by 
Στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k = 100N/m, που το πάνω άκρο του είναι ακλόνητα δεμένο στο ταβάνι, είναι προσαρμοσμένο σώμα, μάζας m = 1kg και ισορροπεί ακίνητο. Απομακρύνουμε το σώμα κατά A0 = 2m, από τη θέση ισορροπίας και το αφήνουμε ελεύθερο, χωρίς αρχική ταχύτητα. Εκτός από τη δύναμη επαναφοράς F=-kx , υπάρχει δύναμη τριβής αντίθετη της ταχύτητας της μορφής F=-bυ .Το σώμα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση με σταθερά απόσβεσης b = 2kg/s, η οποία θεωρείται «μικρή» για τις συνθήκες του προβλήματος.
Η συνέχεια…
Καλησπέρα Ανδρέα.
Χρήσιμοι οι προβληματισμοί.
Υπάρχουν διάφορα ενδεχόμενα:
Καλησπερα Ανδρέα.Εγω δεν ειπα οτι το σχολικο δεν εχει λαθη.Αυτα θα διορθωσουμε.Οχι τους ορισμους.Δεν θα κινηθουμε σε δικο μας πλαισιο ορισμων και προτασεων οταν τα παιδια προκειται να δωσουν πανελληνιες.Δεν ειπα οτι θα διδαξουμε οτι στις εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, στο σύστημα προσφέρεται συνεχώς ενέργεια με συχνότητα f μέσω της διεγείρουσας δύναμης.Αυτο ειναι λαθος.Αυτο ομως δεν ειναι ορισμος.Θα πρεπει ομως να αποδειξουμε οτι η προταση αυτη ειναι λαθος και αυτο αποδεικνυεται σε μιση σειρα.Αυτο θα πει διδασκω.
Ερωτω:Η παρουσα αναρτηση προοριζεται για μαθητες η καθηγητες? Αν προοριζεταi για καθηγητες υποχωρω,Προτεινεις αλλο ορισμο του πλατους ως πιο ευλογο και το συζηταμε.Δεν εχω αντιρρηση.Αν ομως προοριζεται για μαθητες τοτε κακως γραφεις οτι η ερωτηση γ) δεν εχει νοημα διοτι αν ενας μαθητης απαντησει ετσι θα μηδενιστει.
Αλλωστε το οτι η ερωτηση εχει νοημα ειναι σωστο διοτι το πλατος ειναι συνεχης συναρτηση.
Ως προς τον συγγραφεα τυχαιος ειναι οπως και εγω η και καποιος αλλος αν γραψουμε κατι. Το τυχαιος το λεω με την εννοια της τυχαιοτητας στην επολογη του βιβλιου οχι με την εννοια της μικρης αξιας. Και του Κιbble το βιβλιο η ακομα και του καθηγητη Αποστολατου το βιβλιο αν ειχε αλλους ορισμους εμεις παλι τους ορισμους του σχολικου θα επρεπε να ακολουθησουμε.Το οτι μοιραζει αφιλοκερδως το βιβλιο του δεν εχει καμια σχεση με την συζητηση.
Ολοι πριν διαβασουν το συγκεκριμενο βιβλιο ειχαν κλειστα ματια και τωρα τα εχουν ανοιχτα? Δεν μου φαινεται και πολυ λογικο.
Θα συμφωνήσω με τον Κωνσταντίνο. Το σχολικό βιβλίο κάνει απλά μια περιγραφή και μάλιστα περιορισμένης ακρίβειας. Δεν δίνει τη γενική λύση άλλωστε οι μαθητές δεν ξέρουν διαφορικές για να τη βγάλουν ούτε καν αναφέρει το απλό Λ=b/(2m). Είναι σαφής ο προσανατολισμός του και στις ταλαντώσεις αλλά και στα κύματα. Κάνει μια εισαγωγή για να πάρουν μια ιδέα οι μαθητές πως περίπου είναι η απομάκρυνση σε μια εξαναγκασμένη ή φθίνουσα ταλάντωση με μικρά λαθάκια που γίνονται όμως … λαθάρες π.χ. για τη συχνότητα συντονισμού σε σώμα δεμένο σε κατακόρυφο ελατήριο σε μεγάλες αποσβέσεις. Το ίδιο κάνουμε π.χ. με το μοντέλο του Bohr στην κβαντική. Και για το πλάτος ταλάντωσης στις φθίνουσες στο περίπου αναφέρεται για να δείξει στο μαθητή πως περίπου μειώνεται η μέγιστη απομάκρυση από τη θέση ισορροπίας παρ όλο που κια αυτό παέι περίπατο όσο μεγαλώνει η απόσβεση. Ισως να μην έπρεπε να το ονομάζει πλάτος ταλάντωσης αλλά τοπικό μέγιστο της εξίσωσης που δίνει την απομάκρυση σε συνάρτηση με το χρόνο και τα λέει ότι αυτά τα μέγιστα(βουναλάκια) τέμνουν μια εκθετική καμπύλη σε διακρτιά σημεία αλλά δεν ξέρω η σαφήνεια κατά πόσο υπερέχει της παιδαγωγικής
Χαράλαμπε σε ευχαριστώ για τη συμμετοχή και την τοποθέτηση. Ας ελπίσουμε να μην ρωτήσουν χρόνους ημιζωής στις Εξετάσεις. Οι συζητήσεις που κάνουμε εδώ δείχνουν τι πρέπει να αποφευχθεί ως θέμα.
Κωνσταντίνε καταλαβαίνω το σκεπτικό και την ένστασή σου. Έχω μια απορία. Εσύ θα κάνεις στην τάξη άσκηση με χρόνο ημιζωής πλάτους;
Φυσικα.Δεν λεγεται χρονος ημιζωης.Θα δειξω πως η εξισωση Α=Βe^(-Λt) μπορει να λυθει ως προς t.Ειναι Μαθηματικα Β Λυκειου.Δεν επιτρεπεται να παει κανεις να δωσει εξετασεις χωρις να μπορει να το κανει..
Καλησπερα Χαραλαμπε.Ειναι ευχάριστο το οτι υπαρχει εστω και ενας που συμφωνει μαζι μου.Ο ρολος μας στην Γ Λυκειου ειναι μαλλον σαν να ειμαστε πιο πολυ προπονητες παρα καθηγητες.Ολη την χρονιά ετοιμαζουμε τους μαθητες για να πανε να γραψουν ενα τριωρο διαγωνισμα..Οσοι θελουν να γινουν φυσικοι ή μηχανικοι θα διαβασουν τα καταπληκτικα βιβλια της παγκοσμιας βιβλιογραφιας που υπαρχουν και θα τα μαθουν οπως πρεπει του χρονου στα Πανεπιστημια.
Ο νοων νοειτω λοιπον για το πως πρεπει να ειναι το μαθημα που κανουμε.
Καλησπέρα συνάδελφοι.
Θυμάμαι και βρίσκω σε πολλά βιβλία ότι σε πολλές εργαστηριακές ασκήσεις πάνω στην φθίνουσα ταλάντωση, προσδιορίζεται ο χρόνος ημίσειας ζωής 2m ln(2)/b (ή χρόνος υποδιπλασιασμού, δεν θα τα χαλάσουμε στο όνομα) του “πλάτους” Α0 Exp(-Λt), ώστε στην συνέχεια να εκτιμηθεί ο συντελεστής ποιότητας της κίνησης. Με τον ίδιο τύπο υπολογίζεται και ο χρόνος στον οποίο η τιμή του “πλάτους” ελαττώνεται στο 1/e της αρχικής της τιμής Α0, ως 2m/b.
Ανδρέα δεν καταλαβαίνω γιατί αυτό είναι τόσο μεγάλο λάθος, ώστε να πρέπει να ακολουθήσουν όλοι «τον δρόμο που έδειξαν τόσες φορές οι άξιοι συνάδελφοι του Υλικού» και να αποφύγουν τέτοια ερωτήματα.
Μπορώ μια χαρά να ορίσω ως πλάτος την ποσότητα Α0 Exp(-Λt), αρκεί να μην της αποδίδω ιδιότητες που δεν έχει.
Μάλλον είμαι ο δεύτερος που συμφωνεί με τον Κωνσταντίνο (Κωνσταντίνε ελπίζω να αντέξεις τόσες συμφωνίες σε λιγότερο από μία μέρα!).
χαχα Γεια σου Στάθη. 🙂
Καλησπέρα Στάθη. Σε ευχαριστώ για την τοποθέτηση.
Άρα το πλάτος είναι Α = Α0.e^(-Λt) επειδή κάποιος έτσι το ορίζει και όχι
Και η ενέργεια ταλάντωσης είναι και αυτή
Ε = 1/2 D Α^2, άρα εκθετική συνάρτηση του χρόνου;
Η Α = Α0.e^(-Λt) δεν είναι η μια περιβάλλουσα; Περνάει από θέσεις πλάτους; Είτε το θεωρήσουμε συνεχή συνάρτηση – που έτσι πρέπει να είναι – είτε κουκίδες.
Υπάρχει κάποιο λάθος στις εικόνες;
Επίσης πουθενά δεν πρότεινα να ακολουθήσουν όλοι το δρόμο …, μόνο οι θεματοδότες.
Δεν υπάρχει άλλωστε φροντιστήριο που να μην κάνει άσκηση του τύπου
Το πλάτος της φθίνουσας ταλάντωσης αρμονικού ταλαντωτή μειώνεται εκθετικά
με το χρόνο, σύμφωνα με την εξίσωση …Τη χρονική στιγμή t0 = 0 η ολική ενέρ-
γεια του ταλαντωτή είναι E0
α. Μετά πόσο χρόνο t1 η ενέργεια του ταλαντωτή θα γίνει Ε0 / 2;
β. Πόση είναι η ενέργεια του ταλαντωτή τη χρονική στιγμή t2 = 3t1;
Αλήθεια ποια είναι η λύση της παραπάνω άσκησης;
Ανδρέα, θα έλυνα την άσκηση με τους τύπους του σχολικού γιατί έτσι γράφει το σχολικό.
Θα έλυνα την άσκηση με τους ίδιους τύπους και εκτός σχολείου, αν η απόσβεση Λ είναι κάτω από το 1/10 του ω0=sqrt(D/m) (βάλε τα νούμερα και θα βρείς κυριολεκτικά αμελητέο ποσοστό λάθους- οι “πειραματικοί” το κάνουν συνεχώς). Και θα δίδασκα αυτήν την λύση, γιατί φυσική ειναι, σε πολύ μεγαλο βαθμό, και οι προσεγγίσεις της.
Είναι προφανές ότι ο τύπος Α0Exp(-Λt) είναι πολύ πιο εύχρηστος από αυτόν που προτείνεις ως “πλάτος”.
Γεια σου Στάθη.
Μια φορά γράφω μια άσκηση εξαναγκασμένης με “βολικά” νούμερα.
Ήταν m=1kg, k=100 N/m , b=2.(3)^0,5. Όλα ωραία.
Κάνω την υπόθεση εργασίας ότι συνάδελφος προσθέτει επεισόδιο στο σήριαλ κατά το οποίο καταργείται η δύναμη του διεγέρτη και ακολουθεί φθίνουσα ταλάντωση.
Ποιο είναι το αποτέλεσμα;
Εδώ δεν έχουμε την φθίνουσα που βλέπουμε στο εργαστήριο όπου για 10 και βάλε λεπτά η ταλάντωση υπάρχει και το επόμενο πλάτος δεν το ξεχωρίζεις από το προηγούμενο. Όπου η ω είναι σχεδόν (k/m)^0,5 και όπου η μέγιστη απομάκρυνση είναι σχεδόν ίδια με την περιβάλλουσα.
Φαντάζομαι ότι έχεις συναντήσει πολλά τέτοια.
Ας δούμε και την ενέργεια στην παραπάνω φθίνουσα:
Μπράβο Ανδρέα, μπράβο όχι μόνο για το περιεχόμενο της ανάρτησης,
αλλά κυρίως για την επιμονή και το κουράγιο να αναδεικνύεις το σωστό,
γνωρίζοντας ότι αυτό θα έχει “ψυχική φθορά”….
Θέματα που δεν παραβιάζουν το σωστό και μπορούν να έχουν ενδιαφέρον
στη φθίνουσα είναι λίγα…. και νομίζω οι αναρτήσεις του Μάργαρη για τη
φθίνουσα είναι οδηγός…..
Τί μπορείς να ζητήσεις χωρίς να εκτεθείς, αλλά να είσαι δίκαιος και με όσους
διδάσκονται μόνο το σχολικό;
Το λόγο διαδοχικών μέγιστων απομακρύνσεων προς την ίδια φορά της
αρχικής θέσης ισορροπίας χ=0….μέχρι εκεί…..
Ακόμα και αν συμβιβαστούμε στο λάθος και δεχτούμε την εκθετική μείωση
του “πλάτους” , ερωτήσεις όπως “βρείτε σε πόσο χρόνο θα ……”
δεν εξετάζουν φυσική αλλά άλγεβρα…..
Προσωπική θέση: Από το να εξετάσω “κάτι περίπου σωστό” , δεν χαραμίζω
ερώτημα και εξετάζω κάτι πιο ουσιαστικό……
Το σχολικό δεσμεύει και στη χρήση όρων και στη θεματοδοσία…
Δεν υποχρεώνει όμως κάποιον να εξετάσει αυτό που γνωρίζει πως είναι προβληματικό…
Άλλο το πρέπει να διδάξω γιατί ακολουθώ οδηγίες και πρόγραμμα σπουδών
και άλλο επιλέγω να εξετάσω το λάθος…. όπως η εκθετική μείωση της ενέργειας
ΥΓ: Σίγουρα οι παλιότεροι θυμούνται πως στην πρώτη έκδοση του βιβλίου,
αναφερόταν σαφώς πως ο χρόνος στη σχέση εκθετικής μείωσης έπαιρνε
διακριτές τιμές ακέραια πολλαπλάσια της περιόδου….
Ας το άφηναν έτσι και ας μην το ονόμαζαν συνάρτηση πλάτους….θα είχαμε
γλυτώσει από πολλά ολισθήματα ….
Καλησπέρα συνάδελφοι.
Το βιβλίο του Θρασύβουλου Μαχαίρα που διαπραγματεύεται τις φθίνουσες ταλαντώσεις, μας απασχόλησε για πρώτη φορά τον Ιούνιο του 2009, με την πρώτη ανάρτηση:
Το πλάτος της φθίνουσας ταλάντωσης
Η οποία έγινε στο προσωπικό μου μπλογκ, πριν την δημιουργία του υλικονέτ.
Ακολούθησαν και άλλες αναρτήσεις εκεί, ενώ στη συνέχεια, εδώ στο δίκτυο, ακολούθησαν ένα σωρό δημοσιεύσεις και συζητήσεις.
Ενδεικτικά να αναφέρω:
Φθίνουσες ταλαντώσεις και το πείραμα 1.27 της σελίδας 22 του σχολικού Φυσικής Γ΄Λυκείου. Αναζητώντας το σωστό και το λάθος.
Σχόλια σε άσκηση φθίνουσας ταλάντωσης του Ψηφιακού Σχολείου
Πότε μια ταλάντωση φθίνει πολύ αργά
ΓΚΡΙΖΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ στην ΑΑΤ-ΦΘΙΝΟΥΣΑ-ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ
Εξίσωση κίνησης στη φθίνουσα ταλάντωση
Είχαν νόημα όλα αυτά; Ασχοληθήκαμε με άσχετο θέμα, χωρίς να υπάρχει λόγος;
Κοιτάξτε συνάδελφοι. Ο Θρασύβουλος Μαχαίρας έχει απομακρυνθεί από το δίκτυό μας, προσωπικά έχω συγκρουστεί μαζί του, αλλά οφείλω να αναγνωρίσω ότι η παρέμβασή του και το βιβλίο που κατέθεσε, με έμαθε πράγματα, πάνω στις φθίνουσες, τα οποία δεν γνώριζα πριν. Το τι από όλα αυτά θα πρέπει να εφαρμοστούν στην τάξη και τι όχι, είναι μια άλλη συζήτηση.
Παραπάνω έγραψα στον Ανδρέα, ότι καλά έκανε που έφερε ξανά στο προσκήνιο τα βασικά συμπεράσματα των παλιών αυτών δημοσιεύσεων. Χωρίς να μιλάμε για «ευαγγέλια» ο καθένας έχει το δικαίωμα να προβληματιστεί και να οδηγηθεί στα δικά του συμπεράσματα. Προσωπικά τα δικά μου διδακτικά συμπεράσματα έχουν δημοσιευτεί από το 2014:
Η διδασκαλία της φθίνουσας ταλάντωσης στην Γ΄Λυκείου.
Γιατί τα αναφέρω όλα αυτά; Νομίζω ότι ένα σχόλιο, που «απορρίπτει» όλα αυτά μέσα σε λίγες γραμμές, πετώντας στο καλάθι των αχρήστων, πρώτα και κύρια τον κόπο του συναδέλφου, αλλά και όλων των υπολοίπων που ασχοληθήκαμε επί μακρόν με το θέμα, χωρίς κανένα προβληματισμό, δεν είναι ο ενδεδειγμένος τρόπος αντιμετώπισης του θέματος.
Ούτε η επίκληση της «παγκόσμιας βιβλιογραφίας» επιλύει το ζήτημα…
Καλησπερα Θοδωρη.Καλησπερα σε ολους.Η συζητησεις εδω περι σωστου,λαθους για διαφορα θεματα, οπως τωρα η θεωρια της ταλαντωσης με αποσβεση,η για το ποια κινηση λεγεται ΑΑΤ,δεν καταληγουν πουθενα διοτι στις συζητησεις αυτες μπλεκονται ταυτοχρονα πολλα περαπλευρα θεματα.Χρειαζομαστε εναν συντονιστη μαλλον να κανει κοντρολ 🙂
Ποια ειναι η σωστη θεωρια στις φθινουσες? Αυτη:
https://scholar.harvard.edu/files/david-morin/files/waves_oscillations.pdf
σελιδες 14 εως 20
Αυτες οι σημειωσεις ειναι ενος απο τα καλυτερα πανεπιστημια στον κοσμο.
Ο συγκεκριμενος καθηγητης ειναι πολυ γνωστος και στην ιστοσελιδα του Harvard εχει αναρτησει προβληματα προς λυση καποια απο τα οποια εχουμε λυσει και εδω στο υλικο.
Στις σημειωσεις αυτες η ποσοτητα Αe^(-Λt) oνομαζεται πλατος.Ειναι ορισμος,ειναι ονομασια,δεν ειναι λαθος. “Μπορώ μια χαρά να ορίσω ως πλάτος την ποσότητα Α0 Exp(-Λt), αρκεί να μην της αποδίδω ιδιότητες που δεν έχει.” (Στάθης).Και το σχολικο βιβλιο την ονομαζει πλατος. Ειναι παραλογο ενας καθηγητης να επιμενει οτι αυτο ειναι λαθος.Τι ιδιοτητες εχει αυτη η συναρτηση?
Θα πω ποια ιδιοτητα δεν εχει.
Η ενεργεια της ταλαντωσης δεν ειναι αναλογη του τετραγωνου αυτης της συναρτησης.Πως το ξερουμε? Διοτι η συναρτηση αυτη ειναι εκθετικη και η ενεργεια της ταλαντωσης δεν μπορει να ειναι εκθετικη διοτι ο ρυθμος μεταβολης της εχει μηδενισμους τις χρονικες στιγμες που η ταχυτητα μηδενιζεται,ενω ο ρυθμος μεταβολης μιας εκθετικης συναρτησης δεν μηδενιζεται ποτε.
Αυτο το γεγονος εχει κανει καποιους καθηγητες να εχουν φρικαρει με το σχολικο που γραφει καπου οτι η ενεργεια μεταβαλεται εκθετικα και αντι να διορθωσουν αυτο,πανε να αλλαξουν τους ορισμους.
Οπως ειπε και ο Σταθης αν η αποσβεση ειναι μικρη τοτε η ενεργεια συναρτησει του χρονου ειναι σχεδον ιδια με εκθετικη συναρτηση.Μονο αυτη η παρατηρηση να γινει,σχεδον το διορθωνει το σχολικο βιβλιο.
Ολα αυτα και καποιες αλλες λεπτομερειες οπως το οτι τα κοινα σημεια της περιβαλλουσας με την ιδια την συναρτηση της απομακρυνσης,δεν ειναι τα ακροτατα της απομακρυνσης,δεν αφορουν τους μαθητες αλλα μονο εμας τους καθηγητες.Η συναρτηση πλατους που εχει γραψει ο Ανδρεας απο το βιβλιο του Μαχαιρα ειναι ενα δυσχρηστο μακρυναρι χωρις καμια πρακτικη αξια..Μοναδικο σκοπο εχει να καταστησει αληθη την προταση οτι η ενεργεια στην φθινουσα ειναι αναλογη του τετραγωνου του πλατους.
Οπως εγραψε και ο Χαραλαμπος Το σχολικό βιβλίο κάνει απλά μια περιγραφή και μάλιστα περιορισμένης ακρίβειας.
Τι πρεπει να ξερουν οι μαθητες για να πανε να δωσουν εξετασεις?
Τις σελιδες 18,19 του σχολικου και απο ασκησεις ελαχιστα πραγματα.Ασκηση με εκθετικη μειωση ενεργειας δεν πεφτει με τιποτα δεν ειναι χαζοι αυτοι που βγαζουν τα θεματα.Ασκηση με εκθετικη μειωση πλατους παλι δεν πεφτει διοτι συμφωνω μαζι σου Θοδωρή ειναι σκετη αλγεβρα αλλα αν μια στις χιλιες πεσει,δεν χαλασε ο κοσμος.Θα μου παρει ενα δεκαλεπτο να δειξω στους μαθητες πως το κανουμε δηλαδη πως λυνουμε ενα εκθτικο ως προς τον εκθετη. Καλυτερα να τους το δειξω παρα να αρχισω την γκρινια οτι αυτο ειναι λαθος και ωχ αμαν μην τυχον και πεσει και αλλα τετοια αστεια.
Αρα ας αφησουμε την γκρινια για τα λαθη του σχολικου. Για αυτο εχουν τα παιδια εμας. Αν ητανε θα τους δινανε το σχολικο και θα τους λεγανε διαβαστε το και πηγαινετε να δωσετε εξετασεις.
Αν ενας μαθητης διαβασει αυτην την αναρτηση του Ανδρεα θα μπερδευτει τοσο ασχημα στις φθινουσες που οτι και να τον ρωτησουν μετα δεν θα ξερει τι να απαντησει.
Καλα τα πηγα σημερα ειχα δυο φιλους που συμφωνησαν μαζι μου Χαραλαμπο και Ανδρεα. Μην πω και αλλα γιατι στο τελος θα διαφωνησουν ολοι! 🙂
Ευχαριστω που με ακουσατε.Καληνυχτα σας.