by 
Υποθέσατε ότι δύο ελαστικές μπάλες κινούμενες στον τρισδιάστατο χώρο συγκρούονται και ανακρούονται.
Φυσικά διατηρούνται και η ορμή και η κινητική ενέργεια του συστήματος.
Οι μπάλες δίνουν σκιές σε κάποιο επίπεδο. Οι σκιές φαίνεται να συγκρούονται και αυτές.
Αν υποθέσουμε ότι οι σκιές έχουν μάζες ανάλογες των μαζών των σφαιρών, τότε για το σύστημά τους σε κάθε περίπτωση:
- Διατηρείται η κινητική ενέργεια.
- Διατηρείται η ορμή.
- Διατηρούνται η ορμή και η κινητική ενέργεια.
- Δεν διατηρείται ούτε η ορμή, ούτε η κινητική ενέργεια.
Kαλησπερα Γιαννη. Πολυ ωραιο προβλημα δεν το ειχα υπ οψιν μου. Μια καπως πιο τεχνικη αλλα κομψη αποδειξη της διατηρησεως των ορμων των σκιων ειναι η εξης;
H προβολη Π ενος διανυσματος ως γνωστον απο την γραμμικη αλγεβρα ειναι γραμμικη απεικονιση.Γραμμικη απεικονιση σημαινει
α). Π(v+u)=Π(v)+Π(u)
β). Π(λv)=λΠ(v)
για καθε διανυσμα u,v και για καθε βαθμωτο λ.
1.Αρα λογω της ιδιοτητας α) της γραμμικοτητας η προβολη του αθροισματος των ορμων ισουται με το αθροισμα των προβολων των ορμων
2.Ειναι προφανες οτι η προβολη της ορμης της μπαλας και η ορμη της σκιας της μπαλας ταυτιζονται.
3.Αρα λογω του 2.η προβολη του αθροισματος των ορμων ισουται με το αθροισμα των ορμων των σκιων.
4.Ομως το αθροισμα των ορμων πριν την κρουση ισουται με το αθροισμα των ορμων μετα την κρουση.
5.Αρα η προβολη του αθροισματος των ορμων πριν την κρουση ισουται με την προβολη του αθροισματος των ορμων μετα την κρουση. (γιατι?)
6.Αρα λογω του 3. το αθροισμα των ορμων των σκιων πριν την κρουση ισουται με το αθροισμα των ορμων των σκιων μετα την κρουση. (ΟΕΔ)
Αυτη ειναι μια διατυπωση οπως θα την βλεπαμε σε καποιο βιβλιο μαθηματικων.
Και λιγες σημειωσεις απο το ΜΙΤ.
https://ocw.mit.edu/courses/18-06sc-linear-algebra-fall-2011/cc829145eee5220b2024424bcb14c263_MIT18_06SCF11_Ses3.6sum.pdf
Ευχαριστώ Κωνσταντίνε.
Και κατι ακομα.Δεν συμφωνω με την αποδειξη του Αρη.(Γεια σου Αρη).Εχεις αποδειξει οτι οι προβολες δυο ισων διανυσματων ειναι ισα διανυσματα κατι το οποιο ειναι τελειως προφανες διοτι η προβολη ειναι συναρτηση η αλλοιως μονοτιμη απεικονιση. Πρεπει να αποδειξεις οτι το αθροισμα των προβολων των ορμων πριν την κρουση ισουται με το αθροισμα των προβολων των ορμων μετα την κρουση που ειναι και το ζητουμενο.
Εκανα μια διορθωση στην διατυπωση του βηματος 3.της αποδειξης.
H προβολη Π ενος διανυσματος ως γνωστον απο την γραμμικη αλγεβρα ειναι γραμμικη απεικονιση.Γραμμικη απεικονιση σημαινει
α). Π(v+u)=Π(v)+Π(u)
β). Π(λv)=λΠ(v)
για καθε διανυσμα u,v και για καθε βαθμωτο λ.
1.Αρα λογω της ιδιοτητας α) της γραμμικοτητας η προβολη του αθροισματος των ορμων ισουται με το αθροισμα των προβολων των ορμων
2.Ειναι προφανες οτι η προβολη της ορμης της μπαλας και η ορμη της σκιας της μπαλας ταυτιζονται.
3.Αρα λογω του 2.το αθροισμα των προβολων των ορμων ισουται με το αθροισμα των ορμων των σκιων.
4.Ομως το αθροισμα των ορμων πριν την κρουση ισουται με το αθροισμα των ορμων μετα την κρουση.
5.Αρα η προβολη του αθροισματος των ορμων πριν την κρουση ισουται με την προβολη του αθροισματος των ορμων μετα την κρουση. (γιατι?)
6Αρα λογω των 1.και 3. το αθροισμα των ορμων των σκιων πριν την κρουση ισουται με το αθροισμα των ορμων των σκιων μετα την κρουση. (ΟΕΔ)
Αυτη ειναι μια διατυπωση οπως θα την βλεπαμε σε καποιο βιβλιο μαθηματικων.
Και λιγες σημειωσεις απο το ΜΙΤ.
https://ocw.mit.edu/courses/18-06sc-linear-algebra-fall-2011/cc829145eee5220b2024424bcb14c263_MIT18_06SCF11_Ses3.6sum.pdf
Σε ολα τα συγχρονα βιβλια Μαθηματικων,οι λεξεις “Απεικονιση,Μετασχηματισμος,Συναρτηση” σημαινουν το ιδιο πραγμα.
Κατα την γνωμη μου Γιαννη η αποδειξη της διατηρησεως της ορμης των σκιων ειναι μαλλον δυσκολοτερη απο την αποδειξη της μη διατηρησεως της ενεργειας η οποια γινεται με ενα αντιπαραδειγμα.Ο Επσταιν για τις ορμες τι γραφει? Πρεπει υποχρεωτικα να γραφει κατι διοτι εχει και το ενδεχομενο 4 ως πιθανο το οποιο πρεπει να το απορριψει. “4.Δεν διατηρείται ούτε η ορμή, ούτε η κινητική ενέργεια.” Χωρις την αποδειξη για τις ορμες δεν μπορουμε να επιλεξουμε το ενδεχομενο 2.
Καλημέρα Κωνσταντίνε.
Γράφει αυτό με την προβολή που εγραψε ο Άρης.. Σε λίγο θα ανεβάσω εικόνα.
Η απάντηση του Επστάιν για την ορμή:
Kαλημερα Γιαννη..Δεν νομιζω οτι ειναι σωστο.Τα P1και P2 ειναι οι συνολικες ορμες πριν και μετα την κρουση αντιστοιχα.Οi προβολες τους προφανως ειναι ισες.Το ξερουμε αυτο .Πως ξερουμε ομως οτι αυτες οι προβολες ειναι οι συνολικες ορμες των σκιων πριν και μετα την κρουση? Χρειαζεται η γραμμικοτητα του μετασχηματισμου που ονομαζεται προβολη. Αλλοιως η αποδειξη ειναι ελλειπης.Αυτη ειναι η γνωμη μου.
Η προβολή της ταχύτητας είναι (γεωμετρικά μιλώντας) ίση με την ταχύτητα της προβολής. Οι μάζες των προβολών είναι ανάλογες των μαζών. Έτσι οι ορμές των προβολών είναι ίσες με τις προβολές των ορμών.
Πως θα σχεδιάσουμε τις ορμές;
Θα πολλαπλασιάσουμε τη μία ταχύτητα με 2 πχ. και την άλλη με 3.
Οι προβολές πολλαπλασιάζονται πάλι με 2 και 3.
Πάλι έχουμε παραλληλόγραμμο.
Κωνσταντίνε δες τις δύο εικόνες:
Η προβολή παραλληλεπιπέδου είναι παραληλεπίπεδο.
Οι ορμες προβάλλονται. Το διανυσματικό τους άθροισμα προβάλλεται.
Οι προβολή του αθροίσματος είναι ίση με το άθροισμα των προβολών.
Αυτό είναι έστω η κατάσταση πριν την κρούση.
Ανάλογη εικόνα θα έχουμε μετά την κρούση.
Κάποιες ορμές θα έχουν οι μπάλες αυτές οι ορμές θα έχουν κάποιο άθροισμα που θα είναι ίδιο με το προηγούμενο. παραλληλόγραμμο με ίδια διαγώνιο. Η προβολή του θα είναι πάλι παραλληλόγραμμο.
Γεια σου Γιαννη.Απαντω καθυστερημενα.Το οτι η προβολη παραλληλογραμμου ειναι παραλληλογραμμο δεν ειναι τελειως προφανες.Αν αυτο ισχυει τοτε αν τις πλευρες του παραλληλογραμου τις ταυτισουμε με διανυσματα u,v και την διαγωνιο με το αθροισμα u+v ,οπως κανουμε παντα,τοτε οντως η προβολη του αθροισματος ισουται με το αθροισμα των προβολων.Δηλαδη Π(v+u)=Π(v)+Π(u)
Αυτο η θα το αποδειξει κανεις χρησιμοποιωντας στερεομετρια ή θα χρησιμοποιησει πιο αφηρημενη μαθηματικη γλωσσα και θα επικαλεστει την γραμμικοτητα του προβολικου μετασχηματισμου απο την γραμμικη αλγεβρα. Αυτο εκανα εγω.
Σε καθε περιπτωση ομως αυτο το βημα ειναι απαραιτητο και θελει δικαιολογηση αλλοιως ο ισχυρισμος οτι το αθροισμα των ορμων των σκιων πριν την κρουση ισουται με το αθροισμα των ορμων των σκιων μετα την κρουση ειναι αναποδεικτος.
Κωνσταντίνε συμφωνώ.
Θέλει Στερεομετρία ή χρήση διανυσμάτων μια τυπική απόδειξη.
Το στυλ του Επστάιν είναι τέτοιο που λέει τα πάντα με σχήματα και λόγια.
Επικαλείται και μια διαίσθηση που κάνει βέβαια λάθη αλλά όχι σ’ αυτά που παρουσιάζει.