Το πλήθος των κροσσών συμβολής.

(Μία διαφορετική διατύπωση)

Ας δούμε το εξής απλό Μαθηματικό πρόβλημα:

Εστω επιπεδο Π και δυο σημεια του Α,Β τα οποια απεχουν αποσταση d και εστω κ ενας αριθμος.Να βρεθει το πληθος των κλάδων υπερβολων που ανηκουν στο επιπεδο και εχουν την ιδιοτητα οι διαφορες των αποστασεων των σημειων τους απο τα Α,Β να ειναι ακεραιο πολλαπλασιο του αριθμου κ.

Λυση:  Εστω rA -rB  η διαφορά την αποστασεων του τυχαιου σημειου του Π απο τα Α,Β. Ως γνωστον ο γεωμετρικος τοπος των σημειων του Π που εχουν σταθερη διαφορα αποστασεων απο τα Α,Β ,ειναι κλαδοι υπερβολών. Τα σημεια Α,Β ονομαζονται εστιες. Επισης ως  γνωστον οι κλαδοι των υπερβολων  τεμνουν το ευθυγραμμο τμημα ΑΒ. Αρα για καθε τυχαιο σημειο του Π που ανηκει σε εναν απο τους ζητουμενους κλαδους,υπαρχει ενα σημειο του ευθυγραμμου τμηματος ΑΒ με την ιδια διαφορά αποστασεων απο τα ΑΒ. Αυτο σημαινει οτι η διαφορά  rA-rB  εχει μεγιστη τιμη  d και ελαχιστη μηδεν (Γιατι;). Το μεσον του ΑΒ εχει  rA-rB  =0 Καθως το σημειο του ΑΒ μετακινειται απο το μεσον προς το Β, η διαφορα rA -rB  αυξανει μεχρι να γινει d, οταν το κινουμενο σημειο πεσει πανω στο Β. Αρα το πληθος των κλαδων υπερβολων που εχουν την ζητουμενη ιδιοτητα και βρισκονται μεταξυ του μεσου του ΑΒ και του Β, ισουται με τον ακεραιο αριθμο φορων που το κ χωραει στο d,η αλλοιως  με το ακεραιο πηλικο της διαιρεσεως του d με το κ.Αυτο ονομαζεται ακεραιο μερος του d/k. (Θυμηθειτε την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης ). Αλλοι τοσοι κλαδοι θα υπαρχουν στο αριστερο μισο του ΑΒ, δηλαδη προς την μερια του Α,διοτι η διαφορά rA -rB  μπορει να εχει οποιοδηποτε προσημο. Επισης υπαρχει η μεσοκαθετος του ΑΒ με διαφορά αποστασεων μηδεν. Αρα τελικα το ζητουμενο πληθος των κλαδων ειναι: 2(ακεραιο μερος του d/k)+1

Παράδειγμα :Στο σχημα το οποιο ειναι του Γιάννη Κυριακόπουλου ειναι d/k=2,6  Αρα 2(ακεραιο μερος του d/k)+1=5 κλαδοι υπερβολων.

Συσχετισμος με Φυσική: Οταν εχουμε δυο ομοιες συμφωνες πηγες  κυματων οι οποιες δημιουργουν  κυματα στην επιφανεια νερου μηκους κυματος λ, δημιουργειται μια εικονα συμβολης και τελικα το πλατος ταλαντωσης καθε σημειου του νερου,ειναι συναρτηση της θεσεως του.Αυτη η συναρτηση θα εχει τοπικα μεγιστα και ελαχιστα τα οποια παρατηρουνται στα σημεια τα οποια ανηκουν στους κλαδους υπερβολων που βρηκαμε στο μαθηματικο προβλημα που λυσαμε πιο πανω,αν θεσουμε κ=λ/2. Αυτοι οι κλαδοι υπερβολων ονομαζονται κροσσοί ενισχυσης η αποσβεσης αναλογα με το αν η διαφορα των αποστασεων τους απο τις πηγες,ειναι αρτιο η περιττο πολλαπλασιο του λ/2 αντιστοιχως. Αρα το πληθος ολων των κροσσων ισουται με 2(ακεραιο μερος του d/(λ/2))+1.Το πληθος αυτο ειναι παντα περιττο.Καθως κινουμαστε πανω στο ΑΒ συνανταμε κροσσούς ενισχυσης και αποσβεσης εναλλαξ και ο κεντρικος κροσσος που ταυτιζεται με την μεσοκαθετο ειναι παντα κροσσος ενισχυσης.Αρα ειναι πολυ απλο να βρισκουμε ποσους εχουμε απο το καθε ειδος. Αν καποιοι θεωρουν βολικο να χρησιμοποιουν καποιους τυποποιημενους κανονες,ας θυμουνται οτι αν το συνολικο πληθος των κροσσών ειναι 1,5,9,13,…. τοτε οι κροσσοι ενισχυσης ειναι κατα εναν περισσοτεροι απο τους κροσσους αποσβεσης.Αν το συνολικο πληθος των κροσσών ειναι 3,7,11,15,…. τοτε οι κροσσοι ενισχυσης ειναι κατα εναν λιγοτεροι απο τους κροσσους αποσβεσης.

Loading

Subscribe
Ειδοποίηση για
7 Σχόλια
Inline Feedbacks
Όλα τα σχόλια
Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Ευχαριστώ Κωνσταντίνε.
Είναι πολύ όμορφη ιδέα και απλή παρουσίαση.

Βασίλειος Μπάφας
02/01/2023 10:08 ΠΜ

Καλημέρα Κωνσταντίνε. Σε ευχαριστώ πολύ για την αφιέρωση.
Είναι πολύ έξυπνη η μαθηματικοποίηση του προβλήματος.
Επίσης χαίρομαι γιατί με ταξίδεψε πίσω στο 1980 στη Β Λυκείου και στη θεωρία ακεραίων αριθμών που κάναμε τότε!!!

Να είσαι πάντα καλά!

Πρόδρομος Κορκίζογλου

ΚΑΛΗ ΧΡΟΝΙΑ κι από εδώ Κωνσταντίνε.
Ωραίος ο τρόπος που παραθέτεις για να βρίσκεις τον αριθμό των σημείων που δεν ταλαντώνονται καθώς και των σημείων που έχουν το μέγιστο πλάτος ταλάντωσης στο ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τις δύο πηγές!
Όμως απαιτείται να αποδειχθεί ότι η απόσταση μεταξύ δύο γειτονικών σημείων ενισχυτικής συμβολής είναι λ/2! Κι αυτό γιατί βρίσκεις το ακέραιο μέρος του πηλίκου d:(λ/2)!
Θα μπορούσε να γίνει χρήση του σε ερωτήσεις τύπου Α για να βρεις πολύ γρήγορα τη σωστή επιλογή .
Όμως αν είναι θέμα Β ή σε άσκηση, χρειάζεται η απόδειξη, κάτι που οι υποψήφιοι το μαθαίνουν και είναι δουλειά ρουτίνας.
Αυτό που έγραψες παραπάνω αξίζει ούτως ή άλλως, για μια γρήγορη εύρεση του αριθμού των σημείων.
Να είσαι καλά.

Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Γεια σου Πρόδρομε και Καλή Χρονιά.
Το μαθαίνουν οι υποψήφιοι με δουλειά ρουτίνας. Δουλειά που και εγώ παρουσίαζα.
Όμως υπάρχει προτιμότερη απόδειξη:
Είμαστε σε ενίσχυση, ήτοι η διαφορά δρόμων είναι κ.λ. Πηγαίνουμε πιο πέρα κατά λ/2. Έτσι μειώθηκε κατά λ/2 η μία απόσταση και αυξήθηκε το ίδιο η αλλη. Η διαφορά τους μεγάλωσε κατά λ, δηλαδή πήγαμε πάλι σε ενίσχυση.

Αυτά με τα r1 , r2 και την πρόσθεση των σχέσεων δεν τα αγάπησα ποτέ, άσχετο αν τα έκανα στον πίνακα. Τα αντιπάθησα περισσότερο και από τα κ.π.