Πάνω σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο βρίσκεται ένα ιδανικό ελατήριο σταθεράς k και φυσικού μήκους l0. Στα άκρα του ελατηρίου έχουμε στερεώσει δύο μικρά σώματα μάζας m και M αντίστοιχα. Κάποια στιγμή, θέτουμε κατάλληλα το σύστημα σε περιστροφική κίνηση τέτοια ώστε και τα δύο σώματα να εκτελούν ομαλή κυκλική κίνηση πάνω στο οριζόντιο αυτό επίπεδο, με την ίδια περίοδο. Το κέντρο της τροχιάς και τον δύο σωμάτων είναι ένα σημείο Ο του άξονα του ελατηρίου και η ακτίνα του κύκλου που διαγράφει το σώμα μάζας m είναι ίση με το φυσικό μήκος l0 του ελατηρίου, όπως φαίνεται στο σχήμα.
Α. Η περίοδος της κίνησης που εκτελούν τα σώματα είναι ίση με
α. T=2π√(m/k) β. Τ=2π√(Μ/k) γ. Τ=2π√[(m+M)/k]
Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση, αιτιολογώντας την επιλογή σας.
Β. Εάν γνωρίζετε ότι M=2m, να προσδιορίσετε το μήκος του ελατηρίου κατά την περιστροφική κίνηση του συστήματος.
Η συνέχεια εδώ.
Πολύ ωραίο θέμα Μίλτο, συνδυάζει τα “δύσκολα”…
Κεντρομόλο, δυνάμεις που ασκεί το ελατήριο στα σώματα στα άκρα του, κυκλικές κινήσεις γύρω από το ίδιο κέντρο με άλλες ακτίνες τροχιάς….
Αν δεν κάνω λάθος, κέντρο τροχιάς είναι το ΚΜ του συστήματος των δύο σφαιρών.
Σπάω το κεφάλι μου να καταλάβω γιατί την περίοδο την καθορίζει μόνο η μία μάζα…
η δεύτερη τί;;;;
Εντάξει, είναι και αργά…
Ευχαριστούμε
Καλημέρα και καλή Κυριακή.
Πολύ ωραίο θέμα Μίλτο!!! Συγχαρητήρια.
Και Θοδωρή, η περίοδος δεν εξαρτάται μόνο από τη μια μάζα. Προκύπτερι αυτό, αφού δόθηκε η θέση του κ.μ.! Αυτό είναι ένα επιπλέον δεδομένο που απλοποιεί τα πράγματα και οδηγεί στο συγκεκριμένο αποτέλεσμα.
Μίλτο καλημέρα.
Ωραία ιδέα. Ένα σκαλοπάτι πάνω στη θεματολογία. Απόλυτα συμβατό με τις γνώσεις της Β Λυκείου.
Καλημέρα Θοδωρή, Διονύση και Γιάννη. Καλή Κυριακή σε όλους!
Χαίρομαι για την αποδοχή της άσκησης. Αρχικά είχα σκεφτεί να την επεκτείνω ζητώντας κινητική ενέργεια συστήματος, ορμή συστήματος και στροφορμή συστήματος, αλλά το περιόρισα μόνο στην κυκλική κίνηση.
Θοδωρή, όπως παρατηρεί και ο Διονύσης, έχουμε ως δεδομένο ότι η ακτίνα του Μ είναι όση η επιμήκυνση του ελατηρίου. Επομένως, η έκφραση της περιόδου είναι απλούστερη με χρήση αυτής της μάζας. Βέβαια, από τη σχέση (2) της λύσης, η περίοδος μπορεί να γραφεί και σε σχέση με τη μάζα m, η οποία φυσικά μετασχηματίζεται και στη σχέση της απάντησης.
Ναι Γιάννη, ο μαθητής της Β πρέπει να έχει ακούσει για το νόμο του Hooke και στην Α Λυκείου (και στο Γυμνάσιο).
Καλημέρα Μίλτο.
Μ’άρεσε και μένα το θέμα καθώς και ο προβληματισμός του Θοδωρή
που απαντήθηκε από το Διονύση
Μου θυμίζει το “διπλό άστρο”
Να είσαι καλά
Καλημέρα Παντελή.
Ναι, η εικόνα παραπέμπει στο σύστημα δύο αστέρων, όπου η βαρυτική έλξη αντικαθίσταται από τη δύναμη του ελατηρίου.
Πιθανό να μπορεί να δουλέψει κανείς και εδώ με την ανηγμένη μάζα.
Μίλτο πολύ ωραία άσκηση και πρωτότυπη νομίζω. ¨Οσον αφορά για την ομοιότητα με τα διπλά αστέρια υπάρχει μέχρι του σημείου της περιφοράς γύρω από το κ.μ με την ίδια περίοδο, από και και πέρα εδώ η δύναμη είναι ανάλογη της απόστασης(μπορουμε να εκφράσουμε το Δl σε συνάρτηση με το l) ενώ στα αστέρια είναι αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της απόστασης, αυτό έχει σαν αποτέλεσμα η περίοδος να εξαρτάται από το άθροισμα των μαζών και από την απόσταση. Το ελατήριο όσο μήκος και να έχει η περίοδος είναι ίδια , στα αστέρια όσο μεγαλύτερη είναι η απόσταση τόσο μεγαλύτερη είναι η περίοδος. Ένα καλό ερωτημα στην άσκησή σου χωρίςε το τελευταίο θα ήταν” δείξτε ότι η μεγαλύτερη μάζα κινείται σε κύκλο μικρότερης ακτίνας”.
Καλησπέρα Άρη. Ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Καλά κάνεις και διευκρινίζεις τα “όρια της αναλογίας” των συστημάτων που παρατέθηκαν.
Ωραίο και το ερώτημα που θέτεις. Για πληρότητα, ας δώσω εδώ μία απάντηση:
Fκ,m=Fκ,M ή mω^2r = Mω^2R ή R < r.
Καλησπέρα Μίλτο.
Η Fελ λειτουργεί σαν κεντρομόλος και για τις δύο. Έτσι mυ^2/Lo = Mυ^2/x ,
όπου xπ^2=L-Lo (υ ίδια). Άρα mx=MLo (1)
Επίσης η περίοδος από την άλλη μάζα m ;
T^2 =4π^2mLo/Kx m^2 Από την (1) : Τ^2=4π^2 m^2 /KM
H πρώτη ερώτηση της άσκησης με την (β) απάντηση : Τ^2= 4π^2 Μ/Κ
Αρα m^2/M=M => m=M
Έτσι το δεύτερο ερώτημα δεν ισχύει (δεν μπορεί M=2m).
Γεια σου Γιώργο. Ευχαριστώ για την παρέμβαση.
Δεν ξέρω εάν σε καταλαβαίνω σωστά, αλλά θεωρείς ότι τα δύο σώματα έχουν ίσες γραμμικές ταχύτητες. Δεν βλέπω τον λόγο να συμβαίνει κάτι τέτοιο.
Ναι έχεις δίκιο . Νόμιζα,εσφαλμένα ότι δίνεται στην εκφώνηση(άλλωστε το γράφω στην παρένθεση επειδή το θεωρώ δεδομένο)
Γειά σου Θοδωρή . Είναι συνέπεια των δεδομένων της άσκησης. Μπορούσε να είναι ίση με το φυσικό μήκος του ελατηρίου, η ακτίνα του Μ. Τότε θα ήταν σωστό το α. Πολύ ωραία η ιδέα του Μίλτου! Και οι προεκτάσεις που έδωσε ο Διονύσης στη δική του σχετική δημοσίευσή!
Πολύ ωραία άσκηση Μίλτο, ευχαριστούμε πολύ!
Γεια σου Παύλο.
Ευχαριστώ!
Ωραίο θέμα.
Θα δυσκολευτούν να καταλάβουν το i – i0 δεν έχουν επαφή – εμπειρία με τα ελατήρια, αυτός είναι ο λόγος.
Ωραίο θέμα με ένα βαθμό δυσκολίας..
Ο Μίλτος παίρνει μπράβο.