Μια σπαζοκεφαλιά από τον Επστάιν. Σύγκρουση δύο σκιών.

Υποθέσατε ότι δύο ελαστικές μπάλες κινούμενες στον τρισδιάστατο  χώρο συγκρούονται και ανακρούονται.

Φυσικά διατηρούνται και η ορμή και η κινητική ενέργεια του συστήματος.

Οι μπάλες δίνουν σκιές σε κάποιο επίπεδο. Οι σκιές φαίνεται να συγκρούονται και αυτές.

Αν υποθέσουμε ότι οι σκιές έχουν μάζες ανάλογες των μαζών των σφαιρών, τότε για το σύστημά τους σε κάθε περίπτωση:

  1. Διατηρείται η κινητική ενέργεια.
  2. Διατηρείται η ορμή.
  3. Διατηρούνται η ορμή και η κινητική ενέργεια.
  4. Δεν διατηρείται ούτε η ορμή, ούτε η κινητική ενέργεια.

Loading

Subscribe
Ειδοποίηση για
35 Σχόλια
Inline Feedbacks
Όλα τα σχόλια
Αρης Αλεβίζος
Αρχισυντάκτης
31/01/2023 7:28 ΜΜ

Βεβαίως Γιάννη, με το επίπεδο όπου κινούνται οι σκιές.

Διονύσης Μάργαρης
31/01/2023 8:07 ΜΜ

Αυτό είναι παράδειγμα!!!
Μια εικόνα χίλιες λέξεις και τι λέξεις; Αποστομωτικές….

Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος

Kαλησπερα Γιαννη. Πολυ ωραιο προβλημα δεν το ειχα υπ οψιν μου. Μια καπως πιο τεχνικη αλλα κομψη αποδειξη της διατηρησεως των ορμων των σκιων ειναι η εξης;
H προβολη Π ενος διανυσματος ως γνωστον απο την γραμμικη αλγεβρα ειναι γραμμικη απεικονιση.Γραμμικη απεικονιση σημαινει
α). Π(v+u)=Π(v)+Π(u)
β). Π(λv)=λΠ(v)
για καθε διανυσμα u,v και για καθε βαθμωτο λ.
1.Αρα λογω της ιδιοτητας α) της γραμμικοτητας η προβολη του αθροισματος των ορμων ισουται με το αθροισμα των προβολων των ορμων
2.Ειναι προφανες οτι η προβολη της ορμης της μπαλας και η ορμη της σκιας της μπαλας ταυτιζονται.
3.Αρα λογω του 2.η προβολη του αθροισματος των ορμων ισουται με το αθροισμα των ορμων των σκιων.
4.Ομως το αθροισμα των ορμων πριν την κρουση ισουται με το αθροισμα των ορμων μετα την κρουση.
5.Αρα η προβολη του αθροισματος των ορμων πριν την κρουση ισουται με την προβολη του αθροισματος των ορμων μετα την κρουση. (γιατι?)
6.Αρα λογω του 3. το αθροισμα των ορμων των σκιων πριν την κρουση ισουται με το αθροισμα των ορμων των σκιων μετα την κρουση. (ΟΕΔ)
Αυτη ειναι μια διατυπωση οπως θα την βλεπαμε σε καποιο βιβλιο μαθηματικων.
Και λιγες σημειωσεις απο το ΜΙΤ.
https://ocw.mit.edu/courses/18-06sc-linear-algebra-fall-2011/cc829145eee5220b2024424bcb14c263_MIT18_06SCF11_Ses3.6sum.pdf

Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος

Και κατι ακομα.Δεν συμφωνω με την αποδειξη του Αρη.(Γεια σου Αρη).Εχεις αποδειξει οτι οι προβολες δυο ισων διανυσματων ειναι ισα διανυσματα κατι το οποιο ειναι τελειως προφανες διοτι η προβολη ειναι συναρτηση η αλλοιως μονοτιμη απεικονιση. Πρεπει να αποδειξεις οτι το αθροισμα των προβολων των ορμων πριν την κρουση ισουται με το αθροισμα των προβολων των ορμων μετα την κρουση που ειναι και το ζητουμενο.

Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος

Εκανα μια διορθωση στην διατυπωση του βηματος 3.της αποδειξης.
H προβολη Π ενος διανυσματος ως γνωστον απο την γραμμικη αλγεβρα ειναι γραμμικη απεικονιση.Γραμμικη απεικονιση σημαινει
α). Π(v+u)=Π(v)+Π(u)
β). Π(λv)=λΠ(v)
για καθε διανυσμα u,v και για καθε βαθμωτο λ.
1.Αρα λογω της ιδιοτητας α) της γραμμικοτητας η προβολη του αθροισματος των ορμων ισουται με το αθροισμα των προβολων των ορμων
2.Ειναι προφανες οτι η προβολη της ορμης της μπαλας και η ορμη της σκιας της μπαλας ταυτιζονται.
3.Αρα λογω του 2.το αθροισμα των προβολων των ορμων ισουται με το αθροισμα των ορμων των σκιων.
4.Ομως το αθροισμα των ορμων πριν την κρουση ισουται με το αθροισμα των ορμων μετα την κρουση.
5.Αρα η προβολη του αθροισματος των ορμων πριν την κρουση ισουται με την προβολη του αθροισματος των ορμων μετα την κρουση. (γιατι?)
6Αρα λογω των 1.και 3. το αθροισμα των ορμων των σκιων πριν την κρουση ισουται με το αθροισμα των ορμων των σκιων μετα την κρουση. (ΟΕΔ)
Αυτη ειναι μια διατυπωση οπως θα την βλεπαμε σε καποιο βιβλιο μαθηματικων.
Και λιγες σημειωσεις απο το ΜΙΤ.
https://ocw.mit.edu/courses/18-06sc-linear-algebra-fall-2011/cc829145eee5220b2024424bcb14c263_MIT18_06SCF11_Ses3.6sum.pdf

Τελευταία διόρθωση1 έτος πριν από Γιάννης Κυριακόπουλος
Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος

Κατα την γνωμη μου Γιαννη η αποδειξη της διατηρησεως της ορμης των σκιων ειναι μαλλον δυσκολοτερη απο την αποδειξη της μη διατηρησεως της ενεργειας η οποια γινεται με ενα αντιπαραδειγμα.Ο Επσταιν για τις ορμες τι γραφει? Πρεπει υποχρεωτικα να γραφει κατι διοτι εχει και το ενδεχομενο 4 ως πιθανο το οποιο πρεπει να το απορριψει. “4.Δεν διατηρείται ούτε η ορμή, ούτε η κινητική ενέργεια.” Χωρις την αποδειξη για τις ορμες δεν μπορουμε να επιλεξουμε το ενδεχομενο 2.

Τελευταία διόρθωση1 έτος πριν από Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος
Κωνσταντίνος Καβαλλιεράτος

Σε ολα τα συγχρονα βιβλια Μαθηματικων,οι λεξεις “Απεικονιση,Μετασχηματισμος,Συναρτηση” σημαινουν το ιδιο πραγμα.

Χριστόπουλος Γιώργος

Καλημέρα Γιάννη.Ευχαριστώ για την υπόδειξη. Σήμερα που είδα το σχήμα του Επσταιν κατάλαβα ποιο επίπεδο εννοούσες.Αλλά με την υπόδειξή σου (περι γωνιών) το σκέφτηκα καλύτερα και είδα ότι απόδειξη παρόμοια με του Θρασύβουλου δεν στέκει επειδή τα διανύσματα θέσης και ταχύτητας δεν είναι συγγραμμικά με την διάκεντρο.
Όσον αφορά τις ορμές νομίζω ότι ο Κωνσταντίνος δίνει μια πλήρη εξήγηση.