by 
Το σώμα Σ1 μάζας Μ1=1kg είναι δεμένο σε ελατήριο σταθεράς k=100N/m και ισορροπεί στη θέση όπου το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος (Θ.Φ.Μ.). Τη χρονική στιγμή t0=0, (σχήμα 1) ασκούμε οριζόντια δύναμη μέτρου F και στη θέση όπου το ελατήριο έχει επιμηκυνθεί κατά Δℓ1=20cm, παύει να ασκείται η δύναμη F και το σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με σταθερά D=k και ενέργεια Ε1=8J.Tο οριζόντιο επίπεδο είναι λείο.
Να βρείτε:
i) Το πλάτος ταλάντωσης Α1, που θα εκτελέσει το σώμα Σ1 και το μέτρο της δύναμης F.
Κάποια χρονική στιγμή το σώμα Σ1 συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με βλήμα Σ2 μάζας Μ2=3kg το οποίο κατευθύνεται προς τα αριστερά με ταχύτητα μέτρου υ2=1m/s. (σχήμα 2).
Αν κατά την κρούση η απώλεια ενέργειας του συστήματος είναι η μέγιστη δυνατή να βρείτε:
ii) τη θέση που έγινε η κρούση και την ταχύτητα του σώματος Σ1 στη θέση αυτή, καθώς και το ποσό της απώλειας ενέργειας του συστήματος.
iii) Να βρεθεί η δύναμη που δέχεται το βλήμα από το κιβώτιο την πρώτη φορά που μηδενίζεται ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του συστήματος μετά την κρούση.
iv) Να βρείτε τη θέση κρούσης και την απώλεια ενέργειας του συστήματος εάν αμέσως μετά την κρούση το συσσωμάτωμα ακινητοποιούνταν στιγμιαία.
v) Να βρείτε που θα έπρεπε να γίνει η κρούση για να υπάρχει ελάχιστη απώλεια ενέργειας εξαιτίας της κρούσης.
Δίνεται το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας g.
Απάντηση σε:
Όμορφη. Για την θέση ΄κρούσης ώστε να έχουμε μέγιστη απώλεια ενέργειας από ότι φαίνεται στηρίζεται στην στην γενικευμένη σχέση της ενέργειας που μετατρέπεται σε θερμότητα κατα την πλαστική κρούση δύο σωμάτων που πριν την κρούση κινούνται και τα δύο .
Στον τελικό τύπο αν βάλουμε υ2=-1m/s καταλήγουμε στην λύση σου.
Σε ευχαριστώ Γιώργο
Να σαι καλά. Ωραία η γενίκευση που κάνεις.
Χρήστο ευχαριστούμε για την υπόδειξη της λανθασμένης εκτίμησης,
που εύκολα κάποιος κάνει.
Μια προσπάθεια ποιοτικής εξήγησης
Εφόσον η κρούση αρχίζει και τελειώνει στην ίδια θέση, η δυναμική ενέργεια
του ταλαντωτή, θα παραμείνει ίδια πριν και μετά την κρούση.
Η ολική ενέργεια του ταλαντωτή είναι 8J. Όσο μικρότερη είναι η δυναμική του ταλαντωτή, τόσο μεγαλύτερη θα είναι η κινητική.
Εφόσον η απώλεια μηχανικής προέρχεται αποκλειστικά από την κινητική,
καλό θα ήταν η κινητική να είναι η μέγιστη δυνατή, ώστε να “έχει” να χάσει,
δηλαδή και τα 8J να ήταν κινητική.
Αυτό ίσως είναι μια ένδειξη ότι η κρούση πρέπει να γίνει στη ΘΙ
Νομίζω επίσης πως η παραγοντοποίηση του τριωνύμου, ώστε να εξαχθεί
η σχέση (4), δεν προσφέρει κάτι ουσιαστικό, μάλλον επιβαρύνει τον ήδη
βαρύ φορμαλισμό. Από την προηγούμενη σχέση, φαίνεται καθαρά, πως
μέγιστη απώλεια μηχανικής θα έχουμε, αν η υ1 είναι μέγιστη…
Κάτι ακόμα, που με μπέρδεψε. Γράφεις:
“την πρώτη φορά που μηδενίζεται ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του συστήματος αμέσως μετά την κρούση.” εννοώντας την ακραία θέση που μηδενίζεται η ταχύτητα.
Όμως αμέσως μετά την κρούση, ο ταλαντωτής βρίσκεται στη ΘΙ της ΑΑΤ που θα εκτελέσει, άρα δέχεται ΣF=0 και είναι μηδενικός ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του συστήματος.
Μήπως θα έπρεπε με κάποιο τρόπο να εξαιρέσεις τη θέση κρούσης;
Ευχαριστούμε και πάλι
Καλημέρα Θοδωρή.
Σε ευχαριστώ για το σχόλιο και την αποδοχή.
Θοδωρή καλή η ποιοτική προσπάθεια εξήγησης αλλά είναι απαραίτητη η αποδεικτική μαθηματική επεξεργασία.
Στην κινητική ενέργεια έχεις δίκιο έχω ξεχάσει να διαγράψω το αμέσως. Νομίζω αν φύγει αυτό γίνεται ξεκάθαρο αυτό που είχα στο μυαλό μου.
Η παραγοντοποίηση του τριωνύμου δεν είναι απαραίτητη στα ii και iv ερωτήματα αλλά στο τελευταίο ερώτημα. Προτίμησα να έχω κοινή αντιμετώπιση σε όλα τα ερωτήματα δουλεύοντας με την εξίσωση (4). Στην αρχική version μόνο στο τελευταίο ερώτημα είχα κάνει παραγοντοποίηση.
Να σαι καλά.
Να ευχαριστήσω τον Κώστα Ψυλάκο για μια διόρθωση στο εύρος ταχυτήτων που μου είχε ξεφύγει.
Επιπλέον ενδιαφέρον παρουσιάζει ότι ανάλογα με τις τιμές των ταχυτήτων μπορούν να εξαχθούν διαφορετικά αποτελέσματα σε άλλες θέσεις. Για παράδειγμα μπορεί να προκύψει ελάχιστη απώλεια όταν τα σώματα είναι στη Θ.Ι. και κινούνται ομόρροπα.
Π.χ. με τα νούμερα
Μ1=2kg, k=200N/m, Ε1=16J, Μ2=0,2kg και υ2=-15m/s προκύπτει η ελάχιστη απώλεια να συμβαίνει στη Θ.Ι. με ομόρρροπες φορές ταχυτήτων.
Καλημερα και Καλη Κυριακη !
Χρηστο αυτα τα θεματα έχουν αρκετο ενδιαφερον . Στο παρελθον είχε ασχοληθει και ο Διονυσης ο Μαργαρης με αναλογο θεμα σε ελαστικες κρουσεις μεε τιτλο : Ενεργειες Ταλαντωσεις μετα απο κρουσεις , ηταν ελαστικες οι κρουσεις.
Πολυ καλη η αναλυση σου και η προσθηκη του κ. Χριστοπουλου ειναι όντως χρησιμη . Βεβαια εσυ ηθελες να εχεις τριωνυμο για γραφικη παρασταση στην συνεχεια .
Θελει προσοχή λοιπον η ευρεση της μεγιστης απωλειας διοτι στο μυαλο ευκολα ερχεται ο μηδενισμος της ταχυτητας του συσσωματωματος.
Οσον αφορα την ελαχιστη απωλεια θα προσθεσω το εξης : Για να εχω μικρη απωλεια θα πρεπει η πλαστικη κρουση να είναι οσο το δυνατον πιο “ήπια” αυτο συμβαινει όταν θα κινούνται ομόρροπα . Απο την γραφικη σου παρασταση το Q= 3/8 j οταν το υ1=0 και το Q=0 για υ1= -1m/s = υ2 . Αρα για -1m/s < υ1<0 μπορω να έχω 0<Q<3/8 j . Επομένως υπάρχουν απειρες τιμες της υ1 σε αυτό το πεδιο τιμων που μπορουν να δώσουν όσο μικρο Q επιθυμούμε.
Ενας αλλός τρόπος διερεύνησης ειναι να φτιάξω το υκ συναρτηση του χρόνου :
υκ = 0.25*υ1 – 0.75 , SI —> υκ = 1*συν (10t + π/6) – 0.75 SI , t η χρονικη στιγμη της κρουσης .
Εχει ενδιαφερον αλλα απαιτει εφαρμογη που να υπολογιζει τετμημενες και τεταγμενες.
Κώστα καλησπέρα.
Σε ευχαριστώ για την ένασχόλησή σου με την άσκηση και για το επιπλέον αριθμητικό που βρήκες.
Όπως αναφέρεις για να έχω μικρή απώλεια θα πρέπει η πλαστική κρούση να είναι όσο το δυνατόν πιο “ήπια” αυτό συμβαίνει όταν θα κινούνται ομόρροπα.
Παραθέτω επιπλέον τους συνδέσμους του Διονύση στις ασκήσεις που αναφέρεις.
Η μέγιστη ενέργεια ταλάντωσης
κάποια μέγιστα και ελάχιστα μετά από κρούση