Νόμος Biot-Savart vs νόμου Ampère

Έστω ένας ευθύγραμμος αγωγός απείρου μήκους, ο οποίος διαρρέεται από ρεύμα έντασης Ι. Για να βρούμε την ένταση του μαγνητικού πεδίου που δημιουργεί στο σημείο Α, έχουμε δυο τρόπους.

  1. Να εφαρμόσουμε τον νόμο των Βiot-Savart και ολοκληρώνοντας να υπολογίσουμε ότι σε απόσταση r, το μαγνητικό πεδίο έχει ένταση:
  2. Να εφαρμόσουμε τον νόμο του Ampère, παίρνοντας μια κυκλική διαδρομή, με επίπεδο κάθετο στον αγωγό, ακτίνα r με κέντρο τον αγωγό. Τότε λόγω συμμετρίας σε όλα τα σημεία του κύκλου αυτού επικρατεί η ίδια ένταση, οπότε θα έχουμε:

Προφανώς οι δύο αυτοί τρόποι είναι ισοδύναμοι.

Ας πάρουμε τώρα ότι ο αγωγός μας έχει μήκος l=1m, ενώ r=18cm. Τότε εφαρμόζοντας τον νόμο των Βiot-Savart, (στην πραγματικότητα αν εφαρμόσουμε την εξίσωση (4.2), η οποία είναι εκτός ύλης),   θα υπολογίσουμε την ένταση στο σημείο Α η οποία θα έχει μέτρο:

Αν θελήσουμε να υπολογίσουμε την ένταση από τον νόμο του Ampère, θα πάρουμε ξανά την εξίσωση (1), αφού ο νόμος αυτός δεν προβλέπει το μήκος, ούτε βάζει περιορισμούς στο μήκος. Μπορεί ο αγωγός να έχει άπειρο μήκος ή και μήκος 1m.

Και το ερώτημα είναι:

Ποια αποτέλεσμα στην 2η περίπτωση είναι σωστό; Αυτό που προκύπτει από τον νόμο Βiot-Savart  ή αυτό από τον νόμο Ampère;

Και αν το ένα αποτέλεσμα είναι λάθος, γιατί γίνεται το λάθος αυτό; Εφαρμόσαμε κάτι λανθασμένα;

(Visited 982 times, 1 visits today)
Subscribe
Ειδοποίηση για
13 Σχόλια
Inline Feedbacks
Όλα τα σχόλια
Γρηγόριος Χατζής
1 μήνας πριν

Καλησπέρα Διονύση. Ωραίο ερώτημα.
Σκέφτομαι ότι το αποτέλεσμα με το 1,9 (Biot-Savart) είναι το σωστό. Στο νόμο Ampere η ένταση του ρεύματος Ι αφορά σε όλον τον αγωγό (ο οποίος για να διαρρέεται από ρεύμα πρέπει το κύκλωμα να είναι κλειστό).
Μια σκέψη πολύ γρήγορη είναι.

Βαγγέλης Κουντούρης

καλό μεσημέρι σε όλους
γνώμη μου: και οι δύο τρόποι είναι λανθασμένοι, διότι αγωγός απείρου μήκους δεν υπάρχει
συμβολισμός είναι, συνθήκη, αν το μήκος του αγωγού είναι πολύ μεγαλύτερο από την απόσταση του σημείου, στο οποίο μελετάμε το πεδίο, από τον αγωγό
οι τιμές 100 cm και 18 cm δεν ικανοποιούν την συνθήκη
(θυμίζω, πάντως, ότι “ο “εκτός” και ταυτόχρονα οικουρών αμαρτίαν ουκ έχει”, ημετέρα παροιμία…)

Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος

Καλησπερα Διονυση Γρηγορη και Βαγγέλη.Η εφαρμογη του νομου Ampere στην περιπτωση του πεπερασμενου τμηματος αγωγου μπορει να γινει μονο απο καποιον που δεν εχει καταλαβει τι κανει οταν εφαρμοζει τον νομο αυτο και οταν δεν εχει καταλαβει τι ειναι αυτο που επικαλειται ως κυλινδρικη συμμετρια.
Εστω ευθυγραμμος αγωγος απειρου μηκους.
Τι σημαινει κυλινδρικη συμετρια?
Σημαινει οτι αν το ευθυγραμμο συρμα απειρου μηκους ταυτιζεται με τον αξονα z,τοτε το ευθυγραμμο συρμα ειναι το μονο που υπαρχει,δεν υπαρχει δηλαδη loop επιστροφης και επισης ενας παρατηρητης ο οποιος μετακινειται κατα μηκος του αξονα z η κατα μηκος του αζιμουθιου φ,δεν καταλαβαινει καμμια διαφορα σε τιποτα. Αρα σε ενα προβλημα με κυλινδρικη συμμετρια,το μαγνητικο πεδιο ειναι αναγκαστικα
Β(r)= f(ρ)ρ+g(ρ)φ+h(ρ)κ . Δηλαδη Β(r)=Β(ρ) μονο! Τα διανυσματα ρ,φ,κ ειναι τα μοναδιαια διανυσματα των κυλινδρικων συντεταγμενων. Εκει τελειωνουν τα επιχειρηματα λογω συμμετριας. Οι συνιστωσες f(ρ)ρ ,h(ρ)κ
δεν μηδενιζονται λογω συμμετριας αλλα λογω της εφαρμογης του νομου Βiot-Savart μονο στην διαφορικη του μορφη και παρατηρωντας οτι το τυχαιο στοιχειο ρευματος που υπαρχει στον χωρο δημιουργει συνιστωσα μονο κατα μηκος του μοναδιαιου φ .Αρα τελικα Β(r)= g(ρ)φ=Β(ρ)φ
Ακομα δεν εχω εφαρμοσει τον νομο Ampere.Exω απλως προετοιμασει το εδαφος για να τον εφαρμοσω.
Οποτε εχω Int(Β(ρ)φdφ =μΙ …….και το Β(ρ) βγαινει εξω απο το ολοκληρωμα….. Αν δεν καταληξω πρωτα στο οτι Β(ρ)=Β(ρ)φ ο νομος Αmpere δεν εφαρμοζεται.
Αν το συρμα δεν ειναι απειρου μηκους τοτε το προβλημα δεν εχει κυλιδρικη συμμετρια διοτι υπαρχουν οι συνεχειες των ρευματων οι οποιες ειναι αγνωστες.Το μαγνητικο πεδιο στην κλειστη καμπυλη του νομου του Ampere εξαρταται απο ολα τα ρευματα,οχι μονο αυτα που εχουμε στο μυαλο μας.Ολα τα επιχειρηματα που μας εφεραν στο σημειο Β(ρ)=Β(ρ)φ, στην περιπτωση που δεν εχω ευθυγραμμο αγωγο απειρου μηκους,καταρρεουν ολα,ειναι ολα λαθος.
Και κατι ακομα.Στην περιπτωση του ευθυγραμμου αγωγου απειρου μηκους η συνηθης φραση οτι λογω συμμετριας οι δυναμικες γραμμες του πεδιου ειναι ομοκεντροι κυκλοι,ειναι ενα ποιημα το οποιο ειναι λαθος.Καμμια κυλιδρικη συμμετρια δεν το εξασφαλιζει αυτο.Η κυλινδρικη συμμετρια μεχρι το σημειο Β(r)= f(ρ)ρ+g(ρ)φ+h(ρ)κ μπορει να μας παει και αυτο δεν σημαινει ομοκεντροι κυκλοι.Χρειαζεται εξτρα επιχειρημα που δεν εχει καμμια σχεση με συμμετριες.
Θεωρω οτι η απαντηση που δινω ειναι περιπου η ιδια με του Γρηγορη Χατζη η οποια ειναι σωστη,απλως ειναι συνοπτικη.Εγω δινω πιο πολλες εξηγησεις.

Τελευταία διόρθωση1 μήνας πριν από Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος
Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος

Παροραματα: oπου γραφει Β(ρ)=Β(ρ)φ θελει Β(r)=Β(ρ)φ
οπου φυσικα r=(ρ,φ,z) ,Eπισης περιπου στο μεσον θελει Int(Β(ρ)φ(dl)φ =,,,

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Καλησπέρα παιδιά.
Γράφαμε μαζί Κωνσταντίνε.
Για να κλείσει το κύκλωμα χρειάζεται κάτι σαν το παρακάτω:
comment image
Η κυκλοφορία είναι μο.I αλλά το μαγνητικό πεδίο δεν έχει σε όλα τα σημεία του κύκλου ίδιου μέτρου Β. Δείχνω σε 2 σημεία το Β. Στο μέσα σημείο το Β είναι σημαντικά ισχυρότερο.

Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος

Ακριβως.Το μαγνητικο πεδιο στην κλειστη καμπυλη του νομου του Ampere εξαρταται απο ολα τα ρευματα,οχι μονο αυτα που εχουμε στο μυαλο μας.Ολη η συμμετρια εχει παει περιπατο.

Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος

Βαγγελη αγωγος απειρου μηκους υπαρχει αφου υπολογιζουμε ολοκληρωματα με ορια συν πλην απειρο ή με γωνιακα ορια μηδεν πι κλπ.Αφου υπαρχει στο μυαλο μας υπαρχει.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Ο Πάνος Μουρούζης εδώ επικαλείται σε κάποιο κομμάτι την κυκλοφορία που ένα τμήμα γεννά.
Εάν ολοκλήρωνε από -θ ως θ αντί από -π ως π θα έβγαζε το ίδιο.

Βασίλειος Μπάφας
1 μήνας πριν

Καλησπέρα σε όλους.
Διονύση πολύ καλό το ερώτημα και πολύ έξυπνες οι παρατηρήσεις των συναδέλφων!

Δημήτρης Γκενές
Αρχισυντάκτης
1 μήνας πριν

Συνάδελφοι Καλησπέρα
Έθεσα το θέμα διότι το βιβλίο στις ερωτήσεις και της εφαρμογές του Νόμου Αμπερ δεν θέτει θέμα μήκους ή σχήματος αλλά μόνο θέμα συμμετρίας. ( Σχήμα.4.8 , Ερώτηση 4,8 , Ασκηση 4.39 )

Υπάρχει άπειρος ρευματοφόρος αγωγός ; Όχι , αλλά …
…αλλά μπορούμε να το θεωρήσουμε όταν είναι πολύ μεγαλύτερου μήκους σε σχεση με την απόσταση που θέλουμε να βρούμε την ένταση Β. Όσο κι αν δεν το πιστεύετε αρκεί να είναι 12,7 φορές μεγαλύτερο το μήκος του αγωγού (από την απόσταση του σημείου που θέλουμε να υπολογίσουμε την ένταση ) για να έχει σφάλμα μικρότερο από το στατιστικά αποδεκτό 1/32 δηλαδή σφάλμα μικρότερο 0,3125% !
Στην περίπτωσή μας (100/18=5.55) δυστυχώς έχουμε σφάλμα υπερδιπλάσιο.

Βέβαια για την εφαρμογή του ν. Αμπερ δεν χρειάζεται άπειρος αγωγός ούτε απόλυτη συμμετρία π.χ. εφαρμογή στο πηνίο όπου το σφάλμα γίνεται σημαντικό για πηνία μικρής πυκνότητας σπειρών ( κυρίως λόγω της κλίσης της σπείρας ως προς τον άξονα ).

Είναι θέματα που πρέπει να συζητάμε με τους μαθητές αν δεν θέλουμε μια στείρα μηχανιστική εφαρμογή τύπων . Τα φροντιστηριακά που κυκλοφόρησαν περιέχουν α) πολλές ασκήσεις με βάση την σχέση 4.2. και β) με κυκλώματα που περιέχουν τμήματα αγωγών που πρέπει ο μαθητής να αγνοήσει στους υπολογισμούς του για λόγους που δεν καθορίζονται κ.λ.π

Υ.Γ. Όσο για το αν το θέμα ετέθη από εμένα λόγω άγνοιας της απαιτούμενης συμμετρίας ευτυχώς έχουμε τον Κ. Καβαλλιεράτο και μας τα ξεκαθαρίζει.

Τελευταία διόρθωση1 μήνας πριν από Δημήτρης Γκενές
Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος
Απάντηση σε  Δημήτρης Γκενές

Καταλαβαινω οτι τo θεμα μπηκε στο φορουμ απο καποιον που το θετει προς συζητηση.Δεν θεωρω οτι αυτος που θετει το θεμα προς συζητηση προτεινει την λανθασμενη λυση η οτι εχει αγνοια.Θεωρω οτι το βαζει ως κουιζ η ως κατι το οποιο εχει ενδιαφερον για συζητηση και οτι πιθανοτατα το θετει ενω ο ιδιος εχει εντοπισει το λαθος,και γνωριζει πολυ καλα την απαντηση.Ο Κυριακοπουλος αυτο το κανει συνεχεια.Θεωρω αστοχο το ειρωνικο σας σχολιο κυριε Γκενέ.
Και ξαναλεω:
Αν καποιος εφαρμοσει τον νομο Ampere με στοχο να βρει το μαγνητικο πεδιο σε προβλημα που δεν εχει την απαιτουμενη συμμετρια,τοτε δρα μηχανικα χωρις να εχει ιδεα τι κανει.

Τελευταία διόρθωση1 μήνας πριν από Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος