by 
Ομογενής κύλινδρος ακτίνας R είναι ακίνητος πάνω σε τραχύ οριζόντιο επίπεδο. Πάνω στον κύλινδρο βρίσκεται ομογενής λεπτή σανίδα ΑΓ μήκους L = 4 m και μάζας Μ = 6 kg που ισορροπεί οριζόντια με τον άξονα της κάθετο στον άξονα του κυλίνδρου. Το κέντρο μάζας της σανίδας απέχει οριζόντια απόσταση ίση με d = L/4 εξίσου από το σημείο επαφής της σανίδας με τον κύλινδρο και από σώμα Σ1 που είναι σε επαφή με αυτήν και έχει μάζα m1 = 1 kg. Το Σ1 είναι προσδεδεμένο στο πάνω μέρος ιδανικού κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k = 100 N/m ενώ στο κάτω άκρο του ελατηρίου είναι προσδεδεμένο σημειακό σώμα Σ2 μάζας m2. Μεταξύ σανίδας και σώματος Σ1 δεν αναπτύσσονται τριβές. Την χρονική στιγμή t0 = 0 θέτουμε σε ομαλά επιταχυνόμενη κύλιση χωρίς ολίσθηση τον κύλινδρο ασκώντας του κατάλληλη δύναμη F’ με αποτέλεσμα το κέντρο μάζας του να αποκτήσει επιτάχυνση αcm = 0,25 m/s2 ενώ ταυτόχρονα ασκούμε στο δεξί άκρο Γ της σανίδας κατάλληλη κατακόρυφη δύναμη F ώστε η σανίδα να παραμένει οριζόντια. Κατά την κίνηση του ο κύλινδρος δεν ολισθαίνει ως προς το έδαφος και ως η σανίδα ως προς τον κύλινδρο. Την χρονική στιγμή t1 το σώμα Σ1 ξεκινά να εκτελεί α.α.τ. και στη διάρκεια της ταλάντωσης του το σώμα Σ2 βρίσκεται συνεχώς σε επαφή με το οριζόντιο επίπεδο. Δίνεται g = 10 m/s2.
Να υπολογίσετε :
1) το μέτρο της αρχικής επιτάχυνσης της σανίδας και την χρονική στιγμή t1.
2) την σχέση που μας δίνει το μέτρο της F από την t0 έως και την t1 σε σχέση με την μετατόπιση του κέντρου μάζας της σανίδας και βρείτε την τιμή της την t = √(3/2) s.
3) τον ρυθμό μεταβολής της δυναμικής ενέργειας του ελατηρίου όταν το σώμα Σ1
διέρχεται για 1η φορά από τη θέση ισορροπίας του αφού ξεκινήσει να ταλαντώνεται.
4) την ελάχιστη τιμή της μάζας του σώματος Σ2 ώστε να μην χάσει την επαφή του με το έδαφος κατά την διάρκεια της ταλάντωσης του Σ1.
5) την ελάχιστη τιμή του συντελεστή στατικής τριβής μεταξύ σανίδας και κυλίνδρου.
Καλημέρα. Η συγκεκριμένη άσκηση είναι εκτός ύλης Γ Λυκείου γιατί η σανίδα δεν στρέφεται αλλά εκτελεί επιταχυνόμενη μεταφορική κίνηση οπότε η χρήση της σχέσης Στ = 0 μπορεί να γίνει μόνο ως προς το κέντρο μάζας της ράβδου.
Παύλο, είτε εκτός είτε “εντός” η άσκηση είναι genius ….
Σημεία που ξεχώρισα:
Παύλο είναι ζόρικη, αλλά πολύ “πλούσια”…..Μπράβο σου
Θα πρότεινα μερικές φραστικές αλλαγές:
Αντί για
” Την χρονική στιγμή t0 = 0 θέτουμε σε
ευθύγραμμηομαλά επιταχυνόμενη κίνηση τον κύλινδρο “” Την χρονική στιγμή t0 = 0 θέτουμε σε ομαλά επιταχυνόμενη κύλιση χωρίς ολίσθηση τον κύλινδρο “
Αντί για
“το μέτρο της
αρχικήςεπιτάχυνσηςτου κέντρου μάζαςτης σανίδας ….”“το μέτρο της επιτάχυνσης της σανίδας …”
Καλημέρα Θοδωρή, ευχαριστώ πολύ για τον χρόνο σου και τον σχολιασμό, χαίρομαι που σου αρέσει η άσκηση. Έχεις δίκιο για τις εκφράσεις, θα κάνω τις αλλαγές που μου προτείνεις. Καλή συνέχεια!
Γειά σου Παύλο! Η άσκηση σου είναι εξαιρετική και νομιμοτατη κατά τη γνώμη μου. Η κίνηση της ράβδου είναι μεταφορική οπότε Στ=0 ως προς οποιοδήποτε σημείο. Αυτό εύκολα επαληθεύεται. Είναι βασική γνώση που πρέπει να τίθεται υπόψη των υποψηφίων . Είναι βασικό στοιχείο για την ουσιαστική κατανόηση των συνθηκών ισορροπίας.Τα αλλά είναι ΟΛΑ εντός ύλης .
Γεια σου Γιώργο. Αν αφήσουμε μια ράβδο να πέσει οριζόντια, θα ισχύει Στ = 0 ως προς οποιοδήποτε σημείο;
Αποστολή, ποια είναι η γνώμη σου ως προς το αν είναι ή όχι εντός ύλης;
Γειά σου Αποστόλη. Αναφερομουν στη περίπτωση της άσκησης του Παύλου. Στο παράδειγμα που αναφέρεις η απάντηση είναι προφανής μεν, ανοίγει όμως και μια ενδιαφέρουσα συζήτηση! Μόλις βρω χρόνο θα προσπαθήσω να επανέλθω.
Γιώργο στην περίπτωση του Παύλου το Στ = 0 ισχύει επειδή η ράβδος είναι λεπτή. Το ότι το Στ = 0 μόνο ως προς κάθε σημείο του φορέα της επιτάχυνσης δεν το γνωρίζει ένας μαθητής, γιατί δεν είναι στην ύλη του. Μόνο το ακίνητο στερεό γνωρίζει…
Καλησπέρα Αποστολή! Εννοείς προφανώς την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του στερεού στην περίπτωση που το στερεό κινείται μεταφορικά. Εδώ οι δύο από τις τρεις συνθήκες ισορροπίας ΣFy=0 και Στ=0 ισχύουν όπως ακριβώς στην ισορροπία της ράβδου. Η 1η εξασφαλίζει το ότι δεν κινείται μεταφορικά στην κατακόρυφη διεύθυνση και η δεύτερη ότι δεν περιστρέφεται γύρω από οριζόντιο και κάθετο στη ράβδο άξονα παραμένοντας συνεχώς οριζόντια όπως ακριβώς και όταν είναι ακίνητη. Έτσι αποφεύγονται οι πιο εξειδικευμένες και μη αιτιολογημένες γνώσεις που βρίσκουν εφαρμογή σε άλλες περιπτώσεις μεταφορικών κινήσεων στερεών. Δίνουμε δηλαδή έμφαση στη φυσική σημασία των συνθηκών ισορροπίας.Πηγαίνοντας ένα βήμα πιο πέρα θα ήταν για μένα πολύ χρήσιμο παράλληλα με τις συνθήκες ισορροπίας να γινόταν αναφορά και στην προέκταση του 1ου Νόμου της αδράνειας του Νεύτωνα στην περίπτωση των στερεών! Τη σχέση αιτίου – αποτελέσματος που θεμελίωσε η Νευτώνεια Μηχανική! Το τελευταίο το απευθύνω κυρίως προς το ΙΕΠ!
Γιώργο μια άσκηση του αείμνηστου Βαγγέλη Κορφιάτη Ένας αρμονικός ταλαντωτής χωρίς ελατήριο. Η ράβδος ισορροπεί στον κατακόρυφο άξονα και δεν στρέφεται…
Μια άλλη σύντομη δικαιολόγηση με βάση το σχολικό βιβλίο: 1.Για να κινηθεί μεταφορικά ένα ελεύθερο και αρχικά ακίνητο στερεό θα πρέπει οι φορείς όλων των δυνάμεων που θα ενεργήσουν σε αυτό, άρα και ο φορέας της συνισταμένης τους, να διέρχονται από το κέντρο μάζας.
2. Η κατεύθυνση της συνισταμένης είναι ίδια πάντα με την κατεύθυνση της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας.
3. Αν στο στερεό ενεργήσουν και άλλες δυνάμεις που οι φορείς τους δεν διέρχονται απο το κέντρο μάζας θα πρέπει Στ=0 ως προς το κέντρο μάζας η ισοδύναμα ως προς σημείο πάνω στον φορέα της συνισταμένης.
Καλημέρα Αποστόλη. Η εργασία του αείμνηστου Βαγγέλη ειναι πλήρης, ολοκληρωμένη , εξαιρετική, καθώς γενικεύει το γνωστό πρόβλημα πέραν της γραμμικής του διάστασης, με τα απαραίτητα συμπεράσματα . Σε ευχαριστώ που μου την κοινοποιησες !
Καλημέρα Γιώργο, ευχαριστώ πολύ για το σχόλιο.Η άσκηση θεωρώ πως είναι εκτός ύλης γιατί εντός ύλης είναι αποκλειστικά η ισορροπία – ακινησία του στερεού. Επίσης το πως πρέπει να αντιμετωπίσουμε τις ασκήσεις με στερεά σώματα που εκτελούν συνθέτες κινήσεις αναφέρεται στο τέλος της παραγράφου 4.6 του σχολικού που είναι επίσης εκτός ύλης. Και πάλι ευχαριστώ για τον χρόνο σου και το σχολιό σου!
Γεια σου Παύλο. Η άσκηση σου έχει πολλά ενδιαφέροντα σημεία και αξίζει να ασχοληθεί κανείς. Θα σου πρότεινα να ανοίξεις λίγο το διάστιχο, ώστε να αναπνέει το κείμενό σου.
Γεια σου Αποστόλη και ευχαριστώ για το σχόλιο. Η αλήθεια είναι ότι την ίδια συμβουλή μου έχει δώσει και ο Παντελής και προσπάθησα στο πρόγραμμα που γράφω στο tablet να βρω πως γίνεται να γράφεις πιο αραιά αλλά δεν το έχω βρει ή δεν υπάρχει τρόπος να γίνει αυτό.