by 
Συνθέτη κίνηση στερεού (α.α.τ – ομαλή περιστροφική)
Σώμα Σ σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπίπεδου έχει μάζας Μ1 = 3 kg και βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Στο πάνω μέρος του σώματος ισορροπεί διπλή τριγωνική βάση με την οποία εμφανίζει τριβές. Ομογενής δίσκος ακτίνας R = 0,2 m μπορεί να στρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του Κ με το επίπεδο του κάθετο σε αυτόν χωρίς να αναπτύσσονται τριβές. Ο άξονας είναι στερεωμένος στην επάνω κορυφή της διπλής τριγωνικής βάσης. Το σύστημα τριγωνική βάση – δίσκος έχει συνολική μάζα Μ2 = 1 kg. Στην δεξιά πλευρά του σώματος Σ είναι προσαρτημένο το αριστερό άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθερός k = 100 N/m ενώ το δεξί άκρο του ελατηρίου είναι ακλόνητα συνδεδεμένο σε σημείο κατακόρυφου τοιχώματος. Αρχικά το σύστημα των σωμάτων ισορροπεί με το ελατήριο να έχει το φυσικό του μήκος (ℓ0). Την χρονική στιγμή t0 = 0 προσδίδουμε με κατάλληλο τρόπο γωνιακή ταχύτητα στον δίσκο μέτρου ω = 5 rad/s και φοράς από τον αναγνώστη προς το επίπεδο του τετραδίου με αποτέλεσμα να εκτελεί ομαλή περιστροφική κίνηση και ταυτόχρονα δίνουμε στιγμιαία ώθηση στο σώμα με αποτέλεσμα να αποκτά ταχύτητα μέτρου υ0 και διεύθυνση ίδια με την διεύθυνση του ελατηρίου. Παρατηρούμε ότι στην διάρκεια της κίνησης του σώματος Σ η τριγωνική βάση δεν ολισθαίνει σε σχέση με αυτό και το ανώτερο σημείο (Α) του δίσκου αποκτά μέγιστο μέτρο ταχύτητας υΑ,max = 2υ0.
Θεωρήστε την αρχική ταχύτητα προς τα θετικά. Δίνεται g = 10 m/s2.
- Να αποδείξετε ότι το σύστημα των σωμάτων εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και να υπολογίσετε την περίοδο της ταλάντωσης.
- Να βρείτε την εξίσωση της απομάκρυνσης του συστήματος των σωμάτων από την θέση ισορροπίας του.
- Να υπολογίσετε τον ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του συστήματος όταν η επιτάχυνση του κατώτερου σημείου (Ε) του δίσκου έχει μέτρο αΕ = 2,5√5 m/s2, η ταχύτητα του συστήματος των σωμάτων είναι θετική και η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου αυξάνεται.
- Να υπολογίσετε την ελάχιστη τιμή του συντελεστή στατικής τριβής μεταξύ σώματος Σ και τριγωνικής βάσης.
Καλημέρα Παύλο.
Πολύ ωραία η σύνθετη κίνηση!
Καλημέρα Διονύση. Ευχαριστώ για το σχόλιο, χαίρομαι που σου αρέσει!
Καλημέρα Παύλο και σε ευχαριστούμε για το ωραίο θέμα. Στο τελευταίο ερώτημα θα έγραφα ΣF = M2 α —> Τστ = -Μ2 ω’^2 x, αποφεύγοντας έτσι να αποδώσω ρόλο δύναμης επαναφοράς στη μη διατηρητική στατική τριβή. Βέβαια υπάρχει δεδικασμένο, αφού έχει ζητηθεί σε εξετάσεις η εύρεση σταθεράς επαναφοράς (2010, 2012) σε σώμα, που ανήκει σε σύστημα που ταλαντώνεται, όμως είναι ένα ερώτημα που κινείται σε γκρίζες ζώνες.
Καλημέρα Αποστόλη. Ευχαριστώ πολύ για το σχόλιο σου. Έχεις δίκιο θα μπορούσα να αποφύγω την αναφορά στον όρο σταθερά επαναφοράς D2.
Γεια σου Παύλο, παρουσιάζεις μια “ιδιαίτερη” άσκηση με αυξημένη δυσκολία…
Κάποιες σκέψεις, περισσότερο για να γίνει κουβέντα και να ξεκαθαρίσω
και εγώ ορισμένα που με “ταλαιπωρούν”….
Το σύστημα είναι ι) το σώμα Σ ιι) η βάση ιιι) ο δίσκος
Ζητάς να δειχθεί ότι το σύστημα των σωμάτων εκτελεί ΑΑΤ
Δεν μπορώ να το δεχθώ έτσι…
Ο δίσκος, μέρος του συστήματος, εκτελεί σύνθετη κίνηση, της οποίας
η μία συνιστώσα είναι ομαλή περιστροφική
Άρα δεν μπορεί το σύστημα που περιλαμβάνει τον δίσκο να εκτελεί ΑΑΤ
Μία σκέψη
Το σύστημα σώμα Σ-βάση-δίσκος εκτελεί σύνθετη κίνηση.
Να δείξετε πως η μεταφορική συνιστώσα αυτής είναι αρμονική ταλάντωση
με εξίσωση απομάκρυνσης χ=Αημ(ωt+φο)
Θεωρώ πως ΑΑΤ είναι η κίνηση που εκτελεί το ΚΜ του συστήματος σώμα Σ-βάση-δίσκος
Καλό μήνα σε όλους
Καλό μήνα Θοδωρή και σε ευχαριστώ πολύ για τον σχολιασμό σου. Το κάθε σώμα του συστήματος ξεχωριστά συμμετέχει σε μια μεταφορική κίνηση που είναι α.α.τ.. Ταυτόχρονα ο δίσκος συμμετέχει και σε μια ομαλή περιστροφική κίνηση. Δεν νομίζω να μπορούμε να ισχυριστούμε ότι το σύστημα εκτελεί συνθέτη κίνηση. Θεωρώ σωστή την σκέψη σου ότι το κέντρο μάζας των 3 σωμάτων εκτελεί α.α.τ, αλλά το σχολικό αναφέρεται σε κέντρο μάζας στερεού σώματος και όχι σε κέντρο μάζας πολλών σωμάτων. Αντί να αναφερθώ σε κέντρο μάζας συστήματος στερεών σωμάτων αναφέρθηκα στο σύστημα των τριών σωμάτων όσον αφορά την μεταφορική κίνηση.
Παύλο είσαι “πυροβόλο”….απαντάς με ταχύτητα “φωτός”….
Διαφωνώ σε αυτό:
“Το κάθε σώμα του συστήματος ξεχωριστά συμμετέχει σε μια μεταφορική κίνηση που είναι α.α.τ..”
Η μεταφορική κίνηση της βάσης οφείλεται στη στατική τριβή, η οποία είναι μη διατηρητική… Άρα δεν είναι ΑΑΤ….. Αυτό ακριβώς εννοεί και ο Αποστόλης με το σχόλιό του…..
Επιπλέον η κίνηση είναι μία για ακίνητο παρατηρητή στο έδαφος.
Όταν γράφεις “να δειχθεί ότι το σύστημα των σωμάτων εκτελεί ΑΑΤ”
φαίνεται η μία κίνηση να είναι ΑΑΤ….που δεν είναι….
Σε αυτά διαφωνώ, γνωρίζω πως πολλοί συνάδελφοι αποδέχονται τη διατύπωση που χρησιμοποιείς, αλλά πάντα είχα ενδοιασμούς ….
Περιμένω τον Κωνσταντίνο να διαφωνήσει….μαζί μου, αν διαβάζει
Ηello Theodore 🙂
Θοδωρή δεν αναφέρθηκα στις δυνάμεις που ασκούνται σε κάθε σώμα. Διατύπωσα την σκέψη ότι εφόσον το σύστημα των σωμάτων ή κέντρο μάζας του συστήματος εκτελεί α.α.τ. όσον αναφορά την μεταφορική κίνηση συμπεραίνουμε πως και κάθε σώμα που αποτελεί το σύστημα θα εκτελεί την ίδια κίνηση. Θεωρώ πως το κέντρο μάζας κάθε σώματος εκτελεί α.α.τ. λόγω μεταφορικής κίνησης.
Καταλαβαίνω Παύλο τι εννοείς… γι αυτό έγραψα πως πολλοί συνάδελφοι
αποδέχονται τη διατύπωση…
Η διαφωνία που υπάρχει, είναι πως το είδος της κίνησης του ΚΜ καθορίζεται
από τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα….
Στη δική μου θεώρηση, η ΑΑΤ είναι κίνηση σημείου που οφείλεται αποκλειστικά
σε διατηρητικές δυνάμεις. Όταν δύο σώματα σε λείο οριζόντιο δάπεδο, με το κάτω δεμένο σε ελατήριο ταλαντώνονται, το σύστημα των δύο εκτελεί ΑΑΤ. Κάθε ένα ξεχωριστά, παρακολουθεί την ΑΑΤ, γι αυτό έχει επιτάχυνση α=-ω^2χ , αλλά το κάθε ένα λόγω στατικής τριβής εκτελεί αρμονική ταλάντωση, δλδ κίνηση που περιγράφεται από τη γνωστή αρμονική εξίσωση, αλλά για κάθε ένα χωριστά, δεν ορίζεται δική του σταθερά επαναφοράς, αφού αυτή συνδέεται αποκλειστικά με ΑΑΤ….
Ο Κωνσταντίνος, ο Βαγγέλης, ο Γιάννης Κυρ (νομίζω) και άλλοι συνάδελφοι διαφωνούν… εκτιμώντας πως για την ΑΑΤ υπάρχει μόνο ο κινηματικός ορισμός του σχολικού…
Να “αντιγράψω” λίγο το Διονύση…
Η ελεύθερη πτώση είναι ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση.
Μια οποιαδήποτε ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση, είναι ελεύθερη πτώση;
Θα επιμείνω, χωρίς να προσπαθώ να σε πείσω, πως η κίνηση του συστήματος των τριών είναι μία…. δεν θα διάλεγα να την πω ΑΑΤ….
Αντιλαμβάνομαι το σκεπτικό σου και μου άρεσε το παράδειγμα – αντιγραφή. Έχω παρακολουθήσει κάποιες από τις συζητήσεις που έχουν γίνει πάνω στο θέμα αυτό και έχουν μεγάλο ενδιαφέρον. Νομίζω – θεωρώ πως για το σύστημα των σωμάτων – κέντρο μάζας σωμάτων είναι υποχρεωτικό η δύναμη επαναφοράς ως εξωτερική δύναμη να είναι συντηρητική ενώ για κάθε ένα σώμα του συστήματος αυτό δεν αποτελεί ικανή και αναγκαία συνθήκη.
Καλημέρα Παύλο. Μια ερώτηση: την t=0 δίσκος απο ακινησία θα πάρει στροφορμή λογω περιστροφής. Το σύστημα λογω διατήρηση στροφορμής(αρχικά στροφορμή = 0), δεν θα κινηθεί προς τα δεξια αρχικά;
Γεια σου Γιώργο και σε ευχαριστώ πολύ για το σχόλιο. Αρχικά όλα τα σώματα είναι ακίνητα. Ασκούμε κάποια δύναμη στον δίσκο κρατώντας την διπλή βάση και το σώμα ακίνητα μέχρι μέσω της ροπής της δύναμης να αποκτήσει ο δίσκος την γωνιακή ταχύτητα που αναφέρεται στην εκφώνηση και τότε προσδίδουμε μέσω μιας δυναμης που ασκούμε στο σώμα και στην βάση μια δύναμη για μικρό χρονικό διάστημα ώστε να αποκτήσουν τα σώματα αρχική ταχύτητα υ₀.
Νομίζω ότι αυτό θα πρέπει να αναφέρεται στην εκφώνηση.(Τα ευκόλως εννοούμενα… ναι αλλά εδώ χωρίς αυτή την αναφορά προβληματίζει λίγο).
Έχεις δίκιο Γιώργο θα ήταν πιο ξεκάθαρο αλλά αναφέρω στην εκφώνηση πως ο δίσκος αποκτά την γωνιακή ταχύτητα με κατάλληλο τρόπο. Ο τρόπος που σου ανάφερα θεωρώ πως είναι κατάλληλος. Σε ευχαριστώ και πάλι για τον χρόνο σου και τα σχόλια σου.
Καλησπέρα Παύλο. Η άσκηση έχει ωραίο σενάριο και συνδυάζει το στερεό με τις ταλαντώσεις. Είναι μια πιο δύσκολη περίπτωση της ταλάντωσης δύο σωμάτων σε επαφή. Νομίζω ότι μπορεί να προκαλέσει σύγχυση σε μαθητές που δεν έχουν ακόμα καταλάβει τι σημαίνει α.α.τ., όσον αφορά την ικανή και αναγκαία δυναμική συνθήκη.
Έτσι θα πρέπει να γίνουν απαραίτητες διευκρινήσεις για όποιον αποφασίσει να τη διαβάσει.
Η άποψή μου είναι ότι για να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, ένα υλικό σημείο πάνω σε άξονα x είναι να δέχεται την επίδραση συνισταμένης χωρο-εξαρτώμενης δύναμης της μορφής ΣF = -Dx
Από τις ασκούμενες δυνάμεις, βάρος, δυνάμεις επαφής σώματος – τριγώνου και σώματος – δαπέδου, δύναμη από τον άξονα περιστροφής, δύναμη ελατηρίου, τριβή, σε ποιες μπορούμε να αποδώσουμε δυναμική ενέργεια; Μόνο στη δύναμη του ελατηρίου, που ασκείται μόνο στη βάση. Άρα η βάση εκτελεί α.α.τ.
Η στατική τριβή δεν προκαλεί α.α.τ., ούτε και η δύναμη του άξονα στο δίσκο. Προκαλεί αρμονική ταλάντωση. Σε ποιο σημείο του άξονα που κινούνται μπορούμε να γράψουμε για αυτά τα σώματα τη συνθήκη ΣF = -Dx;
Άρα το τρίγωνο και ο δίσκος εκτελούν αρμονική ταλάντωση.
Για το σύστημα προκύπτει ότι ΣF = -kx , οπότε το c.m. του συστήματος εκτελεί α.α.τ.
Γεια σου Ανδρέα, ευχαριστώ για το σχόλιο σου!!! Συμφωνώ ότι το πιο σωστό είναι να αναφέρουμε ότι το κέντρο μάζας του συστήματος των σωμάτων εκτελεί α.α.τ. και για αυτό γιατί η εξωτερική δύναμη που δέχεται το σύστημα από το ελατήριο έχει όλα τα χαρακτηριστικά που ανέφερες (μπορούμε να της αποδώσουμε δυναμική ενέργεια). Όμως γιατί να θεωρήσουμε ότι το κέντρο μάζας του δίσκου ή της τριγωνικής βάσης ή του σώματος δεν εκτελεί α.α.τ.; Το γεγονός ότι οι εσωτερικές δυνάμεις που ασκούνται μεταξύ των σωμάτων έχουν συνισταμένη που φαίνεται να έχει τον ρόλο της δύναμης επαναφοράς δεν σημαίνει ότι απαραίτητα πρέπει να τους αποδώσουμε δυναμική ενέργεια. Νομίζω πως αυτές οι δυνάμεις (εσωτερικές) έχουν αυτή την δυνατότητα 1ον) γιατί υπάρχει κάποια εξωτερική τέτοια δύναμη η Fελ. και 2ον) πληρούνται κάποιες προϋποθέσεις ώστε να μην χάνει ενέργεια το σύστημα μέσω του έργου της τριβής ολίσθησης. Θεωρώ πως στην περίπτωση υλικού σημείου που αναφέρεις προφανώς δεν υπάρχει θέμα γιατί έχουμε εμφάνιση δυνάμεων (εξωτερικών) όποτε θα πρέπει να είναι τέτοιες ώστε να τους αποδίδεται δυναμική ενέργεια. Και πάλι σε ευχαριστώ για τον χρόνο σου και την κατάθεση της άποψης σου.
Μαλλον οι οπαδοι της αναγκαιοτητας υπαρξης ειδικων δυναμικων συνθηκων για να ονομαστει μια ταλαντωση της μορφης χ=Αημωt απλη αρμονικη ταλαντωση,νομιζουν οτι αν επαναλαμβανουν συνεχως τις αποψεις τους,τοτε αυτες κερδιζουν εδαφος. Ολα αυτα που διαβαζω περι σωματων που ειναι σε επαφη και μεταξυ τους δεν υπαρχει σχετικη κινηση οπως τα σωματα της παρουσας ασκησης αλλα τα μισα κανουν ΑΑΤ ενω τα μισα οχι,δεν ειναι λογικα πραγματα και δεν προκυπτουν απο πουθενα. Η παρουσα ασκηση δεν εχει κανενα επιστημονικο λαθος ουτε καποια λανθασμενη διατυπωση.Οι επαναλαμβανομενες αντιρησεις καθε τοσο για το ιδιο θεμα μαλλον οφειλονται σε προσωπικες ιδιοτροπιες αυτο καταλαβα,
Προτεινω να σταματησει να θιγεται συνεχως το ιδιο θεμα οι αποψεις εχουν καταγραφει.
Κωνσταντίνε υποδείξεις και προτάσεις αυτού του είδους, δε δέχομαι.
Και συ επαναλαμβάνεις τα ίδια, αλλά δε σου έκανε κανείς κάποια υπόδειξη να σταματήσεις. Αν σε κουράζει η επανάληψη, γιατί μπαίνεις στον κόπο να απαντήσεις και συ τα ίδια, τη στιγμή μάλιστα που απευθύνεσαι σε “οπαδούς”, που εξ ορισμού είναι κολλημένοι στην ομάδα τους;
Το να συμφωνούν κάποιοι Φυσικοί για ένα θέμα, δε σημαίνει ότι υπάρχει κίνημα οπαδισμού! Δεν είναι οπαδισμός η ανάπτυξη επιστημονικών επιχειρημάτων.
Η εξίσωση x = Aημ(ωt + φ), μπορεί να περιγράψει
α. Απλή αρμονική ταλάντωση
β. Εξαναγκασμένη αρμονική ταλάντωση στη μόνιμη κατάσταση, με απόσβεση.
Και ο Γιάννης έχει καταθέσει πολλές φορές τη διαφωνία του, αλλά είναι Ο ΓΙΑΝΝΗΣ, από τις πιο ευγενικές και καλοπροαίρετες ψυχές αυτού του χώρου, που για μένα λειτουργεί ως παράδειγμα.
O Serway τι λέει;
Στη συνέχεια γράφει τη διαφορική εξίσωση και τη λύση της.
Τίνος είναι οπαδός; Είναι προσωπική του ιδιοτροπία;
Εφόσον δημοσιεύεται μια ανάρτηση στο Ylikonet, ανήκει πλέον στο δίκτυο και μπορούμε να γράφουμε όσες φορές θέλουμε τα σχόλιά μας και την άποψή μας, όπως κάνεις και συ.
Ή μήπως θεωρείς ότι ανήκεις σε κάποια ανώτερη διάνοια, που πρέπει να γίνουμε οπαδοί της;
O Serway που τον βλεπω εδω απο πανω που τον εβαλες τι λεει?
An object moves with simple harmonic motion whenever its acceleration is proportional to its position and is oppositely directed to the displacement from equilibrium.
Aυτο ειναι ακριβως αυτο που λεω και εγω. Ειναι καθαρα κινηματικος ορισμος.Δεν εχει καμμια σχεση με δυναμικη.Ολες οι a=-cx c>0 ειναι ΑΑΤ
Μου κανει εντυπωση που επικαλεισαι το γραπτο του Serway ο οποιος δεν συμφωνει με αυτα που γραφεις.Το θεμα ομως δεν ειναι αυτο.Ο Serway μπορει να οριζει αλλοιως.ο Feynman αλλοιως.ο Οhanian αλλιως κλπ.Απο που προκυπτει οτι ο σωστος ορισμος ειναι αυτος που εχεις εσυ στο μυαλο σου και οχι αυτος του σχολικου ο οποιος μαλιστα ειναι ιδιος με του Serway που βλεπω εδω απο πανω? Με ολο τον σεβασμο αλλα για αυτο μιλησα για ιδιοτροπια. Καθε φορα που θα βλεπετε να χρησιμοποιει καποιος τον κινηματικο ορισμο του σχολικου θα τον διορθωνετε? Εγω υποσχομαι να μην ξαναανοιξω το θεμα.
Η άποψή μου είναι ότι έχεις το δικαίωμα να ανοίξεις όσες φορές θέλεις το θέμα. Κανένας δε μπορεί να σου επιβάλλει πως θα σχολιάσεις μια ανάρτηση, όσον αφορά το επιστημονικό κομμάτι της. Οι χαρακτηρισμοί όμως, όχι μόνο δε χρειάζονται, αλλά μεταθέτουν και το κέντρο βάρους της κουβέντας, με αποτέλεσμα να χάνεται η ουσία.
Έβαλα το απόσπασμα αυτό γιατί η σχέση α = -(k/m)x, από που προκύπτει; Από τη σχέση ΣF = -kx, δηλαδή από μια χωροεξαρτώμενη δύναμη, που μπορούμε να της αποδώσουμε δυναμική ενέργεια U = 1/2kx^2.
Η στατική τριβή είναι από μόνη της Τ = -Dx; Μπορούμε να της αποδώσουμε δυναμική ενέργεια;
Στο νέο πρόγραμμα σπουδών, η ύλη ξεκινάει από τη Δυναμική. Οι μαθητές καλώς ή κακώς (κακώς κατά τη γνώμη μου), θα ψάχνουν δύναμη πίσω από κάθε κίνηση. Όταν κάνουν ταλαντώσεις, θα δουν ότι την κίνηση του πάνω σώματος προκαλεί η στατική τριβή. Πως θα ονομάσουμε τότε την κίνηση αυτού του σώματος; α.α.τ.; Επειδή υπάρχει ο ορισμός σε κάποιο άλλο βιβλίο;
Aνδρεα με συγχωρεις αλλα δεν καταλαβες τι γραφει ο Serway. acceleration is proportional to its position σημαινει σχεση μεταξυ κινηματικων μεγεθων.Ουδεμια σχεση με δυναμεις και μαζες και ενεργειες.Το να επαναλαμβανεις συνεχως οτι πρεπει να μπορει να αποδοθει δυναμικη ενεργεια στην δυναμη επαναφορας για να ειναι η ταλαντωση ΑΑΤ δεν ειναι επιστημονικο επιχειρημα.Εγω κατοπιν συστασεως του Διονυση εδω και αρκετο καιρο δεν κανω κανενα σχολιο περι του θεματος με δικη μου πρωτοβουλια.Ομως οταν βλεπω να ανοιγει το θεμα αλλος,τα ιδια και τα ιδια ξανα και ξανα θα απανταω.Εδω εχουμε μια ασκηση του Παυλου με το ενα σωμα πανω στο αλλο κολλημενα να κινουνται μαζι σαν ενα σωμα και λες οτι το ενα σωμα κανει ΑΑΤ ενω το αλλο οχι.Οταν την κινηση του σωματος την προκαλει η στατικη τριβη η κινηση λεγεται ΑΑΤ εξ ορισμου διοτι το λεει το σχολικο.Δεν θα βγαζουμε δικους μας ορισμους επειδη ετσι μας αρεσει.