by 
Δυο μαθήτριες Λυκείου στη Νέα Ορλεάνη, οι Calsea Johnson και Ne’Kiya Jackson, παρουσιάζουν τριγωνομετρική απόδειξη του Πυθαγορείου.
Μπορείτε να δείτε την απόδειξη εδώ:
Διαβάζουμε εν τω μεταξύ πως οι Μαθηματικοί εδώ και δύο χιλιετίες θεωρούσαν αδύνατο κάτι τέτοιο:
Το θεωρούσαν όντως αδύνατο ή πρόκειται για δημοσιογραφική υπερβολή;
Η απόδειξη των μαθητριών είναι τριγωνομετρική;
Ευφυέστατη είναι και μόνο μπράβο μπορεί να πει κανείς στα κοριτσάκια.
Καλημέρα Γιάννη καλή Ανασταση.Πως σου φαίνεται η πιο κάτω Διατυπωση; (την έχω δει αλλά την γράφω με δικά μου λόγια).
Ο λόγος των εμβαδων δύο ομοίων σχημάτων ισούται με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητας. Αυτό ισοδυναμεί με το ότι αν σε δύο όμοια ορθογώνια τρίγωνα γράψουμε τα εμβαδά τους συναρτήσει των τετραγώνων των υποτεινουσων τους, οι δύο εκφράσεις θα είναι αναλογίες με τον ίδιο συντελεστή αναλογίας. Άρα αν έχουμε τρία όμοια ορθογώνια τριγωνα τέτοια ώστε το ένα να έχει το άθροισμα των εμβαδων των δύο αλλων, τότε το τετράγωνο της υποτεινουσας του ενός θα ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των υποτεινουσων των δύο αλλων. (Γιατί;). Όμως αν σε κάθε ορθογώνιο τρινωνο με υποτεινουσα α και κάθετες πλευρές β, γ, αν φέρουμε το ύψος ως προς την υποτεινουσα, έχουμε τρία όμοια ορθογώνια τρίγωνα με υποτεινουσες α, β, γ, τέτοια ώστε το εμβαδόν του ενός, να ισούται με το άθροισμα των εμβαδων των δύο αλλων. Άρα το Πυθαγόρειο αποδείχθηκε.
Καλή Ανάσταση Κωνσταντίνε.
Γνωρίζω την απόδειξη αυτήν.
Προβληματίζομαι για το αν υπάρχει τριγωνομετρική απόδειξη.
Αυτή των μαθητριών είναι τριγωνομετρική;
Οι δύο που παρέθεσα είναι τριγωνομετρικές;
Τι εννοούμε με το “Τριγωνομετρία”;
Απλή επίκληση κάποιου τριγωνομετρικού αριθμού ή μια δομημένη θεωρία που έχει και γεωμετρικές βάσεις;
Οι Μαθηματικοί υποστήριξαν ότι δεν υπάρχει τριγωνομετρική απόδειξη ή αυθαίρετη πληροφορία είναι αυτό;
Η βασική τριιγωνομετρικηή ταυτότητα ημ^2 x + συν^2 x=1 επειδή αποδεικνύεται στοιχειωδώς με το Π.Θ. οδηγεί στον λεγόμενο φαύλο κύκλο ή αν το πούμε διαφορετικά η παραπάνω ταυτότητα είναι ισοδύναμη με το Π.Θ. Οπότε βγάζουμε απο το καλάθι όσες αποδείξεις τριγωνομετρικές χρησιμοποιούν την παραπανω ταυτότητα. Η απόδειξη των μαθητριών χρησιμοποιεί Νόμο Ημιτόνων και άπειρα αθροίσματα ορων Γεωμετρικής Προόδου (μέσω μιας ακολουθίας ομοίων ορθογωνίων τριγώνων). Είναι άξια θαυμασμού για το σκεπτικό αλλα και εντυπωσιακή η ιδέα με τα όμοια τριγωνα. Υπαρχει ενα βιβλιο του Loomis με 370.αποδειξεις εδώ (που περιέχει τριγωνομετρικές αποδείξεις – με τον συνήθη φαύλο κύκλο). Δεν είπαν οτι δεν υπάρχει Τριγωνομετρική απόδειξη οι μαθηματικοί, αλλά ότι θεωρείται απίθανο (και όχι αδύνατο) να βρεθει τριγωνομετρική απόδειξη (στοιχειώδης) που να μην χρησιμοποιεί σε καποιο σημείο της απόδειξης την παραπάνω (ισοδύναμη του Π.Θ..) τριγ. ταυτότητα.
Τάκη οι δύο αποδείξεις που κάνω δεν είναι φαύλος κύκλος.
Η πρώτη αποδεικνύει τη σχέση ημ^2 x + συν^2 x=1 χωρίς Πυθαγόρειο.
Χρησιμοποιεί όμοια τρίγωνα.
Η δεύτερη αποδεικνύει το Πυθαγόρειο με επίκληση μόνο του ορισμού ημιτόνου και συνημιτόνου και του ότι οι συμπληρωματικές γωνίες έχουν……
Τα παραπάνω δεν προκύπτουν από τη σχέση ημ^2 x + συν^2 x=1 .
Κυκλικές δεν είναι. Το ερώτημά μου είναι αν είναι τριγωνομετρικές.
Ούτε των μαθητριών η απόδειξη είναι κυκλική. Είναι τριγωνομετρική;
Τις 2 αποδείξεις που αναφέρεις από το κινητό δεν μπορώ να τις δω / βρω.
Ίσως πρέπει να χρωματίζεται με κάποιο τρόπο οπου υπάρχει σύνδεσμος για να τον βλέπει εύκολα κανείς.
Τριγωνομετρική θεωρείται οποιαδήποτε χρησιμοποιεί τύπο τριγωνομετριας, ανεξάρτητα πως αποδεικνύεται.
Των κοριτσιών επειδη χρησιμοποιεί τύπο τριγωνομετριας την μετράμε σαν τριγωνομετρική.
Ακόμα και αν αποδειχθεί τύπος τριγωνομετρίας ενδιάμεσα, μονο με Γεωμετρία παλι θεωρείται Τριγωνομετρική η λύση.
Απο τα σχολια των λύσεων που αναφέρεις, θεωρούνται και οι 2.τριγωνομετρικες.
Τάκη αν πατήσεις το “Συνέχεια¨ανοίγει το pdf που έχει και τις δύο αποδείξεις.
Οκ, δεν το ήξερα / πρόσεξα. Μια χαρά είναι οι αποδείξεις σου. Οποιοδήποτε εμφάνιση τριγωνομετρικού τύπου (ακόμα και τον ορισμό) την κανει Τριγωνομετρική. Επειδη χρησιμοποιεις κσι γεωμετρια ομως είναι και γεωμετρικές (με την έννοια οτι θσ μπορούσαν να εμφανιστούν σε βιβλιο Γεωμετρίας τα παλιά τα χρόνια). Παλιά οπως μαθαίνω απαγορευόταν σε Γεωμετρία να γίνει χρήση Τριγωνομετρίας. Πλεον, ολα επιτρέπονται στο σχολείο. Το αρχικό άρθρο αναφέρεται σε απόδειξη του Π.Θ. καθαρά τριγωνομετρική και δίχως αναφορά του τύπου ημ^2 x + συν^2 x=1. Μετα το βιβλίο του Loomis είναι πλεον δυσκολο, να μπορει κάποιος να ελέγξει αν καποια αποδειξη που εκανε έχει επαναληφθεί (αν και των κοριτσιών αμφιβάλλω) .
Ωραία ανάρτηση Γιάννη. Θυμάμαι οτι ο πατέρας μου με έβαζε να βρισκω αποδείξεις για το Πυθαγόρειο θεώρημα ως άσκηση όταν ήμουν μικρή. Κάπως έτσι αγαπάς τα μαθηματικά.
Ευχαριστώ Τίνα.
Χρόνια Πολλά.