Ταλαντώσεις και κρούσεις

Ερώτημα 4: Ταλαντώσεις (10 Μονάδες)

Δύο ίδια ιδανικά ελατήρια χαρακτηριστικής σταθερός d = 50 N/m (kg/s²) συνδέονται στη σειρά και συνιστούν το σύστημα ελατηρίων Σ. (Τα ερωτήματα δεν βαθμολογούνται ισότιμα).

4.1 Να υπολογίσετε τη χαρακτηριστική σταθερά D του συστήματος ελατηρίων Σ.

Το σύστημα ελατηρίων Σ χαρακτηριστικής σταθεράς D αναρτάται από το ταβάνι ενός πολύ υψηλού υπόστεγου κα βρίσκεται αρχικά στο φυσικό του μήκος ΟΑ = 3,5 m (το Ο είναι το σημείο επαφής στο ταβάνι του υπόστεγου).

4.2 Να δώσετε το αντίστοιχο Σχήμα 1 στη θέση ισορροπίας ΟΑ. (Να σχεδιάσετε και τα τρία σχήματα μαζί).

Στη συνέχεια κρεμάμε στο κάτω άκρο του συστήματος ελατηρίων Σ, στο σημείο Α, ένα σώμα μάζας Μ = 20 kg και το μεταφέρουμε στη θέση ισορροπίας του ΟΒ. Σε αυτή τη θέση το ελατήριο έχει επιμηκυνθεί κατά ένα μήκος ΑΒ

4.3 Να υπολογίσετε το μήκος επιμήκυνσης ΑΒ. (Δίδεται g = 10 m/s²).

4.4 Να δώσετε το αντίστοιχο Σχήμα 2 στη θέση ισορροπίας ΟΒ, όπου να φαίνονται και οι δυνάμεις (κατεύθυνση τιμή) που ασκούνται στο άκρο του συστήματος ελατηρίων Σ στο σημείο β.

Βλήμα μάζας m = 5 kg βάλλεται κάθετα προς τα πάνω και συγκρούεται πλαστικά και κεντρικά με το σώμα μάζας Μ στο σημείο Β με ταχύτητα υ_m = 5√3 m/s. Μετά τη συσσωμάτωση το σώμα μαζί με το βλήμα εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση σε κατακόρυφη κίνηση.

4.5 Ποια είναι η ταχύτητα V του σώματος μαζί με το βλήμα αμέσως μετά τη συσσωμάτωση στο σημείο Β;

4.6 Ποια είναι η απόσταση ΒΓ, όπου η θέση ΟΓ είναι η νέα θέση ισορροπίας της εκτελούμενης ταλάντωσης;

4.7 Να δώσετε το αντίστοιχο Σχήμα 3 στη νέα θέση ισορροπίας ΟΓ, όπου να φαίνονται και οι δυνάμεις, (κατεύθυνση, τιμή) που ασκούνται στο άκρο του συστήματος ελατηρίων Σ στο σημείο Γ.

4.8 Ποια είναι η μέγιστη απόσταση από το ταβάνι ΟΔ στην οποία θα φθάσουν το σώμα μαζί με το βλήμα κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης;

4.9 Ποια είναι η κυκλική συχνότητα ω του σώματος μαζί με το βλήμα που εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση;

4.10 Να βρείτε την εξίσωση της απόστασης X από τη θέση ισορροπίας Γ που έχει μια δεδομένη χρονική στιγμή t που το σώμα μαζί με το βλήμα που εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση.

4.11 Να βρείτε την εξίσωση της ταχύτητας υ που έχει μια δεδομένη χρονική στιγμή t το σώμα μαζί με το βλήμα που εκτελούν απλή ορμονική ταλάντωση.