by 
Μια «λυκειακή» ενεργειακή μελέτη της εξαναγκασμένης ταλάντωσης, με τη βοήθεια και του graph (και με … κάμποσα «εκτός ύλης»!)
Με αφορμή τις πρόσφατες αναρτήσεις σχετικά με την ενέργεια και την ισχύ στην εξαναγκασμένη ταλάντωση, προσθέτω κι εγώ τη συμβολή μου στη συζήτηση.
Καλημέρα Διονύση.
Χαίρομαι που σε βλέπω ξανά… αναρτώντα!
Περιμέναμε καιρό, αλλά μας έδωσες ένα πλούσιο πιάτο!
Σε ευχαριστούμε…
Καλημέρα Διονύση, νά ‘σαι καλά, σ’ ευχαριστώ 🙂
Καλημέρα Διονύσηδες.
Διονύση πολυ καλή. Ξαφνιάζει το “ένας είναι ο συντονισμός”. Μάλλον θέλεις πλήρη αναλογία με τις ηλεκτρικές.
Καλημέρα Γιάννη, σ’ ευχαριστώ.
Είχα στο μυαλό και το RLC. Είχα σκοπό να γράψω και μια αντιστοίχιση, αλλά μάκραινε και το άφησα 🙂
Επί της ουσίας τώρα, για μικρές b δεν υπάρχει πρόβλημα.
Μπορούμε όμως να μιλάμε για “συντονισμό πλάτους” για ω μακρυά από την ωο;
Οι Fδ και x ποτέ δεν συμμεταβάλλονται.
Αλλά, το κυριότερο, η μεταφορά ενέργειας δεν είναι “βέλτιστη”!
Καλημέρα Γιάννη, καλημέρα ξανά Διονύση.
Παιδιά έχω την άποψη ότι είναι θέμα ορισμού.
Τι ονομάζουμε συντονισμό;
Νομίζω ότι ορίζεται διαφορετικά ο συντονισμός στις μηχανικές ταλαντώσεις (που μας ενδιαφέρει το πλάτος) και διαφορετικά στις ηλεκτρικές ταλαντώσεις (όπου μας ενδιαφέρει η (μέση) ηλεκτρική ισχύς που καταναλώνεται στην αντίσταση).
Μάλλον έτσι είναι. Το τι μας ενδιαφέρει σε κάθε εφαρμογή.
Ερώτηση μαθητή λοιπόν:
x=A ημ(ω t+φ)
Όταν η ταλάντωση είναι αμείωτη απέδειξα ότι η δυναμική ενέργεια και η κινητική ενέργεια έχουν σταθερό άθροισμα. Όταν η ταλάντωση είναι εξαναγκασμένη και η εξίσωση είναι η ίδια γιατί το άθροισμα δεν είναι σταθερό; Γιατί δεν μπορώ να ορίσω δυναμική ενέργεια U=mω^2 x^2 /2 (και όχι U=mω_0^2 x^2 /2) ; Γιατί αυτή η συνάρτηση που βγαίνει όπως ακριβώς έβγαλα την αντίστοιχη της αμείωτης ταλάντωσης είναι λάθος και δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε μια ΑΔΕ; Η απάντηση είναι πολύ απλή. Δεν είναι λάθος. Το αντίθετο. Αυτή είναι η δυναμική ενέργεια του συστήματος και βγαίνει από το γεγονός πως η συνισταμένη δύναμη είναι αστρόβιλη. Δεν είναι η δυναμική ενέργεια του συστήματος μάζα-ελατήριο αλλά ΟΛΟΥ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ και μπορείς να τη χρησιμοποιήσεις σε μια ΑΔΕ όπως ακριβώς και στην αμείωτη γιατί περιλαμβάνει ΟΛΕΣ τις δυνάμεις που δρουν στο σώμα (και τη δύναμη του διεγέρτη αλλά και την απόσβεση).
Επομένως η δυναμική ενέργεια του συστήματος που βγαίνει από το γεγονός πως η συνισταμένη δύναμη είναι αστρόβιλη άρα διατηρητική μια χαρά έχει το ίδιο μέγιστο με την κινητική. Γιατί το σύστημα δεν είναι μόνο η μάζα και το ελατήριο αλλά και το υλικό που παράγει την απόσβεση αλλά και ο διεγέρτης.
Είναι γνωστή η άσκηση του σχολικού βιβλίου:
Η ράβδος κινείται έτσι ώστε x=A ημ(ω t+φ).
Με την λογική αυτήν θα αποκτήσει δυναμικη ενέργεια. Μια δυναμική ενέργεια που απορρέει από τριβές ολίσθησης. Είναι συντηρητικές δυνάμεις;;
Πέραν αυτού, η δυναμική ενέργεια ταλαντωτή σε μία θέση είναι ίση με το έργο που απαιτείται ωστε να τον πάμε στην θέση αυτήν.
Εδώ είναι φανερό πως η σανίδα οδηγείται σε κάποια θεση με έργο ακόμα και μηδενικό.
Ποια διατήρηση ενέργειας θα επικαλεστεί κάποιος εδώ την στιγμή που θερμαίνονται τα τρία σώματα;
Ποια είναι η φύση της δύναμης του διεγέρτη ώστε να χαρακτηρισθεί συντηρητική και να της προσάψουμε δυναμική ενέργεια;
Μέχρι ηλεκτρική ενέργεια (και όχι μόνο) εμπλέκεται εδώ.
Το .ότι μετά τα μεταβατικά φαινόμενα η δύναμη έγινε -Λ.x αρκεί για να χαρακτηρισθεί συντηρητική, ή τον τίτλο δικαιούνται μόνο κάποιες πεδιακές δυνάμεις;
Το θέμα έχει συζητηθεί εκτενέστατα εδώ. Φυσικά κάθε συνάδελφος διατηρεί το δικαίωμα να διαφωνεί με “συμφωνηθέντα” σε συζητησεις του παρελθόντος.
Έχουν γραφεί πολλά. Ο ίδιος έγραψα για την ενέργεια ταλάντωσης:
Η χρήσιμη σχέση m.ω^2.x^2+m.υ^2=m. ω^2.Α^2 περιέχει τρεις όρους με διαστασεις ενέργειας. Αυτό δεν σημαινει ότι ο πρώτος όρος και ο τρίτος είναι δυναμικές ενέργειες. Ο δεύτερος καποιες φορές είναι το διπλασιο της κινητικής ενέργειας, κάποιες όχι.
Επί παραδείγματι στην περίπτωση αυτήν:
ο όρος 1/2.m.υ^2 δεν είναι φυσικά η κινητική ενέργεια του συστήματος.
Πέραν αυτών ας δούμε τις αναλογίες μηχανικών-ηλεκτρικών ταλαντώσεων:
Πολύ καλή ανάρτηση που φαίνονται και οι αβλεψίες του σχολικού και τι ισχύει και πότε ισχύει. Για μένα θα έπρεπε να υπάρχει στο σχολικό σαν ελεύθερο ανάγνωσμα. Ενας από τους λόγους τελειότητας των ξένων βιβλίων πανεπιστημιακών και κολλεγιακών είναι αυτά τα ελεύθερα αναγνώσματα που αποτελούν επεκτάσεις της θεωρίας, εφαρμογές τις θεωρίας π.χ. στην καθημερινή ζωή για τον ανήσυχο μαθητή ή και καθηγητή που θέλει να μάθει κάτι παραπάνω και ας μην εξετάζεται σε αυτό. Η φυσική είναι μια μεγάλη και πολύπλοκη επιστήμη και δεν χωράει σε σχολικά βιβλία και εξετάσεις. Φοβάμαι πως έχουμε δώσει μια λαναθασμένη εικόνα σε μαθητές για το τι είναι φυσική. Καλός φυσικός δεν είναι αυτός που λύνει δύσκολες ασκήσεις. Είναι ένα μικρό μόνο μέρος της δουλειάς του. Καλός φυσικός είναι αυτός που “βγάζει” θεωρίες ή/και κάνει “έξυπνα” πειράματα για να ελέγξει την ορθότητα τους ή να κάνει ακριβέστερες μετρήσεις. Καλός φυσικός είναι και π.χ. αυτός που κάνει ένα πρόγραμμα στον υπολογιστή για να λύσει ένα φυσικό πρόβλημα που δεν λύνεται αλλιώς. Αυτά όμως δεν εξετάζονται σε κανένα πανεπιστήμιο του κόσμου και σε καμία εξέταση ούτε καν στα περίφημα GRE.
Ευχαριστούμε Διονύση…
Δεν ξέρω αν το σύνολο των 7 σελίδων είναι για “Λυκειακή” χρήση,
αλλά θεωρώ πως είναι υποχρέωση καθενός από εμάς που διδάσκουμε
να αναφερθούμε στη σελίδα 4….
Μια ελάχιστη προσθήκη που πιθανά βοηθά στην κατανόηση
Δεν κατανοώ επίσης, γιατί το ΙΕΠ προσπερνά
τα μύρια όσα στην εξαναγκασμένη, ενώ στο φωτοηλεκτρικό
δίνει και καλά κάνει, εκτενέστατες οδηγίες…..
Αυτή η ανισοκατανομή μπορεί να παρερμηνευτεί ως
“Διδάξτε αναλυτικά και σωστά το φωτοηλεκτρικό και δεν βαριέσαι για τα άλλα….”
Συγχαρητήρια Διονύση!!!
Εμπεριστατωμένη μελέτη της εξαναγκασμένης ταλάντωσης με διεγέρτη δύναμη που μεταβάλλεται αρμονικά με το χρόνο, κατανοητή και από υποψήφιο !
Απαραίτητη γνώση για τον διδάσκοντα καθηγητή.
Να είσαι πάντα καλά φίλε.
Καλημέρα Διονύση. Εξαιρετική προσέγγιση για το θέμα που καλούμαστε τέτοια εποχή κάθε χρόνο να διδάξουμε, σαν ακροβάτες ισορροπώντας ανάμεσα στο σωστό και το λάθος. Ευχαριστούμε.
Τι πιστεύεις ότι πρέπει να λέμε στην τάξη για:
1) την πρόταση του βιβλίου:
Στις εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, στο σύστημα προσφέρεται συνεχώς ενέργεια με συχνότητα f μέσω της διεγείρουσας δύναμης.
Είναι σωστή; Είναι λάθος; Είναι εν μέρει σωστή; Είναι μια απλή ασάφεια και εννοεί κάτι άλλο που εμείς δεν καταλαβαίνουμε;
2) την ερώτηση του βιβλίου:
1.21 Ένα σώμα εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση. Ποιες από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστές;
α) Το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται με το χρόνο.
β) Η συχνότητα ταλάντωσης είναι ίση με την ιδιοσυχνότητα του συστήματος.
γ) Το πλάτος της ταλάντωσης εξαρτάται από τη συχνότητα του διεγέρτη.
δ) Η ενέργεια που χάνεται λόγω των αποσβέσεων αναπληρώνεται από το
διεγέρτη.
Διονυση πολυ ωραία η παρουσίαση του θέματος. Αν και έχουν γινει πολλές αναλύσεις όλα αυτά τα χρόνια πάντα είναι ένα θέμα ιδιαίτερο που χρειάζεται προσοχή. Το σημείο δε του συντονισμου όπως αναφερεις και εσυ έχει τα δικά του …..
Το πλάτος στην μόνιμη κατάσταση παραμένει σταθερό διοτι ο μέσος ρυθμος προσφοράς ενέργειας απο τον διεγέρτη στο υπο ταλάντωση σύστημα είναι ίσος με το μέσο ρυθμό απώλειας ενέργειας λόγω της δύναμης της απόσβεσης.
Ενω στην κάτασταση συντονισμου (ενέργειας) ο στιγμιαίος ρυθμος προσφοράς ενέργειας απο τον διεγερτη είναι ισος με το στιγμαιο ρυθμο απώλειας ενέργειας λόγω της δυναμης της αποσβεσης. Δικαιογημένα προβληματίζεσαι με την εννοια του συντονισμου …
Στα πλαίσια του σχολικου βιβλίου όπου το b θεωρείται μικρό κάποια ιδιαιτερα θέματα των εξαναγκασμενων ταλαντωσεων ξεπερνιόνται πιο ευκολα.
Ειναι σημαντικό να καταλάβει κανεις ότι παρόλο που το πλάτος παραμένει σταθερο , στην μόνιμη κατάσταση , η ενέργεια της ταλάντωσης δεν είναι σταθερη . Ο τύπος που ανέφερε ο Θοδωρης καλό είναι να συζητιέται με τους μαθητες .
Απο εκει και πέρα στις περισσότερες ασκήσεις πολύτιμος “οδηγος” στην λύση τους είναι η εφαρμογή του δευτερου νόμου του Νευτωνα τοσο στις εξαναγκασμένες όσο και στις φθινουσες . Άλλωστε και εσυ στην ανάλυση του θέματος αρκετες φορες το εφαρμοσες. Ξεκινωντας κάνεις από τον 2ο ΝΝ μπορει να φτάσει στην Αρχη Διατηρησης της Ενέργειας .
Καλημέρα σε όλους,
Βασίλη, Χαράλαμπε, Θοδωρή, Πρόδρομε, Ανδρέα, Κώστα
Σας ευχαριστώ για τα σχόλιά σας!
Βασίλη, από μαθηματική σκοπιά, η ένστασή σου φαίνεται να είναι δικαιολογημένη.
Αναφέρεσαι όμως σε μια συνισταμένη δύναμη. Δηλαδή σε μια ανύπαρκτη δύναμη που μπορεί μεν να «αντικαθιστά ισοδύναμα» όλες τις άλλες, αλλά μόνο δυναμικά και κινηματικά και όχι ενεργειακά.
Η δυναμική ενέργεια ορίζεται ως dU=–Fdx για κάθε δύναμη ξεχωριστά, αν αυτή έχει τα κατάλληλα χαρακτηριστικά.
Στο μοντέλο του αρμονικού ταλαντωτή, η δύναμη F=–Dx είναι μια και χωροεξαρτώμενη.
Στα συστήματα ελεύθερης ΑΑΤ χωρίς απόσβεση, η δύναμη επαναφοράς είναι συντηρητική, ως συνισταμένη συντηρητικών δυνάμεων (τάσης ελατηρίου, βάρους, κλπ) και όχι μόνο επειδή έχει τη μορφή ΣF=–Dx.
Στην εξαναγκασμένη όμως; Ισχύει το ίδιο;
Χαράλαμπε σ’ ευχαριστώ για την τοποθέτησή σου. Συμφωνώ σε όλα!
Θοδωρή γι’ αυτό έβαλα το «λυκειακή» σε εισαγωγικά! 🙂
Εννοούσα χωρίς διαφορικές!
Σ’ ευχαριστώ για το συμπλήρωμα, θα το προσθέσω!
Πρόδρομε σ’ ευχαριστώ, να ‘σαι καλά 🙂
Ανδρέα σ’ ευχαριστώ και χιλιόχρονος!
Στις επισημάνσεις σου:
1) Λέγοντας «προσφέρεται ενέργεια» αναφερόμαστε σε κάποιο πεπερασμένο χρόνο, επομένως σε κάποιο μέσο ρυθμό, στην αναπλήρωση των απωλειών.
Εξάλλου, γράφει «με συχνότητα f» οπότε (μάλλον 🙂 ) αναφέρεται στην προσφερόμενη ανά περίοδο.
(Αντίστοιχα, σε ένα RLC δεν θα λέγαμε ότι η πηγή προσφέρει ενέργεια που γίνεται θερμική στους αντιστάτες;)
2) Με τη λογική πιο πάνω, σωστή η (δ).
Κώστα σ’ ευχαριστώ, η σύνοψη και τα συμπεράσματα πολύ ωραία!