Ένα μπαλάκι επιτραπέζιου τένις (τι είπα τώρα!) βρίσκεται ακίνητο στην κορυφή μιας μπάλας του μπάσκετ διαμέτρου d. Oι μπάλες αφήνονται να πέσουν μαζί, χωρίς αρχική ταχύτητα από ύψος h όπως στο σχήμα. Σε τι ύψος θα αναπηδήσει το μπαλάκι; (Nα υποθέσετε ότι η μεγάλη μπάλα έχει πολύ μεγαλύτερη μάζα από το μπαλάκι οπότε η ορμή της μεγάλης μπάλας δεν επηρεάζεται καθόλου από την μεταξύ τους αλληλεπίδραση και επίσης να θεωρήσετε ότι οι μπάλες δεν ακουμπάνε κατά την πτώση τους, αλλά μεταξύ τους υπάρχει ένα μικρό μικρό κενό. Επίσης όλες οι κρούσεις θεωρούνται ελαστικές.)
Λύση: Oταν ενα σωμα πεφτει χωρις αρχικη ταχυτητα απο καποιο υψος και φτανει κατω με καποια ταχυτητα, ή βαλεται κατακορυφα προς τα πανω με καποια ταχυτητα και φτανει σε καποιο υψος,τοτε και στις δυο αυτες περιπτωσεις,λογω της διατηρήσεως της μηχανικης ενεργειας,η σχεση μεταξυ ταχυτητας ,υψους ειναι υ2=2gh. Δηλαδη το υψος ειναι αναλογο του τετραγωνου της ταχυτητας.Οταν οι μπαλες θα φτασουν κατω,θα εχουν πεσει και οι δυο κατα h και θα εχουν αποκτησει ταχυτητες υ.Οταν η μεγαλη μπαλα θα ανακλαστει στο εδαφος θα εχει ταχυτητα -υ, ενω η μικρη θα εχει ακομα ταχυτητα υ. Μετα την μεταξυ τους αλληλεπιδραση η μεγαλη μπαλα θα εχει την ιδια ταχυτητα -υ ενω η μικρη μπαλα θα εχει ταχυτητα υ’ και θα ισχυει : -υ +(-υ)= υ+υ’ (σχεση 5.5 σχολικου) ή υ’=-3υ. Ομως οπως ειπαμε το υψος ειναι αναλογο του τετραγωνου της ταχυτητας. Αρα αφου η ταχυτητα κατα μετρο τριπλασιαστηκε,το υψος αναπηδησης της μικρης μπαλας θα ειναι εννιαπλασιο του υψους κατα το οποιο επεσε, δηλαδη 9h. Αν θελουμε να βρουμε το υψος στο οποιο θα φτασει το μπαλακι μετρωντας απο το εδαφος,τοτε ειναι d+9h.
Η Ασκηση ειναι απο τα εβδομαδιαια προβληματα που δινονταν στους φοιτητες του Πανεπιστημιου Harvard. https://www.physics.harvard.edu/files/prob1.pdf
Δεν ειναι ομως ιδιαιτερα δυσκολη.Το προβλημα του Harvard ειχε και μια επεκταση με περισσοτερες μπαλες .
Στην λυση του Καθηγητη αναφερεται οτι κατα την κεντρικη ελαστικη κρουση δυο σφαιρων η σχετικη ταχυτητα πριν την κρουση, (velocity of approach) ειναι αντιθετη της σχετικης ταχυτητας μετα τρην κρουση (velocity of seperation). Aυτο ειναι απ οτι ακουω συχνα εδω,εκτος υλης.Δεν υπαρχει ομως κανενας χωροφυλακας στην ταξη που μας απαγορευει να εξηγησουμε στους μαθητες τι ειναι σχετικη ταχυτητα. Μια διδακτικη ωρα αρκει.Αρα μαλλον ολα τα παιδια που τελειωνουν την Α Λυκειου πρεπει να ξερουν τι ειναι σχετικη ταχυτητα.
Παντως εγω προσαρμοσα την λυση στην υλη της Γ Λυκειου.
Και η διατυπωση της λυσης του Harvard
https://www.physics.harvard.edu/files/sol1.pdf
Κώστα χαιρετώ. Διεξοδικη η ανάλυση σου. Το θέμα αυτό είναι και παράδειγμα στο βιβλίο της ομάδας Δρή.
Γεια σου Κώστα.Το βιβλιο που λες δεν το εχω υπ οψιν μου. Πολυ το κουραζει ομως απ οτι βλεπω στην λυση του. 🙂
Καλημέρα σε όλους.
Κωνσταντίνε είναι μια πολύ ωραία άσκηση.
Ο Κορφιάτης μου την είχε δώσει με φορτηγό που κινούνταν οριζόντια.
Πρώτα τη λύναμε αναλυτικά.
Για να αποφύγουμε τη λέξη σχετική ταχύτητα, θεωρούσαμε σύστημα αναφοράς το φορτηγό.
Το μπαλάκι έπεφτε με 2υ σε ακίνητο σώμα μεγάλης μάζας, οπότε αναπηδούσε με 2υ….
Απλώς δε λέγαμε το σχετική.
Η γνώμη μου πάντως είναι πως η σχετική ταχύτητα έπρεπε να είναι εντός ύλης.
Να είσαι πάντα καλά!
Όταν είχαμε πολλαπλά βιβλία, είχαμε τρεις επιλογές βιβλίων που δημιούργησαν τρεις συγγραφικές ομάδες, μια από τις ομάδες αυτές ήταν η ομάδα του Δρή. Υπάρχει σε ψηφιακή μορφή. 🙂
Καλημέρα παιδιά.

Μια εικόνα από προσομοίωση:
Στην ταξη μου το δειχνω χρησιμοποιωντας μια μπαλα του μπασκετ και ενα μπαλακι του τεννις. Το μπαλακι του τεννις μετα τις δυο κρουσεις φτανει μεχρι σχεδον το ταβανι. (Οι δυο μπαλες αρχικα αφηνονται περιπου απο το ενα μετρο). Πολυ εντυπωσιακο.
Καλημερα , εχω το βιβλιο του Δρη αλλα την ασκηση δεν την βρισκω, η εκδοση που εχω ειναι του 2008.
Στη σελίδα 179 είναι Θανάση ( παράδειγμα 4.21 )
Α τωρα καταλαβα , εψαχνα στις ασκησεις και ειναι παραδειγμα. Ευχαριστω πολυ
Καλησπερα Βασίλειε,Γιάννη,Kωστα, Θαναση Γρηγόρη. Ευχαριστω. Στις ελαστικες κρουσεις παντα η ταχυτητα προσεγγισης (velocity of approach) ειναι αντιθετη απο την ταχυτητα αποχωρισμου (velocity of separation).Αυτο ισχυει και για ελαστικες κρουσεις μεταξυ στερεων σωματων οπως το γαλλικο κλειδι που κανει ελαστικη κρουση με το πατωμα.Οι ταχυτητες κατα μηκος της κατακορυφου του σημειου που ερχεται σε επαφη με το πατωμα,πριν και μετα την κρουση ειναι αντιθετες. Για ελαστικη κεντρικη κρουση οπως αυτη του σχολικου,η διατυπωση αυτης της προτασεως χρησιμοποιωντας την εννοια της σχετικης ταχυτητας δεν ειναι και καμμια τοσο προχωρημενη επιστημη. Η αυτο που λεει ο Βασίλειος με το φορτηγο οπου δουλευοντας στο συστημα αναφορας του φορτηγου,το συμπερασμα 2υ προκυπτει αμεσα. Στην διατυπωση της λυσης του βιβλιου Δρυ που βλεπω εδω πιο πανω,ξεκιναει κανεις να την διαβασει και πριν την τελειωσει εχει ηδη κουραστει 🙂
Κώστα καλησπέρα
Υπάρχει σε πολλές παραλλαγές. Μετά το ip να δώσω και ένα σύνδεσμο στο youtube που το οπτικοποιεί.
Βίντεο
Ευχαριστω Χρήστο.Θα το κανω στην ταξη με το αβγό. 🙂
Καλησπέρα Κωνσταντίνε. Η άσκηση αυτή είναι από τις αγαπημένες μου. Την κάνω κάθε χρόνο από τότε που τη δημοσίευσε το 2013 ο Γιάννης Δογραμματζάκης ΕΔΩ
Επειδή ο σύνδεσμος δε λειτουργεί η άσκηση του Γιάννη λέει
Ο Δρυς πολύ σωστά τη λύνει με τους γενικούς τύπους, έτσι τη λύνω και εγώ, αφού η περίπτωση m<<M είναι ειδική. Αν Μ=5m, η μεγάλη αποκτά υ/3 και η μικρή 7υ/3 άρα δεν πάει στο 9h.