Κύματα: Η εξίσωση κύματος έχει διπλό νόημα

Κύματα: Η εξίσωση y = A ημ 2π(t/T – x/λ) έχει διπλό νόημα 

Στην Ενότητα “Η μαθηματική περιγραφή του αρμονικού κύματος” του σχολικού βιβλίου (σελ. 46) αναφέρεται το εξής:

“Ας υποθέσουμε ότι η πηγή αρμονικής διαταραχής Ο αρχίζει να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή t0 = 0 και ότι η ταλάντωσή της περιγράφεται από τη σχέση y = Αημωt.” και αποδεικνύεται ότι η εξίσωση της κίνησης ενός σημείου του ελαστικού μέσου είναι y = A ημ 2π(t/T – x/λ).

Στην Ενότητα “Στάσιμα Κύματα” του σχολικού (σελ. 52) αυτή η εξίσωση χρησιμοποιείται για να περιγράψει τη διάδοση του κύματος (1) που παριστάνεται στο Σχήμα 2.14 (αυτό το Σχήμα φαίνεται στην αρχη του σχόλιού μου). Σε αυτή την περίπτωση όμως, όπως φαίνεται στο Σχήμα, η πηγή δεν βρίσκεται στο Ο.

Ωστόσο η εξίσωση y = A ημ 2π(t/T – x/λ) συνεχίζει να ισχύει με διαφορετικό νόημα: Περιγράφει την κίνηση των σημείων ενός ελαστικού μέσου, στο οποίο διαδίδεται ένα κύμα, έχοντας επιλέξει την αρχή το αξόνων σε μια τυχαία θέση και έχοντας πατήσει το χρονόμετρο όταν το σημείο στην αρχή των αξόνων περνούσε από τη θέση ισορροπίας του με θετική ταχύτητα.

Κάνω λάθος;

(Visited 525 times, 1 visits today)
Subscribe
Ειδοποίηση για
6 Σχόλια
Inline Feedbacks
Όλα τα σχόλια
Γιάννης Κυριακόπουλος
Αρχισυντάκτης

Γεια σου Ανδρέα.
Αυτό που γράφεις στην τελευταία παράγραφο πιστεύω και εγώ.
Η πηγή είναι μια διδακτική προσέγγιση. Τα σημεία μιμούνται με καθυστέρηση την πηγή κ.λ.π.

Θοδωρής Παπασγουρίδης

Γεια σου Ανδρέα, δεν κάνεις λάθος.

Όμως τι ακριβώς δείχνει το σχήμα 2.14 του σχολικού;

Ένα αρμονικό κύμα (1) που διαδίδεται προς τη θετική φορά και ένα δεύτερο αρμονικό κύμα (2) ίδιου πλάτους και μήκους κύματος (άρα ίδιας συχνότητας) που διαδίδεται προς την αρνητική φορά. Το τμήμα χορδής μεταξύ των δύο κυμάτων δεν έχει αρχίσει
να ταλαντώνεται.
Αν δεχθούμε ως χ=0 το σημείο Ο και ως t=0 τη στιγμή που τα σημεία της χορδής έχουν τη μορφή που απεικονίζεται στο στιγμιότυπο, προφανώς οι εξισώσεις
y = A ημ 2π(t/T – x/λ) για το (1) και y = A ημ 2π(t/T + x/λ) για το (2) δεν ισχύουν.

Αν θέλουμε να ισχύουν οι παραπάνω εξισώσεις πρέπει ως χ=0 να θεωρήσουμε
τη θέση του μέσου του τμήματος μεταξύ των δύο κυματομορφών, (μοιάζει να είναι το σημείο Μ) και ως αρχή του χρόνου t=0, τη στιγμή που τα δύο κύματα φθάνουν ταυτόχρονα στο σημείο αυτό….τότε μπορούμε να συνεχίσουμε σύμφωνα με όσα γράφει το σχολικό, αναδεικνύοντας ταυτόχρονα το γεγονός ότι το στάσιμο
δεν προϋπήρχε στη χορδή αλλά δημιουργήθηκε τμηματικά…
Αυτή είναι η πορεία διδασκαλίας που ακολουθώ…

Υπάρχει βέβαια και το “προχωρημένο” ενδεχόμενο, το στιγμιότυπο να αντιστοιχεί
στη χρονική στιγμή t=T/2, οπότε στο τμήμα της χορδής ,μεταξύ των δύο κυματομορφών, έχει σχηματισθεί στάσιμο, -λ/2 αριστερά του Μ (χ=0) και λ/2 δεξιά του Μ, όπου τη συγκεκριμένη στιγμή τα σημεία (πλην δεσμών) διέρχονται από τις ΘΙ τους, με το Μ κινούμενο προς τα κάτω…. ενώ αριστερά του -λ/2 και δεξιά του λ/2 η κυματομορφή οφείλεται αποκλειστικά στο (1) και (2) αντίστοιχα….

Δεν θα στοιχημάτιζα υπέρ του δεύτερου πάντως….

Ανδρέα να είσαι πάντα γερός και ενεργός…

Διονύσης Μάργαρης
Διαχειριστής
20 ημέρες πριν

Καλημέρα Ανδρέα, καλημέρα σε όλους.
Ανδρέα ας μην δώσουμε ιδιαίτερο νόημα στο σχήμα του σχολικού βιβλίου. Αυτό που θέλει να δείξει ότι έχει δύο όμοια κύματα που διαδίδονται αντίθετα. Το σχήμα δεν καθορίζει μαθηματικές εξισώσεις.
Οι εξισώσεις που δίνει στο κείμενο περιγράφουν δύο κύματα που κινούνται αντίθετα και την στιγμή t=0 αρχίζουν να συμβάλουν στην θέση x=0 και επιπλέον ότι εξαιτίας και των δύο κυμάτων το σημείο συμβολής αρχίζει να κινείται προς την θετική κατεύθυνση!!!
Οπότε ας μείνουμε στις ευχές για καλή χρονιά με υγεία “με τη σταθερότητα και την ενεργότητα στάσιμου κύματος”!

Δημήτρης Αγαλόπουλος
20 ημέρες πριν

Ανδρέα σωστος ο προβληματισμος σου !
Να ήταν ο μονος! Στα στασιμα κυματα σε έκδοση του 2004 το σχήμα 2-16 του σχολικού έδειχνε τη πεπερασμενη χορδή οριζόντια την t=0 ενώ μετά από κάποια χρόνια..στο ίδιο σχήμα εως και σημερα…δείχνει τη χορδή την t=0 σε συνημιτονοειδη μορφή την t=0!Άρα δεν ισχύει η 2.12!
Η εξίσωση 2.12 ομως ισχύει στην έκδοση του 2004 μετα την συμβολη προσπιπτοντος και ανακλωμενου κυματος και την αποκαταστάση στασιμου σε ολο το μήκος της χορδης,αλλα τώρα… η εξίσωση περιγράφεται από την y=2Ασυν(2πx/λ)ημ(2πt/T+π/2)..
Αλλαξαν το σχήμα…γιατι; Για να βλέπει ο μαθητής τα στιγμιότυπα και να μην μπορεί να τα εξηγησει;
Το φοβερό είναι βέβαια στο σχήμα 2.17 όπου λέει στο μαθητη ότι η εξίσωση 2.12 θέλει τροποποιηση για x=0 δεσμο το βιβλιο το σχολικό….χωρίς να την αναφερει!
Για χ=0 δεσμό και την πρώτη κοιλιά να κινεται προς τα πάνω ισχύει y= 2Αημ(2πx/λ)συν (2πt/Τ) και έρχονται τούμπα οι θέσεις κοιλιων και δεσμών από ότι δίνει το βιβλιο!
Μπορούμε βέβαια να κάνουμε ντριπλα και να βαλουμε την πρωτη κοιλια ως αρχη οποτε επειδή στο 2.17 σχήμα L=λ έχω τότε οτι : – L/4 <=x<=3L/4 .Άρα για κοιλια στη x=0 οπου:t=0, y=2Α,ν=0 εχω για εξίσωση στάσιμου να ισχύει: y= 2 Ασυν (2πx/ λ)ημ (2πt/Τ+π2)…Άρα ισχύουν τώρα οι θέσεις κοιλιων και δεσμων σχολικου..
Η δημοσίευση σου μου έδωσε το έναυσμα στο να καταλάβουμε όλοι οτι αλλαγές ύλης χωρίς αλλαγή σχολικου δύσκολα γινονται…όση θέληση και να υπάρχει..βρίσκεσαι να δικαιολογεις τα αδικαιολογητα..
Να είσαι καλά και καλή χρονιά!