δύναμη για την “διατήρησή” της.
Έτσι το μόνο που απομένει είναι η ανάγκη μιας δύναμης που να μεταβάλλει την άλλη ταχύτητα, την εφαπτομενική και αυτή είναι η κεντρομόλος.
Δεν έχουμε δηλαδή μια ομαλή κυκλική κίνηση με ορισμένη ταχύτητα και μια αρχική τάση, όπου κάποια στιγμή αυξάνουμε την δύναμη που ασκούμε στο άκρο του νήματος (και άρα την τάση), με αποτέλεσμα να αποκτήσει και συνιστώσα επιτάχυνση ακτινική, έτσι ώστε να αρχίσει να αποκτά και συνιστώσα ακτινική ταχύτητα.
Καλησπερα Διονυση.Η αλλη ταχυτητα η εφαπτομενικη ειναι εφαπτομενη σε ποια καμπυλη?
Καλησπέρα Κωνσταντίνε.
Στον κύκλο με κέντρο την τρύπα και ακτίνα 2 m.
Ευχαριστω Διονύση.Αλλη μια ερωτηση.Το μετρο του ρυθμου μεταβολης αυτης της εφαπτομενικης ταχυτητας u ειναι u τετραγωνο δια R?
Η απάντηση Κωνσταντίνε, στην ανάρτηση:
Μεταβάλλοντας την ακτίνα της τροχιάς
Γραφεις πιο πανω τα εξης:
“το σώμα έχει μια σταθερή ταχύτητα στην διεύθυνση της ακτίνας. Και για αυτή την σταθερή ταχύτητα, δεν χρειάζεται κάποια δύναμη για την “διατήρησή” της.
Έτσι το μόνο που απομένει είναι η ανάγκη μιας δύναμης που να μεταβάλλει την άλλη ταχύτητα, την εφαπτομενική και αυτή είναι η κεντρομόλος.”
Ειναι σωστη αυτη η προταση?
Απ οτι καταλαβα γραφεις οτι η συγκεκριμενη κινηση γινεται υπο την επιδραση μονο μιας δυναμεως την οποια ονομαζεις κεντρομολο.
H κεντρομολος δυναμη στην φυσικη ειναι εξ ορισμου μια δυναμη η οποια ειναι υπευθυνη για την μεταβολη μονο της διευθυνσης της ταχυτητας και οχι του μετρου της.Εχει φορα προς το στιγμιαιο κεντρο καμπυλοτητας της τροχιας.
Υπο την επιδραση μονο μιας κεντρομολου δυναμεως ο στιγμιαιος ρυθμος μεταβολης του μετρου της ταχυτητας ειναι μηδεν.
Αρα υπο την επιδραση μονο μιας κεντρομολου δυναμεως (οπως γραφεις),η συγκεκριμενη κινηση θα ηταν αδυνατη αφου στην κινηση αυτη το μετρο της ταχυτητας συνεχως αυξανεται.
Κωνσταντίνε παραπάνω σε παρέπεμψα στην πρόσφατη ανάρτησή μου, που γίνεται διάκριση μεταξύ επιτάχυνσης και κεντρομόλου επιτάχυνσης και που αποδεικνύω ότι η ακτίνα καμπυλότητας δεν είναι ίση με το μήκος του νήματος.
Μάλλον δεν την διάβασες.
Ειναι προφανες οτι η ακτινα καμπυλοτητας της τροχιας δεν ειναι ιση με το μηκος του νηματος διοτι η τροχια δεν ειναι κυκλος.
Εγω σε ρωταω αν στην περιπτωση που η ακτινικη ταχυτητα ειναι σταθερη κατα μετρο, οπως στην αναρτηση του Γιαννη,η σπειροειδης κινηση μπορει να πραγματοποιηθει υπο την επιδραση μονο μιας κεντρομολου δυναμεως διοτι αυτο εγραψες.
Μου αρέσει Κωνσταντίνε που δεν απευθύνεσαι στο Γιάννη, την ανάρτηση του οποίου αμφισβητείς, αλλά σε μένα για ένα σχόλιό μου!!!
Προφανώς η τελευταία μου ανάρτηση οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η τάση του νήματος, δεν είναι ίση με την κεντρομόλο, πράγμα που “συνήθως” (για να μην πω πάντα …) χρησιμοποιείται.
Αυτό περίμενες να γράψω; Ωραία το έγραψα 🙂
Για το σχολιο σου να απευθυνθω στον Γιαννη? Δεν αμφισβητω την αναρτηση ,θετω υπο προβληματισμο συγκεκριμενα θεματα σχετικα με την αναρτηση τα οποια και εμενα με προβληματιζουν και εχω απευθυνθει και σε σενα και στον Γιαννη και στιν Θοδωρη.Για αυτο που ειπα στον Γιαννη σχετικα με την εξισωση που εγραψε η οποια δινει την ταση και ειναι εξισωση κεντρομολου δυναμεως πανω σε τροχια με κεντρο καμπυλοτητας το σημειο Ο ποια ειναι η γνωμη σου?
Καλημέρα Διονύση.
Ευχαριστώ.
Αυτή ήταν και η δική μου σκέψη, η μηδενική ακτινική επιτάχυνση.
Από τη δυναμική του στερεού μερικές τέτοιες ασκήσεις έμειναν τελικά.
Καλό απόγευμα σε όλους
Διονύση, γράφεις:
“”η άσκηση ξεκινά με την υπόθεση ότι το σώμα έχει μια σταθερή ταχύτητα στην διεύθυνση της ακτίνας. Και για αυτή την σταθερή ταχύτητα, δεν χρειάζεται κάποια δύναμη για την “διατήρησή” της.”
Νομίζω πως αυτό δεν προκύπτει από την εκφώνηση.
Γράφει ο Γιάννης:
“Κάποια χρονική στιγμή που την εκλαμβάνουμε ως στιγμή μηδέν αρχίζουμε να τραβάμε το νήμα με σταθερή ταχύτητα 0,5 m/s.”
Τι σημαίνει αρχίζουμε;
Το μπαλάκι εκτελούσε ΟΚΚ ακτίνας 2m με ταχύτητα 1m/s και κάποια στιγμή
αυξήσαμε τη δύναμη ώστε να αποκτήσει ακτινική ταχύτητα 0,5 m/s, την οποία
καταργώντας την “επιπλέον” δύναμη διατηρεί στη συνέχεια…
Αυτό κατά τη γνώμη μου, ενισχύεται και από τη λύση
Γράφει σωστά ο Γιάννης, “αναλύουμε την ταχύτητα”….
Αυτό σημαίνει πως η ταχύτητα δεν ήταν η “κάθετη στο νήμα” ταχύτητα 1m/s
Όμως η εκφώνηση γράφει “το μπαλάκι έχει ταχύτητα 1m/s κάθετη στο νήμα”
Μάλλον ο Γιάννης αναφέρεται στη συνιστώσα της ταχύτητας
Γιάννη, η άσκηση είναι πανέξυπνη, αλλά προσωπικά θα έδινα άλλη εκφώνηση
Καλησπέρα Θοδωρή.
Η διατύπωση του Γιάννη, είναι αυτό που λέμε “ένα σώμα είναι ακίνητο και κάποια στιγμή αποκτά ταχύτητα υ=2m/s κινούμενο ευθύγραμμα ομαλά”.
Γίνεται αυτό και τι εννοούμε λέγοντάς το;
Εννοούμε ότι για απειροελάχιστο χρόνο ασκείται στο σώμα μια κατάλληλη δύναμη, του προσδίδει επιτάχυνση και μόλις η ταχύτητά του γίνει ίση με 2, παύει να ασκείται. Φαντάσου μια κρούση…
Και εδώ ο Γιάννης δεν μελετά πώς μπορεί να αποκτηθεί αυτή η ακτινική ταχύτητα, θεωρώντας την ότι αποκτάται ακαριαία και… πάμε παρακάτω.
Καλησπέρα και πάλι, διαφωνώ Διονύση.
Στην κρούση, το αίτιο είναι ορατό. Η διδακτική ασάφεια στην εκφώνηση,
καθορίζεται από την τάξη στην οποία απευθυνόμαστε….
Στην κινηματική της Α’ Λυκείου, όπου ακόμα ο 2ος ΝΝ είναι άγνωστος,
μία τέτοια ασάφεια δικαιολογείται… Στη Γ’ Λυκείου καλό θα ήταν όταν
μπορούμε να την αποφεύγουμε…
Προσωπικά θα έγραφα:
“Το μπαλάκι κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο και κάποια στιγμή που θεωρούμε ως to=0, έχει ταχύτητα υ η οποία αναλύεται σε δύο κάθετες συνιστώσες: μία κάθετη στο νήμα u μέτρου 1 m/s και μία στη διεύθυνση του νήματος v μέτρου 0,5 m/s. Την ίδια στιγμή το οριζόντιο τμήμα του νήματος έχει μήκος 2m.
Στο μπαλάκι ασκoύμε μέσω του νήματος κατάλληλη δύναμη, η οποία μεταβάλλει το
μήκος του οριζόντιου νήματος, αλλά όχι το μέτρο της συνιστώσας της ταχύτητας στη διεύθυνση του νήματος. Υπολογίστε…..”
Γνωρίζω ότι ο Γιάννης διαφωνεί με τις εκτενείς εκφωνήσεις, αλλά κατά τη γνώμη μου,
σε αχαρτογράφητα νερά και σε επίπεδο Γ’ Λυκείου είναι απαραίτητες….
Καλησπέρα παιδιά.
Ο Θοδωρής δεν έχει άδικο. Μια ασυνέχεια την στιγμή μηδέν είναι προβληματική κατάσταση.
Γιάννη καλησπέρα.
Ωραία η προέκταση που δίνεις. Θα πρόσθετα ότι η μεταβολή γίνεται πολύ αργά ώστε να θεωρηθεί πρακτικά στην συνθήκη της κεντρομόλου το μήκος του νήματος ίδιο με την ακτίνα καμπυλότητας.
Επιπλέον να προσθέσω στην σπείρα το εξής από παλαιότερο σχόλιο του Διονύση Μητρόπουλου..
Η στροφορμή ως προς κάποιο σημείο ορίζεται γενικότερα από το εξωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων ταχύτητας και θέσης, οπότε το μέτρο της είναι: L=m·υ·r·ημω
όπου ω η γωνία που φαίνεται σχήμα 9 η διατήρηση στροφορμής L1=L2 γράφεται
m·υ1·r1·ημω1= m·υ2·r2·ημω2
Ακόμη λοιπόν κι αν οι γωνίες ω1 και ω2 δεν είναι
90° αλλά παραπλήσιες τότε:
m·υ1·r1= m·υ2·r2
Υπάρχει μάλιστα ένα είδος σπείρας (η ισογώνια ή
λογαριθμική σπείρα) όπου η γωνία ω παραμένει
σταθερή. (η spira mirabilis κατά Bernoulli !)
Καλησπερα Χρηστο και Γιάννη.Γιατι πρεπει η μεταβολη να γινεται πολυ αργα? Και γιατι πρεπει να θεωρηθει οτι το μήκος του νήματος ίδιο με την ακτίνα καμπυλότητας?
Ποιας καμπυλης την ακτινα καμπυλοτητας?
Σε ποιο σημειο της λυσης ειναι απαραιτητη αυτη η υποθεση?
Καλημέρα Χρήστο.
Ευχαριστώ.
Καλημέρα Γιάννη. Τη βρίσκω εξαιρετική διδακτική πρόταση.
Η τάση του νήματος σχηματίζει μετά την t = 0+, γωνία με την ταχύτητα, δίνει εφαπτομενική συνιστώσα και παράγει έργο, που μεταβάλλει την κινητική ενέργεια της σφαίρας. Την έκανα στο i.p.
Μια διατήρηση στροφορμής
βάζοντας κατευθείαν l = 2 – 0.5t
Με προβληματίζει που την t = 2s βγάζει την Κ = 0,2J.
Έχεις βρει 0,1J. Εγώ τη βγάζω 0,15J.
Που γίνεται το λάθος;
Καλημέρα Ανδρέα.
Ευχαριστώ.
Η διαφορά πρέπει να βρίσκεται στο αν η αρχική ταχύητα είναι η εφαπτομενική ή η συνιστώσα εφαπτομενικής-άκρου νήματος.
Όμως
Δίκιο έχεις.
Έκανα λάθος πράξη.
Kαλημερα Γιάννη.Ωραια ασκηση που φερνει στην επιφανεια θεματα για προβληματισμο.
Καλημέρα Κωνσταντίνε.
Ευχαριστώ.
Kαλημερα και παλι Γιάννη. Αλλη Λυση με πραξεις με το μυαλο χωρις χαρτι και μολυβι:
1.Αρχικα το μπαλακι κινειται σε κυκλικη τροχια με ταχυτητα 1m/s και εχει κινητικη ενεργεια 0,5×0,1×1=0,05 J.
2.Aν το μηκος του νήματος αρχισει να μειωνεται με σταθερή ταχύτητα 0,5 m/s,σε 2s θα εχει γινει 1m δηλαδη το μισο απο οσο ηταν πριν.
3.Για να φερουμε το μπαλακι σε κυκλικη τροχια μισης ακτινας πρεπει να διπλασιασουμε την ταχυτητα του σε 2m/s διοτι οι κεντρικες δυναμεις δεν μεταβαλουν την στροφορμη του.
4.Η Τελικη κινητικη ενεργεια του μπαλακιου θα ειναι 0,5×0,1×4=0,2J.
5.To εργο της κεντρικης δυναμης που απαιτειται για να μεταβει το μπαλακι απο την αρχικη κατασταση ομαλης κυκλικης κινησης στην τελικη κατασταση ομαλης κυκλικης kiνησης θα ειναι 0,2J-0,05J=0,15J.
6.Αυτο ειναι και το ζητουμενο εργο της ασκησης αφου η κινητικη ενεργεια της ακτινικης κινησης ειναι σταθερη και προστιθεται στην κινητικη ενεργεια της κυκλικης κινησης και στην αρχικη και στην τελικη κατασταση και δεν επηρεαζει την μεταβολη της κινητικης ενεργειας,
Ο μαθηματικος λογος για τον οποιον η ολικη κινητικη ενεργεια ισουται με το αθροισμα των κινητικων ενεργειων ειναι το οτι οι ταχυτητες των δυο επιμερους κινησεων ειναι συνεχως καθετες μεταξυ τους οποτε για τα τετραγωνα των δυο ταχυτητων ισχυει το Πυθαγορειο θεωρημα.