by Ο ομογενής δίσκος του σχήματος είναι αρχικά ακίνητος και αρχίζει τη χρονική στιγμή t0=0 να περιστρέφεται χωρίς τριβές, γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο του Ο και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Ο δίσκος ακινητοποιείται 6 δευτερόλεπτα αργότερα και η γραφική παράσταση της γωνιακής του ταχύτητας ω σε συνάρτηση με το χρόνο t φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Το γράφημα στο παραπάνω διάγραμμα είναι ένα ημικύκλιο και έχει κατασκευαστεί σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων (οι μονάδες μέτρησης των κάθετων αξόνων έχουν το ίδιο μήκος).
Α. Να προσδιορίσετε τη μέγιστη τιμή της γωνιακής ταχύτητας του δίσκου κατά την κίνησή του, καθώς και τη χρονική στιγμή στην οποία η γωνιακή του ταχύτητα μεγιστοποιείται.
Β. Να υπολογίσετε το πλήθος των περιστροφών του δίσκου στο χρονικό διάστημα από t0=0 έως και t=6s.
Γ. Είναι ρεαλιστικός ο τρόπος με τον οποίο περιστρέφεται ο δίσκος; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
Μία μη ρεαλιστική περιστροφική κίνηση δίσκου
καλό μεσημέρι, Μίλτο
διαφωνώ απολύτως, θεωρώ ότι μη ρεαλιστική είναι η άσκηση
(ε, και; πιθανόν θα πεις, και δικαίως ίσως…)
το γεγονός ότι δύο “μήκη” σε ένα διάγραμμα φαίνονται “γεωμετρικά” ίσα δεν σημαίνει τίποτα (εκτός και αν τα μεγέθη είναι ομοειδή και οι κλίμακες ίδιες)
στην περίπτωσή μας το ένα 3 στον οριζόντιο άξονα είναι 3s και στον κατακόρυφο είναι άγνωστο πόσο σε rad/s
Γεια σου Βαγγέλη.
Το 3rad/s δεν προέκυψε “με το μάτι”. Πρόκειται για ημικύκλιο ακτίνας 3. Το σημείο (3,0) είναι το κέντρο του, άρα το (3,3) είναι σημείο του κύκλου.
Καλησπέρα Μίλτο και καλό Πάσχα.
Δεν πρέπει η ω = f(t) να είναι συνάρτηση;
Ένας κύκλος δεν είναι συνάρτηση. Είναι ένα σύνολο σημείων σε ένα επίπεδο που βρίσκονται σε ίση απόσταση από ένα σταθερό σημείο που ονομάζεται κέντρο. Η εξίσωση ενός κύκλου περιλαμβάνει δύο μεταβλητές, x και y, και για τις περισσότερες τιμές x ή y, υπάρχουν δύο πιθανές τιμές y ή x που ικανοποιούν την εξίσωση, που αντιστοιχούν στο άνω και κάτω μισό του κύκλου.
Η συγκεκριμένη έχει εξίσωση ω^2 = -t^2 + 6t
Άρα εξαρχής ως καμπύλη, δε μπορεί να χρησιμοποιηθεί για περιγραφή της ω = f(t), που απαιτεί συνάρτηση του t.
Καλησπέρα Ανδρέα και καλό Πάσχα!
Μα η καμπύλη μου δεν είναι κύκλος, αλλά ημικύκλιο.
Τόσο το άνω, όσο και το κάτω ημικύκλιο είναι συνάρτηση (από μόνα τους). Ή ορθότερα, γραφική παράσταση συνάρτησης. Δηλαδή, εδώ, ο τύπος της συνάρτησης είναι η θετική τετραγωνική ρίζα της ποσότητας που έγραψες στο δεξί μέλος.
Σε κάθε t δηλαδή από 0 έως 6s, αντιστοιχίζεται ένα μόνο ω.
Δεν διαφωνώ. Αλλά ποια είναι η παράγωγος της συνάρτησης στα άκρα χ = 0 και χ = 6; Εξαρχής το πρόβλημα μη ύπαρξης τέτοιας κίνησης υπάρχει ακριβώς γιατί δεν είναι συνάρτηση.
Η συνάρτηση υπάρχει, είναι συνεχής, αλλά στα άκρα η παράγωγός της ως προς χρόνο (άρα και η γωνιακή επιτάχυνση) απειρίζεται. Θα απαιτούσει μια στιγμιαία άπειρη συνισταμένη ροπή Δεν θα ήταν συνάρτηση αν για μια τιμή του t έδινε δύο τιμές του ω.
Γεια σου Χαράλαμπε.
Αυτό ακριβώς ισχυρίζομαι και στον απειρισμό της ροπής στηρίζω το «παράλογο» της κίνησης.
Κάπου δεν σε καταλαβαίνω Ανδρέα. Όταν μία συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη σε κάποια σημεία, δεν χάνει την “ιδιότητα της ως συνάρτηση”.
Στα κύματα κάνουμε κάτι διαφορετικό; Ποιά η παράγωγος της ταχύτητας ενός σημείου του μέσου τη στιγμή που “μόλις φθάνει η διαταραχή σε αυτό”;
Εντάξει ο μισός κύκλος είναι συνάρτηση.
Στη Φυσική πάντα δουλεύουμε με μοντέλα. Με αυτό το πνεύμα η άσκηση είναι μια χαρά, όπως κάνουμε και την
Απλώς λέω ότι η απροσδιοριστία στα άκρα οφείλεται στο ότι είναι κύκλος.
καλησπέρα σε όλους
αναγκάζομαι να επανέλθω, επειδή, παρά τη μεγάλη εκτίμηση που έχω στον Μίλτο, στον Ανδρέα και τον Χαράλαμπο, που έχουν αντίθετη άποψη, εξακολουθώ να ισχυρίζομαι ότι κάνουν λάθος και ότι η άσκηση “πάσχει” σοβαρά
(κάπου έχω δει παλιότερα, σε βοήθημα, μια παρόμοια)
το διάγραμμα πράγματι δείχνει συνάρτηση (σε κάθε τιμή του x αντιστοιχεί μια, μόνο, τιμή του y), αλλά το γεγονός ότι φαίνεται κύκλος δεν σημαίνει ότι το όποιο 3 στον άξονα ω είναι και 3rad/s, μπορεί να είναι 30rad/s, 10rad/s, 2rad/s, μπορεί οτιδήποτε, διότι στον άξονα των ω δεν έχει σημειωθεί κλίμακα μετρήσεων
με άλλη κλίμακα στον άξονα ω ή στον άξονα t δεν θα ήταν κύκλος
αυτή είναι η άποψή μου και, επειδή μας διαβάζουν και μαθητές, καλούνται και άλλοι συνάδελφοι, βέβαια και οι διαχειριστές, να καταθέσουν τη δική τους
εννοείται και θα αναγνωρίσω το τυχόν λάθος μου, αν αυτό τεκμηριωθεί
εν ολίγοις η πρότασή μου είναι να τροποποιηθεί η εκφώνηση της άσκησης ή, αν αυτό δεν την “σώζει”, να αποσυρθεί
Γεια σου Βαγγέλη. Νομίζω ότι τώρα κατάλαβα σωστά την ένσταση σου.
Δεν σε καλύπτει το γεγονός ότι αναφέρω “ημικύκλιο” στα δεδομένα για την αριθμητική τιμή της ω, καθώς δεν αναγράφεται η κλίμακα του άξονα.
Θα συμφωνήσω μαζί σου και ελπίζω να μπορέσω να το βελτιώσω το συντομότερο. Ευχαριστώ.
Ο Βαγγέλης έχει ένα δίκιο μια και την ίδια συνάρτηση μπορώ να την απεικονισω με διάφορους τρόπους:
Προσοχή όμως Βαγγέλη.
Από τα διαγράμματα (όχι σχήματα) που έστειλα μόνο το πάνω αριστερά είναι ορθοκανονικό. Ορθοκανονικό με την έννοια ότι το ίδιο μήκος που στον x παριστάνει το 1 s παριστάνει στον y το 1 rad/s.
Τότε η λέξη “κύκλος” σημαίνει απλά ότι η γραμμή έχει μια ιδιότητα. Υπάρχει ένα σημείο του χαρτιού από το οποίο ισαπέχουν τα σημεία της γραμμής.
Δεν έχει νόημα κάποιο Πυθαγόρειο στο επίπεδο του χαρτιού ούτε κάποια απόσταση μεταξυ δύο σημείων του ημικυκλίου, ούτε κάποια χορδή του κύκλου κ.λ.π.
Έχουν νόημα μόνο “οριζόντια” και κατακόρυφα ευθύγραμμα τμήματα.
Το μήκος των πρώτων είναι χρονικά διαστηματα και των δεύτερων μεταβολές γωνιακής ταχύτητας.
Ευχαριστώ Γιάννη για τα διαγράμματα που οπτικοποιούν αυτό που αντιλήφθηκα ως ένσταση του Βαγγέλη.
Κατάλαβα τι εννοούσες με το “κύκλος”.
Αν γράψω V=I.R και R=1Ω , και αν πληκτρολογήσω θα μου βγει στην προεπιλογή μια ευθεία με κλίση 45 μοίρες. Μπορεί να μην λέω “κλίση 45 μοιρών” αλλά να λέω “κλίση 1V/A” ή “κλίση 1 Α/V” όμως ζωγραφίζω μια ευθεία στις 45 μοίρες. Αν δίνω οδηγίες σχεδίασης σε κάποιον που μου κάνει τα σχήματα, θα του πω “45 μοίρες”.
Αυτά πρέπει να τα λάβεις υπ’ όψιν στο geogebra όπου τα γεωμετρικά σχήματα ανακατεύονται με γραφήματα στην ίδια οθόνη.
Η ουσία του θέματος είναι άλλη:
Ο απειρισμός της παραγώγου.
Θα μπορούσε ένας να ρωτήσει αν στέκει ένα διάγραμμα τέτοιο ώστε να υπάρχει κλίμακα στην οποία η απεικόνιση είναι κύκλος.
Όμως θα ήταν πολλά λόγια και κάπως γριφώδες το να καταλάβει ο άλλος ότι η τιμή της παραγώγου είναι ανεξάρτητη της κλίμακας, οπότε και στις άλλες κλίμακες απειρισμό θα είχαμε.
Είδες πόσα λόγια έγραψα;
Εσύ θα έγραφες περισσότερα στη λύση για να απόδείξεις μια τέτοια πρόταση. Μου αρέσει η οικονομία σε λύσεις. Ας μακρυγορούμε στα σχόλια.
σωστά, Γιάννη
άλλωστε έγραψα “με άλλη κλίμακα στον άξονα ω ή στον άξονα t δεν θα ήταν κύκλος ”, θα ήταν ημιέλειψη
ούτως ή άλλως, πάντως, δεν “σκοτωνόμαστε” για ορθοκανονικά διαγράμματα, απλά φροντίζουμε να “χωράνε”, να έχουν λογικές διαστάσεις, μην και χρειάζονται 5 σελίδες στον κατακόρυφο άξονα π.χ., αν πάρουμε σχετικά μικρή κλίμακα
ούτε και ασχολούμαστε με Πυθαγόρεια και άλλα τινά, διότι τα “μήκη” είναι ανόμοια μεγέθη, δεν είναι μήκη Γεωμετρίας, ως “μήκη” συγκρίνονται, ως μεγέθη όχι
Βαγγέλη δεν σκοτωνόμαστε αν δουλεύουμε σε χαρτί μιλιμετρέ ή στο Graph.
Σκοτωνόμαστε αν δουλεύουμε στο geogebra όπου αν συνυπάρχουν γραφήματα με γεωμετρικά σχήματα, πρέπει να είναι ορθοκανονικό το σύστημα αξόνων.
Αν έλεγε “ημιέλλειψη” μάλλον δεν θα είχες αντίρρρηση αλλά η ουσία θα ήταν ίδια. Απειρισμός παραγώγου διότι η εφαπτομένη είναι κάθετη στον x άξονα.
Δες εδώ:
Ο φουκαράς ο υπολογιστής δεν καταλαβαίνει πότε κάνω Γεωμετρία και πότε γραφήματα. Πήγα να δω καλύτερα την παραβολή και δες τι έπαθε ο κύκλος μου.
πάλι θα είχα αντίρρηση, Γιάννη
θα ήταν ημιέλειψη ως Γεωμετρία
ως Φυσική δεν θα ήταν τίποτα, διότι οι ημιάξονες είναι ανόμοια μεγέθη
(για την παράγωγο δεν έφτασα εκεί, είχα αντίρρηση στην εκφώνηση)
τώρα αν σου πω ότι αυτά τα περίεργα σχεδιαστικά δεν τα γνωρίζω, υποθέτω δεν θα σου κάνει εντύπωση,
διότι ο “σκοταδισμός” μου είναι πάγιος…
Έκανα ορισμένες τροποποιήσεις στη διατύπωση του θέματος και ελπίζω τώρα να είναι καλύτερα.
Σας ευχαριστώ για τις παρατηρήσεις!
Ναι Γιάννη, η ουσία του θέματος που ήθελα να αναδείξω είναι αυτή που αναφέρεις.
Καλημέρα Μίλτο. Αυτό είναι το Υλικό. Βάζει κάποιος ένα θέμα, κάποιος λέει κάτι που μπορεί να είναι ή να μην είναι σωστό, γίνεται συζήτηση, στην οποία οι συμμετέχοντες σέβονται το συνομιλητή τους και όλοι βγαίνουν κερδισμένοι…
Είδα κύκλο, κόλλησα στο αν είναι συνάρτηση, ενώ είναι ημικύκλιο, που είναι συνάρτηση.
Βγήκε ο Βαγγέλης και ο Γιάννης και έθεσαν το θέμα, με την κλίμακα σχεδίασης, που συνήθως το προσπερνάμε. Αυτά κάνει η ελάχιστη ενασχόληση με εργαστηριακές ασκήσεις…
Να είστε όλοι καλά.
Καλημέρα Ανδρέα. Έτσι ακριβώς είναι και μάλιστα με αφορμή μία ανάρτηση που (αν και δική μου) έχει μικρή μάλλον αξία!
Αρκεί να μειώσουμε τους εγωισμούς και “να πάρουμε το λάθος αγκαλιά”!
Καλό Σαββατοκύριακο!
καλημέρα Γιάννη
κατά την άποψή μου, ναι,
εκτός και αν κάτι έχω λάθος εκτιμήσει
διαδίδεται από το Π2 προς το Π1, δηλαδή προς τα αριστερά,
διότι η φάση, άρα και ο χρόνος ταλάντωσης του Π2 είναι μεγαλύτερος
και συμπληρώνω ότι η διαφορά φάσης δείχνει και τη διαφορά του χρόνου έναρξης της διέγερσης στα σημεία και την απόστασή τους με το σκεπτικό ότι:
για Δφ=2π η διαφορά χρόνου είναι Τ και η απόσταση λ
και ανάλογα για όλες τις περιπτώσεις, απλή μέθοδος των τριών
εν προκειμένω Δφ=π/6, άρα Δt=Τ/12 και Δx=λ/12
αυτή είναι η γνώμη μου
Διαφωνούμε Βαγγέλη αλλά σε άλλη ανάρτηση.
Μετάφερε το σχόλιό σου εδώ:
δεν ξέρω τί να κάνω, αν μπορείς κάνε το εσύ
Οταν το μεταφέρεις θα μεταφέρω την απάντηση που έχω γράψει.