by Ένα σώμα αμελητέων διαστάσεων, αφήνεται από ύψος h0 πάνω από το έδαφος και πέφτει ελεύθερα (η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα) σε τόπο όπου το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας είναι ίσο με g. Το σώμα προσκρούει στο έδαφος με ταχύτητα μέτρου υ0 και αναπηδά με ταχύτητα μέτρου υ1, τέτοια ώστε υ1/υ0 = β, όπου 0<β<1. Έτσι, μετά την πρώτη πρόσκρουση, το σώμα φθάνει σε ένα μέγιστο ύψος h1<h0 και η διαδικασία επαναλαμβάνεται (ελεύθερη πτώση, πρόσκρουση και αναπήδηση).
Εάν θεωρήσουμε ότι σε κάθε πρόσκρουση ο λόγος του μέτρου της ταχύτητας με την οποία αναπηδά το σώμα προς το μέτρο της αντίστοιχης ταχύτητας με την οποία προσκρούει στο έδαφος είναι σταθερός, να υπολογίσετε:
Α. το συνολικό διάστημα που θα διανύσει το σώμα μέχρι να σταματήσει.
Β. το συνολικό χρόνο κίνησης του σώματος μέχρι να σταματήσει.
Γ. τη μέση τιμή του μέτρου της ταχύτητας του σώματος σε χρονικό διάστημα ίσο με το συνολικό χρόνο κίνησής του.
Αριθμητική εφαρμογή: h0=45m, β=0,6, g=10m/s2
Άπειρες διαδοχικές αναπηδήσεις
Άπειρες διαδοχικές αναπηδήσεις
Η ανάρτηση αφιερώνεται στον Γιάννη Κυριακόπουλο, ο οποίος εδώ είχε διαπραγματευθεί το θέμα.
Ευχαριστώ Μίλτο θα την διαβάσω τώρα.
Εξαιρετική Μίλτο!
Γεια σου Μίλτο.Πολυ ωραια ασκηση για Α Λυκειου για λιγους μαθητες ταλεντα οπου θα την απολαυσουν. Καλα εκανες και την εβαλες για την Α Λυκειου.Και η ασκηση του Γιαννη κατα την γνωμη μου για την Α Λυκειου παει για να κανει την δουλεια της στους μαθητες. Μου αρεσει πολυ ο τροπος με τον οποιο υπολογιζεις το αθροισμα (2)
ο οποιος ειναι απο τα πιο ωραια σημεια της ασκησης,χωρις να κανεις ουτε καν νυξη για γεωμετρικες προοδους. Ο Υπολογισμος αυτος και ειδικα το σημειο οπου παρατηρουμε οτι στην σχεση (3) το αθροισμα μεσα στην παρενθεση ειναι ισο με το αρχικο αθροισμα,ειναι το αλατοπιπερο της ασκησης. Κατα την γνωμη μου ετσι επρεπε να το διατυπωσει και ο Γιάννης στην δικη του αναρτηση,Δεν μας ενδιαφερει αν οι γεωμετρικες προοδοι ειναι εντος υλης η οχι. Σε ενα πραγμα μονο εχω μικρη αντιρρηση ως προς την διατυπωση. Μαλλον γραφεις πολλα μεχρι να φτασεις στην σχεση (1) και η αναγνωση γινεται λιγο κουραστικη.(Κατα την γνωμη μου).
Το επιπεδο των μαθητων στους οποιους απευθυνεται η ασκηση ειναι τετοιο ωστε μπορουμε να γραψουμε κατευθειαν αυτο που γραφεις οτι ,
“ο χρόνος ανόδου είναι ίσος με το χρόνο καθόδου κατά την κατακόρυφη βολή και πως το σώμα επιστρέφει στο έδαφος με ταχύτητα ίσου μέτρου με την αντίστοιχη ταχύτητα που αναπήδησε.” Αυτο αλλωστε προκυπτει αμεσα απο τις εξισωσεις υ=gt και mgh=mυυ/2
Απο τις ιδιες εξισωσεις αν βαλουμε δεικτες προκυπτει κατευθειαν ,η εξισωση (1) που εχεις στο πλαισιο.
Καλησπέρα Μίλτο. Ωραίο το σενάριο και η μεθοδολογία, που δεν κατονομάζει την γεωμετρική πρόοδο. Αλλά… Την έδωσες σε μαθητές της φετινής Α΄ Λυκείου; Αν ναι την έλυσε κανένας – εννοείται από τους άριστους;
Ίσως αν κάποιος προετοιμάζεται για διαγωνισμό, να την διδασκόταν. Αλλά οι φετινοί μαθητές δυσκολεύονται να κάνουν διαίρεση, να λύσουν μια εξίσωση ή να εξάγουν τον απλό τύπο υ = ριζα(2gh), που βρίσκεται ως εισαγωγή στην ανάρτηση. Στο δικό μου Λύκειο εγώ και ο συνάδελφος Φυσικός, αλλά και όλοι οι Μαθηματικοί, έχουμε κατεβάσει πολλές ταχύτητες για να μάθουν τα βασικά.
Ποιος μαθητής θα σκεφτόταν:
Η ανάρτηση ξαναλέω είναι εξαιρετική. Όμως για Φυσικούς. Όχι για μαθητές. Αν παρόλα αυτά έχεις μαθητή που τη λύνει είσαι πολύ τυχερός.
Θα διαφωνήσω Ανδρέα. Για μαθητές είναι.
Όταν λέω για μαθητές δεν εννοώ “Θέμα Ιουνίου” εννοώ “ερέθισμα”.
Όπως για μαθητές είναι και “η γάτα και το τραίνο”.
εξαιρετική!
(το ότι η αρχική ταχύτητα ανόδου και η τελική καθόδου είναι ίσες κατά μέτρο μπορούμε να το συμπεράνουμε και από θεώρημα διατήρησης της ενέργειας)
Καλησπέρα Μίλτο.
Πολύ έξυπνη ιδέα!
Εδω υπαρχει ενα σημαντικο θεμα με τους διδακτικους στοχους σε Φυσικη και Μαθηματικα απο την Α Λυκειου και μετα. Δυσκολο θεμα για να το προσεγγισουμε ικανοποιητικα σε ενα δυο σχολια.Εγω φετος δεν διδασκω Α Λυκειου που πιστευω οτι ειναι η πιο σημαντικη ταξη του Λυκειου στην Φυσικη.Κανω μονο κατευθυνσεις.Ομως η Α Λυκειου στο σχολειο μου ειναι περιπου 100 ατομα. Το τελικο αποτελεσμα της διδασκαλιας πανω σε αυτα το 100 ατομα προτιμω να ειναι η μετατροπη 5 μετριων η καλων μαθητων σε αριστους και η καλιεργεια των ενδεχομενως υπαρχοντων ελαχιστων ταλεντων, που μπορει οταν τελειωσουν την Γ Λυκειου να ειναι ηδη σχεδον σαν Φυσικοι,παρα η μετατροπη 20 τελειως ασχετων που δεν ξερουν την προπαιδια,σε οχι τελειως ασχετους ή σε ασχετους προς μετριους.Αλλωστε πολλοι καλοι μαθητες θα ακολουθησουν κλασσικες κατευθυνσεις και δεν χρειαζεται να τα μαθουν αυτα τα πραγματα.Το εχω ξαναπει οτι η Φυσικη και τα Μαθηματικα δεν ειναι για ολους οπως δεν ειναι για ολους το αλμα επι κοντώ.(Κυριακόπουλος). Σε Λυκεια διδασκουμε οχι σε νηπιαγωγεια.Οποιος προλαβε να μαθει στα 9 προηγουμενα χρονια σπουδων Δημοτικο και Γυμνασιο, εμαθε.Δεν συμφωνω με τον Ανδρεα οτι η ασκηση ειναι για Φυσικούς και οχι για μαθητές. Η ασκηση ειναι κατ εξοχην για μαθητες.Διαβαστε τα σχολια του Κυριακοπουλου “Παρελθοντολογίες”
στον συνδεσμο που εβαλε ο Μιλτος πανω πανω.
έχω άλλη άποψη, Κωνσταντίνε, αν σε κατάλαβα καλά,
και το Λύκειο πρέπει να είναι ποιοτικό και πειραματικό,
να ξυπνάει το μυαλό των νέων ανθρώπων θέλω,
όχι προθάλαμος των Πανελληνίων ντε και καλά, και μόνο,
όχι με συναδέλφους, εντός και εκτός Δημοσίου σχολείου “μάνατζερς και προβλέποντες”,
τα της ειδικότητας και επιστήμης τους, μετά στο Πανεπιστήμιο, τα βασικά εδώ
σύνθεση ταλαντώσεων και φθίνουσες;, όχι υποχρεωτικά, απλό εκκρεμές, όμως ναι, διότι τρόπος μέτρησης χρόνου, αλλά και διότι το κεφάλαιο είχα γράψει στο επίσημο βιβλίο της Β Γενικής, που κάποιος αχρηστόπουλος αφαίρεσε εντελώς, ε, ναι με “πονάει”, διότι το είχα διορθώσει 7 φορές και χειρόγραφα, άλλωστε δεν είμαι φτιαγμένος από σίδερο…
(έχω γράψει πολλές φορές ότι “όλα τα λεφτά είναι το Γυμνάσιο”
ήμουν εκεί 28 συνεχόμενα χρόνια, και στο ίδιο, μάλιστα, το 1ο Γυμνάσιο Ιλίου)
παρακαλώ να δοθεί η παρακάτω άσκηση σε μαθητές του Λυκείου, εγώ την έδινα σε μαθητές της Β Γυμνασίου
https://ekountouris.blogspot.com/2019/10/blog-post_27.html
Σχετικα με την ασκηση με την αντιλοπη εγω την υποδειξη θα την διατυπωνα ως εξης: Βρειτε σε ποσο χρονο και σε ποση αποσταση απο την αρχικη θεση του λιονταριου θα συναντηθουν αντιλοπη λιονταρι,και εν συνεχεία εξεταστε αν η λυση απορριπτεται η οχι λογω των δοθεντων περιορισμων.
Σωστή ως σκέψη, Κωνσταντίνε, αλλά όχι για το Γυμνάσιο, διότι το “βρείτε …θα συναντηθούν” προδιαθέτει ότι ναι, ντε και καλά, ότι σίγουρα ναι, άρα θα παιδεύονται με πράξεις ώστε “να” συναντηθούν, εκτιμώ ότι το “ερευνήστε αν” είναι καλύτερο
Απο αυτα που γραφουμε Βαγγελη δεν βλεπω να διαφωνουμε καπου.Ειπα οτι δεν μπορω να κανω μαθημα στο Λυκειο προσαρμοσμενο στο χαμηλοτερο επιπεδο της ταξης.Οσοι εχουν ερθει απο το συμφωνω πολυ σημαντικο Γυμνασιο, αλλα τους ρωτας για το απλο εκρεμες που λες,οτι αν για να κανει 10 πληρεις ταλαντωσεις θελει 10 δευτερολεπτα,τοτε ποσο ειναι η περιοδος του εκρεμους και δεν μπορουν να απαντησουν,τοτε αυτοι το χασανε το τραινο να ασχοληθουν με κατι αλλο.Δεν θα κανω μαθημα προσπαθωντας να τους μαθω Φυσικη με το ζορι.Ουτε λεω ομως οτι τα παιδια που δεν θα μαθουν Φυσικη απαραιτητως χανουν κατι. Ουτε η μητερα μου ξερει Φυσικη, ειναι καθηγητρια Γερμανικων.Δεν νομιζω οτι υστερει σε κατι σαν ανθρωπος.Εβγαλε ομως εναν απο τους καλυτερους Φυσικους.Αστειευομαι φυσικα επειδη εισαι χιουμοριστας 🙂
Είχα συναντήσει το πρόβλημα όταν ήμουν στην Δ’ Γυμνασίου (Α΄Λυκείου σήμερα).
Είχα γράψει:
Ήταν 1972-1973 όταν μας την έδωσε ο καθηγητής μας στην Δ΄ Γυμνασίου (Πρακτικό). Ενίσταμαι:
-Μα κάθε φορά θα αναπηδά στο μισό. Ποτέ δεν θα φτάσει!
-Ξέρετε προόδους;
Μετά την αρνητική μας απάντηση μας είπε να μην ασχοληθούμε μ’ αυτήν.
Την ίδια χρονιά μάθαμε και προόδους και για τον αγώνα Αχιλλέα-χελώνας.
Ήταν μια από τις (πολλές) ασκήσεις που δεν μπόρεσα να λύσω. Αυτές στις οποίες οφείλω πολύ περισσότερα απ’ όσα στις άλλες που έλυσα εύκολα και έχω ξεχάσει.
Σήμερα τέτοιες ασκήσεις μάλλον εκνευρίζουν τα παιδιά:
-Και που θέλετε να το σκεφτώ αυτό;
Θεωρούν αυτονόητο πως πρέπει να ξέρουν πώς να ξεκινήσουν κάθε άσκηση!
Πως όλα πρέπει να είναι συνταγές.
Να επαναλάβω ότι χρωστώ πολλά σε ασκήσεις που δεν έλυσα τότε.
Το γιατί είναι κατανοητό.
Καλημέρα Γιάννη ! Και εγώ το 1972 ( ΣΤ Γυμνασίου τότε) συναντησα την ίδια άσκηση με αναπήδηση στο 1/4 του αρχικού ύψους κάθε φορά . Τότε είχαμε κάνει σειρές και θυμάμαι ότι παρόλο που ήξερα από σύγκλιση σειρών (μαθηματικά) και είχα κάνει το παράδοξο του Ζήνωνα , παρ’όλα αυτά μετά τη λύση της άσκησης (στα μαθηματικά είχαμε κάνει την άσκηση της εύρεσης του αθροίσματος της σειράς στο φεροντιστήριο το Αττικό) με προβλημάτισε πολύ η σκεψη “πως ο χρόνος συνολοκής αναπήδησης είναι περιορισμένος αφού πάντα υπολείπεται χρόνος για επόμενη αναπήδηση.
Δεν νομίζω ότι κάνει για μαθητές Λυκείου εκτός ελαχίστων εξαιρέσεων (πιθανώς δεν χρειάζεται να τους την διδάξουμε – θα την έχουν λύσει μόνοι τους) .
Στο σχολείο διδάσκουμε γιά όλους τους μαθητές. Στις εξαιρέσεις μπορούμε αν θέλουμε να συζητάμε – εκπαιδεύουμε με τέτοιου είδους προβλήματα.
Στο Σχολείο μου είχαμε 1-2 τέτοιες εξαιρέσεις σε 3 χρόνια παρόλο που στις πανελλήνιεσ στη Φυσική ήταν πολλαπλάσιος ο αντιστοιχος αριθμός μαθητών που έγραφαν άριστα.
Γεια σου Γιώργο.
Συνάντησες όμως την άσκηση και σε ωφέλησε, χωρίς να βλάψει άλλους μαθητές. Ο καθηγητής που πρότεινε την άσκηση ωφέλησε κάποιους χωρίς βλάβη άλλων.
Καλησπέρα συνάδελφοι. Ευχαριστώ πολύ για τα σχόλια και την αποδοχή της ανάρτησης.
Κωνσταντίνε και Βαγγέλη, θα συμφωνήσω ότι το κουράζω στην αρχή στη λύση μου και δεν κάνω χρήση ενεργειών. Ήθελα απλά να περιοριστώ στην κινηματική προσέγγιση ώστε να απαιτεί περιορισμένη ύλη.
Ανδρέα όχι δεν την έχω δώσει σε μαθητή την άσκηση και θα συμφωνήσω μαζί σου στο ότι έχει “διαγωνιστική χροιά”. Επέλεξα να την τοποθετήσω στην Α΄ Λυκείου καθαρά λόγω του ότι θεωρητικά η άσκηση καλύπτεται από την ύλη της Α΄. Απουσιάζουν βέβαια οι συνταγές, οπότε…
Και πριν πολλά χρόνια είχαμε παρόμοια
Γεια σου Μήτσο.
Δεν φαίνεται. Ζητά αίτημα πρόσβασης.
Εδώ φαίνεται ;
Ευχαριστώ Μήτσο. Φαίνεται.
Διόρθωσα και τον αρχικό σύνδεσμο…Λες να πρεπει να κάνω τα ίδια σε όλες τις αναρτήσεις μου ;