by Σε ένα στερεό σώμα οι δυνάμεις που ασκούνται έχουν συνισταμένη μηδέν. Αν το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών ως προς κάποιο σημείο είναι μηδέν δείξτε ότι το στερεό θα ισορροπεί.
Εφαρμογή: Σε μία τριγωνική πλάκα αν οι διάμεσοι του τριγώνου θεωρηθούν ως δυνάμεις δείξτε ότι η πλάκα ισορροπεί.
Καλημέρα Γιάννη. Στην εφαρμογή:
Οι τρεις διαμεσοι αφ’ ενος είναι συντρέχουσες αρα Στ=0 και αφ’ετέρου μεταφερόμενες παράλληλα στον εαυτό τους σχηματίζουν τρίγωνο επειδη οι αντίστοιχες μεταξύ τους γωνίες εχουν άθροισμα 180 μοιρες.Αρα ΣF=0.
Καλημέρα Γιώργο
Ως προς το κέντρο της επιφάνειας του τριγώνου είναι Στ=0 , επίσης εύκολα αποδεικνύεται ότι ΣF=0. Πρέπει να δείξουμε ότι το Στ=0 ως προς κάθε σημείο.
Μα συντρέχουν ως προς το cm του τριγώνου
Σε ποιο σημείο της θεωρίας της Γ το λέει πως αν οι δυνάμεις είναι συντρέχουσες και έχουν ΣF=0 το στερεό θα ισορροπεί. Εγώ αυτό ζητάω να αποδείξουμε, χωρίς να βγούμε έξω από τη θεωρία του σχολικού βιβλίου
Αν Θεωρήσουμε γνωστό το θεώρημα Varignon που το χρησιμοποιούμε ως κάτι δεδομένο τότε σαφώς επαρκεί αυτό που γράφεις
Το σχολικό βιβλιο στη σελίδα116 λέει οτι οταν ΣF=0 αρκει Στ=0 ως προς οποιοδήποτε σημείο.
Δυο δυναμεις τεμνονται σε ενα σημείο Α. Αν η τρίτη δεν διέρχεται απο το Α δημιουργεί ροπη ως προς αυτό. Για να έχουμε Στ=0 πρέπει να είναι συντρέχουσες. Τι πιο απλό;
Εδώ δίνω ως δεδομένο ότι είναι συντρέχουσες άρα έχουμε δυο σχέσεις 1. ΣF=0 και 2. Στ(κ)=0
Ζητάω να αποδείξουμε ότι Στ=0 ως κάθε σημείο.
Καλημέρα Γιάννη, καλημέρα Γιώργο.
Να προσθέσω κάτι, σε σχέση με την ισορροπία και το σχολικό βιβλίο.
Γράφει το βιβλίο:
Επομένως αν οι τρεις δυνάμεις είναι συντρέχουσες και ΣF=0, τότε ως προς το κοινό τους σημείο Στ=0, οπότε και ως προς οποιοδήποτε σημείο Στ=0.
Καλημέρα Διονύση , αυτό αποτελεί μια απόδειξη όμως εδώ δεν έχουμε ζεύγη και αυτό που προσπαθώ να βρώ είναι πως θα το αντιμετωπίσουμε χωρίς θεώρημα Varignon.
Καλημέρα Γιάννη.
Νομίζεις ότι η διατύπωση του βιβλίου αφήνει κενό;
Το έγραψα παραπάνω. Με βάση το βιβλίο:
“οι τρεις δυνάμεις είναι συντρέχουσες και ΣF=0, τότε ως προς το κοινό τους σημείο Στ=0, οπότε και ως προς οποιοδήποτε σημείο Στ=0”.
Διονύση πολλές φορές γράφουμε για τη ροπή μιας δύναμης τ(F)=τ(Fx)+τ(Fy) και το θεωρούμε ως δεδομένο. Αυτό όμως αποτελεί εφαρμογή του θεωρήματος Varignon. Τώρα αν αναφέρεται αυτό στο σχολικό βιβλίο μπορεί όποιος θέλει να το ισχυρίζεται
Γιάννη το θεώρημα Varignon δεν αναφέρεται ρητά στην θεωρία του σχολικού.
Κάπου υπονοείται, κάπου θεωρείται αυτονόητο. Έχεις δίκιο.
Όμως παραπάνω δεν το επικαλέστηκα, ούτε το βιβλίο το κάνει.
Όταν παραπάνω έγραψα ότι Στ=0, εννοούσα το αλγεβρικό άρθροισμα (για επίπεδο στερεό) των ροπών των δυνάμεων. Αν οι δυνάμεις είναι συντρέχουσες, τότε ως προς το κοινό σημείο των διευθύνσεών τους, η ροπή κάθε μιας είναι μηδενική, οπότε και το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών είναι μηδέν. Αλλά τότε έχουμε βρει ένα σημείο όπου η συνολική ροπή είναι μηδενική (άρα και ζεύγη να υπάρχουν πάλι η συνολική ροπή είναι μηδενική), οπότε αν ΣF=0, δεν είναι ανάγκη να πάμε στο κέντρο μάζας και για πάρουμε Στ=0. Η μηδενική ροπή θα είναι και ως προς ένα οποιοδήποτε σημείο.
Διονύση δεν διαφωνώ σε κάτι , επειδή προσπαθώ να φτιάξω μια απόδειξη καταλήγω και εγώ στο ίδιο σκεπτικό πως η καταλληλότερη απόδειξη είναι με την απαγωγή σε άτοπο, αυτό που δεν έχω βρεί είναι κάποια απόδειξη του θεωρήματος Varignon το οποίο όπως πολύ σωστά λές μάλλον θεωρείται αυτονόητο. Να είσαι καλά και σε ευχαριστώ για το χρόνο σου.
Γιάννη, μια απόδειξη από την ιστοσελίδα του Ανδρέα Κασσέτα, εδώ.
Να προσθέσω ότι το παραπάνω σχήμα, στην απόδειξη του Ανδρέα, είναι στο επίπεδο και όχι στο χώρο (επειδή δέχτηκα τηλεφώνημα φίλου).
Μιλάμε δηλαδή για ομοεπίπεδες δυνάμεις και για αλγεβρικό άθροισμα ροπών.
Καλησπέρα Γιάννη.
Πάνω στο θέμα συζήτησης, ένας φίλος μου έστειλε ένα αρχείο του Παναγιώτη Μουστάκα, το οποίο μελετάει την θεωρία της ισορροπίας στερεού σώματος. Σε αυτό περιλαμβάνεται και το παρακάτω:
καταλήγοντας στην σχέση (2):
Αν τώρα έχουμε ΣF=0, προφανώς το εξωτερικό γινόμενο τη παραπάνω σχέση είναι μηδενικό, οπότε αν η συνολική ροπή των δυνάμεων ως προς το κέντρο μάζας είναι μηδενική, τότε θα είναι μηδενική η ροπή και ως προς οποιοδήποτε σημείο Ο!
Το αρχείο του Ρ.Μ. με κλικ εδώ.
Συνυπηρέτησα μαζί του στο φροντιστήριο “το Πολυτεχνειακόν” για 2 χρόνια, οδός Σόλωνος, πρωτοδιόριστος στο Δημόσιο, επιτρεπόταν τότε, μόλις 28 χρονών ήμουν, τί θράσος είχα, αλλά και πώς με εμπιστεύτηκε ο αείμνηστος Σπύρος Κανέλλος;
Καλησπέρα Διονύση!! Σε ευχαριστώ για το σύνδεσμο, έχω μελετήσει πολλά θέματα του Παναγιώτη Μουστάκα και έχει κάνει φοβερή δουλειά στο στερεό. Ευχαριστώ και το συνάδελφο που σου τα έστειλε.